江苏七市联考2018届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

2018 届高三年级第三次模拟考试 (十三 )
数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )
参考公式： 柱体体积公式 V 柱体 ＝Sh ，其中 S 为柱体的底面积，
h 为高 .
锥体的体积公式
1 h 为高．
V 锥体 ＝ Sh ，其中 S 为锥体的底面积，
3
一、 填空题：本大题共 14 小题 ，每小题 5 分，共计 70 分．
1. 已知集合 A ＝ { － 1， 0， 3，5} ，B ＝ {x|x － 2>0} ，则 A ∩ B ＝ ________.
2. 已知 (1＋3i )(a ＋ bi)＝ 10i ，其中 i 为虚数单位， a ， b ∈ R ，则 ab 的值为 ________．
3. 已知一组数据 82， 91， 89， 88， 90，则这组数据的方差为 ________．
4. 根据如图所示的伪代码， 已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．
5. 函数 y ＝ lg(4－ 3x － x 2)的定义域为 ________．
6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相 同．现从中随机摸出
1 只球，若摸出的球不是红球的概率为
0.8，不是黄球
的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ________．
7. 在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 4∶5∶ 6，则 cos C 的值为
________．
x 2 y 2
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 12－b 2＝ 1(b>0) 的焦点到渐 近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为
________．
9. 已知 {a n } 是等比数列， S n 是其前 n 项和．若 a 3＝ 2，S 12＝4S 6，则 a 9 的值为 ________．
10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的
8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的
正四棱锥形铁件 (不计材料损耗 )．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为
S ，S ，则
S 1
的值
1
2
S 2
为 ________．
11. 已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a ＋ 6，b ＋2，c ＋ 1 成等差数列，则 b 的最大值为 ________．
12. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，∠ DAB ＝ 60°，AC ＝ 3BC ，则边 CD 长的最小值为 ________．
13. 如图，已知 AC ＝ 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 同侧作半圆，
→ →
M ，N 分别为两半圆上的动点 (不含端点 A ，B ，C)，且 BM ⊥ BN ，则 AM ·CN 的最大值为 ________．
ax － 1，
x ≤0，
则实数 a 的取值 14.
已知函数
f(x)
＝
x 3－
ax ＋ |x － 2|，
的图象恰好经过三个象限， x>0
范围是 ________________ ．
二、 解答题：本大题共
6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分 14 分 )
如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C1D 1中，底面 ABCD 为平行四边形，C1B ＝ C1D. 求证：
(1)B 1D1∥平面 C1BD ；
(2)平面 C1BD ⊥平面 AA 1C1C.
16. (本小题满分14 分)
如图是函数f(x) ＝ A sin(ωx＋φ)A>0 ，ω >0， |
π在一个周期内的图象．已知
点φ|≤ 2
P
( －6， 0)， Q(－2，－ 3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．
(1)求函数 f(x) 的解析式；
(2)记∠ RPO＝α，∠ QPO＝β (，αβ均为锐角 )，求 tan(2 α＋β)的值．
17.(本小题满分 14 分 )
如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ， AB ∥ CD， AB ⊥ BC，AB ＝ 3 百米，CD ＝ 2 百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP( 宽度忽略不计 )，点 P 在道路 AC
π
上 (异于 A ，C 两点 )，∠ BAC ＝6，∠ DPA＝θ.
(1)用θ表示直道 DP 的长度；
(2) 计划在△ ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏
DP 植物的成本为每平方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路
的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值．
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y2
＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F，P 为右准线a2＋b2
上一点，点Q 在椭圆上，且FQ⊥FP.
1
(1) 若椭圆的离心率为2，短轴长为 2 3.
①求椭圆的方程；
②若直线OQ ， PQ 的斜率分别为k1， k2，求 k1·k2的值；
(2) 若在 x 轴上方存在P， Q 两点，使O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
19. (本小题满分16 分)
已知数列 {a n} 满足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝n＋5
(n∈N* )，数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.
2
(1)求 a1＋a3的值；
(2)若 a1＋a5＝ 2a3.
