湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ） A ．
10
B ．
10 C ．
2 D ．
15 【答案】B 【解析】 【分析】
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值. 【详解】
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AC BC AA '===,
则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，
()1,1,0CE =、()0,2,1C D '=-，
设异面直线CE 与C D '所成角为θ， 则10
cos 25
CE C D CE C D
θ'⋅=
=
=⋅'
∴异面直线CE 与C D '10故选：B 【点睛】
本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
2．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）
A B ．2
C ．D
【答案】D 【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31
(3)(1)212
i z i i i i +==+-=-+,
因此z = 选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
3．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．
53
π B ．5π C ．
253
π
D ．25π
【答案】C 【解析】 【分析】
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】
由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为
2
33
r ==
，
设正三棱柱的高为h ，由
1
232
⨯=，得h =
∴外接球的半径为R ==
∴外接球的表面积为：2
252544123
S R π
ππ==⨯=． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．
4．若实数满足约束条件，则的最大值是（）
A．B．1
C．10D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值
.
【点睛】
解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：
，
∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
6．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
设2
()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在第一象限. 【详解】
因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2
()(0)f x ax bx a =+≠，
()'2f x ax b =+，
由图可知0,0a b <>,
2240,0244b ac b b a a a
--->=>， 则函数2
()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在第一象限，故选A. 【点睛】
本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.
7．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。

现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 A ．当n=7时该命题不成立 B ．当n=7时该命题成立 C ．当n=9时该命题不成立 D ．当n=9时该命题成立
【答案】A 【解析】 【分析】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *
=∈时命题不成立，则1()n k k N *
=-∈命题也不成立，所以选A. 【详解】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，
当()n k k N *
=∈时命题不成立，则1()n k k N *
=-∈命题也不成立， 所以当8n =时命题不成立，则7n =命题也不成立， 故答案为：A 【点睛】
(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性. 8．命题 ，
；命题
，函数
的图象过点
，则
（ ） A ．假真 B ．真假 C ．假假 D ．真真
【答案】A 【解析】
试题分析：∵，∴
，∴或，∴不存在自然数，∴命题P 为假命题；
∵
，∴函数
的图象过点
，∴命题q 为真命题．
考点：命题的真假．
9．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）
A 62
- B 26
-C 5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点
()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，
进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】
因为函数3
2
()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，
所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，
即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =，
所以3()2f x x bx =++，所以2
()3f x x b '=+，
所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12
b =
， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2
k f b '===， 所以1tan 2
α=
，所以5sin α，
所以515
sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅==
παπααααα． 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．
10．已知(1,21,0)a t t =--，(2,,)b t t =，则b a -的最小值（ ） A ．5 B ．6
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
∵向量()1,21,0a t t =--，()2,,b t t =,
()2
222(1)132 2.b a t t t t -=--+-+=+≥
当t=0时，b a -取得最小值2. 故答案为2.
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）
A ．1712π+
B ．2012π+
C ．1212π+
D ．1612π+
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果. 【详解】
由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱
∴几何体表面积：()
22111
2312332132231220222
S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 12．函数()2
ln f x x x =+的零点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 因为ln y x =和2y
x 在0,
均为增函数，所以()f x 在0,
单调递增，所以函数至多一个零点，
再给()f x 赋值，根据()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
可得函数()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点 【详解】 因为ln y x =与2y
x 均在0,
上为增函数，所以函数()2
ln f x x x =+至多一个零点
又
2
2
1111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()1ln1110f =+=>，
()110f f e ⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭
，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点 答案选B 【点睛】
零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数
二、填空题：本题共4小题
13．曲线3y x 2x 1=++在x 1=处的切线方程为______． 【答案】5x y 10--= 【解析】 【分析】
求得3
y x 2x 1=++的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】
3y x 2x 1=++的导数为2y'3x 2=+，
可得曲线3
y x 2x 1=++在x 1=处的切线的斜率为k 5=， 切点为()1,4，可得切线方程为()y 45x 1-=-， 即为5x y 10--=． 故答案为：5x y 10--=． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及运算能力，属于基础题． 14．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,
,10i =），其回归直线方程是
3ˆ2ˆy
bx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.
【答案】1
6
-
【解析】 【分析】
由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出b 的值 【详解】 由已知，()12101210330x x x y y y ++
+=+++=
()12101
310x x x x ∴=
⨯+++= ()12101
110
y y y y =⨯+++=
代入回归直线方程可得：3
132
b =+
解得1
6b =-
故答案为1
6-
【点睛】
本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果
15．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________． 【答案】3 【解析】
分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]
1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.
详解：函数的()f x 的导数()()2
'31234f x ax ax ax x =-=-，
0a >，
∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.
由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，
即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 16．设集合{()2|0}A x y y x x =≥-≥，，，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，
（1）b 的取值范围是 ；
（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．
【答案】（1）[2)+∞，
（2）9
2
【解析】 【分析】 【详解】 由图象可得2b ≥
由图象得90292
b b +=∴=
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在极坐标系中,O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4cos C ρθ=上，直线l 过点(0,4)A 且与OM 垂直，垂足为P （1）当04
θπ
=
时，求0ρ及l 的极坐标方程 （2）当M 在C 上运动且点P 在线段OM 上时，求点P 的轨迹的极坐标方程
【答案】（1）0ρ=(sin cos )4ρθθ+=（2）P 点轨迹的极坐标方程为
1:4sin (0,4C πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）当04
θπ=
时，0ρ=)4M π
直角坐标系坐标为(2,2)M ，计算直线方程为4y x =-+化
为极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=
（2）P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，坐标方程为1:4sin C ρθ=，再计算定义域得到答案. 【详解】
(1)当04
θπ
=
时，004cos ρθ== 以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有(2,2)M ，(0,4)A ，1OM
k =，则直线l 的
斜率1k =-由点斜式可得直线l ：4y x =-+，化成极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=； (2)∵l OM ⊥∴2
OPA π
∠=
，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆
此时圆的直角坐标方程为2
2
(2)4x y +-=
化成极坐标方程为1:4sin C ρθ=，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得4π
θ=，
∴P 点轨迹的极坐标方程为1:4sin (0,4C πρθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
）. 【点睛】
本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.
18．新高考3+3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行
模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人． （1）请完成下面的2×2列联表；
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）见解析；（2）99.5%，理由见解析；（3）7
10
【解析】 【分析】
（1）完善列联表得到答案.
（2）计算28.3337.879K ≈>，对比数据得到答案
. （3）先计算没有女生的概率，再计算得到答案. 【详解】 （1） （2）2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为选择全理与性别有关.
（3）23257
110
C p C =-=.
【点睛】
本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生计算能力和应用能力. 19．在某中学高中某学科竞赛中，该中学100名考生的参赛成绩统计如图所示．
（1）求这100名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？ 合格 优秀 合计 男生 18 女生 25 合计
100
附：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
()20P K k ≥ 0.050
0.010
0.005
0k
3.841 6.635 7.879
【答案】 (1) 68.5 (2)填表见解析，不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关 【解析】 【分析】
（1）由每一组数据的中点值乘以该组的频率求和得答案；（2）计算70分以上的频率和频数，由此填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】
（1）由频率分布直方图，计算平均数为
450.1550.15650.2750.3850.15950.168.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；
（2）由题意，70分以上的频率为()0.0300.0150.010100.55++⨯=， 频数为1000.5555⨯=， ∴70分及以下为1005545-=， 由此填写列联表如下；
合格 优秀 合计
男生 18 30 48 女生 27 25 52 合计
45
55
100
由表中数据，计算()
()()()()