①求证：数列 { a2n} 为等差数列；
②求满足 S2p＝ 4S2m(p， m∈N* )的所有数对 (p， m)．
20. (本小题满分16 分)
对于定义在区间 D 上的函数f(x) ，若存在正整数k，使不等式1
k<f(x)<k恒成立，则称f(x)
为 D(k) 型函数．
(1) 设函数 f(x) ＝ a|x|，定义域 D＝ [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]．若 f(x) 是 D(3) 型函数，求实数 a 的取值范围；
(2)设函数 g(x) ＝ e x－ x2－ x，定义域 D＝ (0，2)．判断 g(x) 是否为 D(2) 型函数，并给出证明． (参考数据： 7< e2<8)
2018 届高三年级第三次模拟考试
(十三 )
数学附加题
(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟 )
21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [ 选修 41：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分 )
如图， 在△ ABC 中，已知 AB ＝ 3，BC ＝6，AC ＝ 4，D 是边 BC 上一点， AC 与过点 A ，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长.
B. [ 选修 42：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分)
1 0 1 2
， C ＝AB . 已知矩阵 A ＝ 1 ， B ＝
3－ 1 0
(1) 求矩阵 C ；
(2) 若直线 l 1 ：x ＋ y ＝ 0 在矩阵 C 对应的变换作用下得到另一直线 l 2，求 l 2 的方程．
C. [ 选修 44：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )
x ＝ 3＋ 3t ，
在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
(t 为参数 )，圆 C 的参数
y ＝ 1－ 4t
方程为 x ＝ rcos θ，
4，求 r 的值．
(θ为参数， r >0)．若直线 l 被圆 C 截得的弦长为
y ＝ rsin θ
D. [ 选修 45：不等式选讲](本小题满分10 分)
已知 a， b， c 是正实数，且a＋b＋ c＝ 5，求证： a2＋2b2＋c2≥ 10.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤
22.(本小题满分 10 分 )
将 4 本不同的书随机放入如图所示的编号为1， 2， 3， 4 的四个抽屉中．
(1)求 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；
(2) 随机变量X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求X 的分布列和数学期望E(X) ．
1234
23.(本小题满分 10 分 )
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点，直线 l 过点 F 与抛物线相交于 A ，B 两点 (点 A 在第一象限 )．
4 2
(1)若直线 l 的方程为 y＝3x－3，求直线 OA 的斜率；
(2)已知点 C 在直线 x＝－ p 上，△ ABC 是边长为 2p＋ 3 的正三角形，求抛物线的方程．
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数学参考答案
1.{3 ， 5}
2.3
3. 10
4.－ 2
5. (－ 4，1)
6. 0.3
7. 18
8. 2339. 610. 2511.3412. 61－ 3213. 1414. (－∞， 0)∪ (2，＋∞ )
15. (1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
BB1 ∥ DD1 ，且 BB1 ＝ DD1 ，
所以四边形BDD1B1 为平行四边形，
所以 B1D1 ∥BD.(4 分 )
又 BD ? 平面 C1BD ，B1D1 ?平面 C1BD ，
所以 B1D1 ∥平面 C1BD.(6 分 )
(2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连结 C1O.
因为底面ABCD 为平行四边形，
所以 O 为 BD 的中点．
又 C1B ＝ C1D ，所以 C1O⊥ BD.(8 分 )
在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD.
又 BD ? 平面 ABCD ，所以 C1C⊥ BD.(10 分)
因为 C1O∩C1C＝ C1， C1O， C1C? 平面 AA1C1C ，
所以 BD ⊥平面 AA1C1C.(12 分 )
因为 BD ? 平面 C1BD ，
所以平面C1BD ⊥平面 AA1C1C.(14 分 )
16. (1) 如图，因为图象在一个周期内的最低点为Q(－ 2，－ 3)，与 x 轴的交点为P(－6，0)，
所以 A ＝ 3， T＝ 4× (－ 2＋6)＝ 16，
所以ω＝ 2π T＝π8，
所以 f(x) ＝3sinπ8x＋φ .(3 分)
将点 Q(－2，－ 3)代入，得－ 3＝ 3sin－ 2× π 8＋φ，
所以－π 4＋φ＝－π 2＋ 2kπ， k∈ Z，
所以φ＝－π 4＋ 2kπ， k∈ Z.(5 分 )
又 |φ |≤ π 2，所以φ＝－π 4，
所以 f(x) ＝3sinπ8x－π 4.(7 分 )
(2)点 R 的横坐标 xR＝ xQ＋ 12T＝－ 2＋8＝ 6，所以 R(6， 3)． (9 分 )
因为α，β均为锐角，从而 tan α＝ 14， tan β＝34，
所以 tan 2α＝ 2tan α 1－ tan2 α＝ 2× 141－ 142＝ 815， (12 分 )
所以 tan(2α＋β )＝ tan 2α＋ tan β 1－ tan 2α tan β＝ 815＋ 341－ 815× 34＝7736.(14 分 )
17.(1) 过点 D 作 DD ′垂直于线段 AB ，垂足为 D′ .
在 Rt△ ABC 中，因为 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝π 6， AB ＝ 3，所以 BC＝3.
在 Rt△ ADD ′中，因为 AD ′＝ 1， DD ′＝ 3，所以 AD ＝ 2，所以 sin ∠ DAD ′＝ 32，所以∠ DAD ′＝π 3.
因为∠ BAC ＝π 6，所以∠ DAP ＝π 6.(2 分 )
在△ ADP 中，由正弦定理得ADsinθ ＝DPsinπ 6，
所以 DP＝ 1sin θ，π 6< θ <5π6.(6 分 )
(2) 在△ ADP 中，由正弦定理得APsin ∠ ADP ＝ ADsin 所以 AP＝ 2sin ∠ ADPsin θ＝ 2sin 5π 6－θ sin θ，所以 S△APD ＝ 12AP?PD?sin θ＝ 12?2sin 5π 6－θ sin
θ ，
θ ?1sinθ?sinθ＝ sin 5π 6－θ
sinθ .
S△ ADC ＝ 12AD?DC?sin ∠ADC ＝ 12× 2× 2sin 2π 3＝ 3，
所以 S△DPC＝ S△ADC －S△ APD ＝ 3－ sin 5π 6－θ sin θ .(8 分 )
设三项费用总和为f( θ )，
则 f( θ )＝ sin 5π 6－θ sin θ × 2＋ 3－ sin 5π 6－θsin θ× 1＋ 1sin θ ×1＝3＋ sin 5π 6－θ＋ 1sin θ，
＝12cos θ＋1sinθ＋ 332，π6<θ <5π6， (10 分 )
所以 f′ (θ )＝－ 12－ cos θ sin2 θ .
令 f′ ( θ)＝ 0，θ＝ 2π 3.
当θ化， f ′ (θ )， f( θ)的化情况如下：
所以当θ＝2π 3 ， f( θ )min ＝ 23.
故以上三用和的最小23 万元． (14 分 )
18.(1) ① 的焦距 2c.
由意，得ca＝ 12，2b＝ 23，a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝ 3， (2 分 )
所以的方程x24＋ y23＝ 1.(4 分 )
②由①得焦点F(1， 0)，准方程x＝ 4，
焦点 P(4，t) ， Q(x0， y0) ， x204 ＋ y203＝ 1，
所以 y20＝ 3－ 34x20.
所以 FQ→＝ (x0－1， y0) ， FP→＝ (3， t)，
因 FP⊥FQ，所以 FQ→ ?FP→＝ 3(x0 － 1)＋ ty0 ＝0，
所以－ ty0＝ 3(x0 －1)． (6 分 )
所以k1?k2＝ y0x0?y0－ tx0 － 4＝ y20 － ty0x20 － 4x0＝ 3－ 34x20 ＋ 3（ x0－ 1） x20 － 4x0 ＝
－34.(10 分 )
(2)Pa2c， t， Q(x0， y0) ．因 FP⊥ FQ，
所以△ FPQ 的外接即以PQ 直径的x－a2c(x－ x0)＋ (y－ t)(y － y0) ＝ 0.(12 分 )由意知焦点 F、原点 O 均在上，
所以 c－ a2c（c－ x0）＋ ty0 ＝ 0， a2cx0＋ ty0＝ 0，
消去 ty0 得 c－a2c(c－x0) － a2cx0＝ 0，
所以 x0＝ c－ a2c.(14 分 )
因点 P，Q 均在 x 上方，
所以－ a<c－ a2c<c，即 c2＋ ac－ a2>0，
所以 e2＋ e－1>0.
因 0<e<1，所以5－12<e<1.(16 分)
19. (1) 由条件，得a2－ a1＝ 3，① a3＋a2＝ 72，②
②－①得 a1＋ a3＝ 12.(3 分)
(2) ①因 an＋ 1＋( －1)nan＝ n＋ 52，
所以 a2n－ a2n－ 1＝ 2n＋ 42，③a2n＋ 1＋a2n＝ 2n＋ 52，④
④－③得 a2n－ 1＋ a2n＋ 1＝ 12， (6 分 )
所以 1＝ 12＋ 12＝ (a1＋ a3)＋ (a3＋ a5)＝ 4a3，
所以 a3＝ 14，从而 a1＝ 14.(8 分 )
所以 a2n－1－ 14＝－ a2n－ 3－14＝⋯＝ (－ 1)n－ 1?(a1－14)＝ 0，
所以 a2n－1＝ 14，将其代入③式，得a2n＝ n＋ 94，所以 a2(n＋ 1)－a2n＝ 1(常数 )，
所以数列 {a2n} 等差数列． (10 分 )
②注意到a1＝ a2n＋ 1，所以 S2n＝a1＋ a2＋⋯＋ a2n＝ (a2＋ a3)＋ (a4＋ a5)＋⋯＋ (a2n＋a2n ＋1)＝＝ n22＋3n.(12 分 )
由 S2p＝ 4S2m 知 p22＋ 3p＝ 4m22＋3m.
所以 (2m＋ 6)2＝ (p＋ 3)2＋ 27，
即 (2m＋ p＋ 9)(2m － p＋ 3)＝ 27.
又 p， m∈ N* ，
所以 2m＋ p＋9≥ 12 且 2m＋ p＋ 9， 2m－p＋ 3 均正整数，
所以 2m＋ p＋9＝ 27， 2m－ p＋ 3＝ 1，解得 p＝ 10， m＝ 4，
所以所求数对为 (10， 4)． (16 分 )
20. (1) 因为 f(x) ＝a|x|是 D(3) 型函数，所以13＜ a|x|＜ 3 在[ －3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立，
即 13|x|＜ a＜ 3|x|在 [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立． (2 分 )
又 |x|的取值范围为 [1， 3]，
所以 a＜ 3|x|min＝ 1， a＞ 13|x|max＝ 13，
所以实数 a 的取值范围为13，1.(4 分 )
(2)g(x) 是 D(2) 型函数．证明如下：
①先证明g(x) ＜ 2，记 h(x) ＝ x2 ＋x＋ 2ex，0＜ x＜ 2，
所以 h′ (x)＝－（ x2 － x＋1） ex＝－ x－ 122＋ 34ex＜ 0，
所以 h(x) 在 (0， 2)上为单调减函数， (6 分 )
所以 h(x) ＞ h(2)＝ 8e2＞ 1，
所以 x2＋ x＋ 2ex＞ 1，
即 ex－ x2－ x＜ 2，所以 g(x) ＜ 2 成立． (8 分 )
②再证明g(x) ＞ 12.
记 r(x) ＝ x2＋ x＋ 12ex， 0＜ x＜2，
所以 r′ (x) ＝－ x2－x－ 12ex.
令 r′ (x) ＝0，得 x＝ 1＋ 32∈(0 ，2)，记 x0＝ 1＋ 32，则 x0＋ 12＝ x20.
当 0＜ x＜ x0 时， r′ (x) ＞ 0；
当 x0＜ x＜2 时， r′ (x) ＜ 0，
所以 r(x) 在(0， x0)上为单调增函数，在 (x0， 2)上为单调减函数，所
以 r(x)max ＝r(x0) ＝ x20＋ x0＋ 12ex0＝ 2x20ex0.(12 分 )
要证 g(x) ＞ 12，只要证 r(x) ＜ 1，只要证 r(x)max ＜1，即证 2x20ex0＜ 1，即
证 (2x0)2 ＜ ex0，即证 2ln 2 ＋2ln x0 ＜ x0.(*)
要证明 (*) 式，先证当x＞ 1 时， ln x ＜ x2－ 12x.
记 p(x) ＝ln x － x2－ 12x， x＞ 1，
所以 p′ (x)＝ 1x－12－ 12x2＝－（ x－ 1） 22x2＜ 0，
所以 p(x) 在 (1，＋∞ )上为单调减函数，所以 p(x)<p(1) ＝ 0，即 ln x<x2 － 12x 得证，所
以 2ln 2<2 × 2－ 122＝ 12， 2ln x0<2?x20 －12x0＝ x0－ 1x0，故要证明 (*) 式，只需证
明 12＋ x0－1x0<x0 ，即证 x0<2.
又 x0＝ 1＋32<2，从而 g(x)>12.
由①②得12<g(x)<2 ，即 g(x) 是 D(2) 型函数． (16 分 )
21. A.因为过点A，B，D的圆O与AC相切，所以∠ CAD＝∠ ABC.
又∠ ACD ＝∠ BCA ，所以△ ACD ∽△ BCA ， (5 分 )
所以 ADAB ＝ACBC.
因为 AB ＝3，BC＝6，AC＝4，
所以 AD3 ＝46，所以 AD ＝ 2.(10 分)
B. (1) C ＝AB ＝ 10－ 111203＝12－ 11.(4 分 )
(x′， y′ )，
(2) 设直线 l1：x＋ y＝ 0 上任意一点 (x ，y)在矩阵 C 对应的变换作用下得到点
则 x′ y′＝ 12－ 11xy，
其坐标变换公式为x′＝ x＋2y ， y′＝－ x＋ 2y.(6 分 )
由此得 x＝x′－ 2y′ 3，y＝ x′＋ y′3，代入 x＋ y＝ 0，得 2x′－ y′ 3＝ 0，即 2x′－ y′
＝0,
所以直线l2 的方程为2x－ y＝0.(10 分 )
C.直线 l 的普通方程为 4x＋3y－ 15＝0，
圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ r2.(4 分 )
因为圆心C(0 ， 0)到直线l 的距离 d＝ |－ 15|5＝3，
又直线 l 被圆 C 截得的弦长为4，
所以 r＝ 32＋22＝ 13.(10 分)
D. 由柯西不等式得[a2＋ (2b)2＋ c2]?12＋ 222＋12≥ (a＋ b＋ c)2.(6 分)
因为 a＋ b＋ c＝ 5，所以 (a2＋ 2b2＋ c2)×52≥ 25，
所以 a2＋ 2b2＋ c2≥ 10，当且仅当a＝ 2b＝c 时取等号． (10 分 )
22. (1)将 4 本不同的书放入编号为1， 2，3，4 的四个抽屉中，共有44＝ 256(种 )不同放法．
记“ 4 本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件事件 A 共包含 A44 ＝24(个 )基本事件，
所以 P(A) ＝24256＝ 332，
所以 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为A ，332.(3 分 )
(2)X 的可能取值为 0， 1， 2，3， 4，
P(X ＝ 0)＝ 3444＝ 81256， P(X ＝ 1)＝ C14× 3344＝ 2764 ，
P(X ＝ 2)＝C24× 3244＝ 27128，
P(X ＝ 3)＝C34× 344＝ 364， P(X ＝4)＝ C4444＝ 1256.
所以 X 的分布列为：
X01234
P81256
2764
27128
364
1256
(8 分)
所以 X 的数学期望E(X) ＝ 0× 81256＋1× 2764＋2× 27128＋ 3× 364＋ 4× 1256＝ 1.(10 分 )
23.(1) 由题意，焦点 Fp2， 0 在直线 l 上，所
以 43× p2－ 23＝ 0，解得 p＝1.
所以抛物线的方程为y2＝ 2x.
由 y＝ 43x－ 23， y2＝ 2x 消去 x 得 2y2－ 3y － 2＝0，
所以 y＝ 2 或 y＝－ 12.
因为点 A 在第一象限，
所以点 A 的坐标为 (2， 2)，
所以直线OA 的斜率为 1.(3 分 )
(2)依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零．
设直线 l 的方程为 y＝kx － p2，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)， C(－ p， y3)， AB 的中点为
M(x0 ， y0)．
由 y2＝ 2px， y＝ kx－ p2 消去 y 得 k2x2－ (k2p ＋ 2p)x＋ 14k2p2 ＝0，
＝ 4p2＋ 4k2p2>0 ，x1， 2＝（ k2p ＋ 2p）±2k2，
所以 AB ＝ x1＋ x2＋ p＝ 2p＋ 2pk2＝ 2p＋ 3，
即 2pk2＝ 3.(5 分 )
MC ＝（ x0＋ p） 2＋（ y0－ y3） 2＝ 1＋1k2|x0 ＋ p|.
因为 x0＝ x1＋ x22＝k2p ＋ 2p2k2＝ 12p＋ pk2 ，所以 MC ＝1＋ 1k232p＋ pk2，
将 1k2＝ 32p 代入得 MC ＝1＋ 32p32p＋ 32.(8 分 )因为△ ABC 是边长为2p＋ 3 的正三角形，
所以 MC ＝32(2p ＋ 3)，
所以 1＋ 32p32p＋ 32＝ 32(2p＋ 3)，
解得 p＝ 3，
所以抛物线的方程为y2＝ 23x.(10 分 )。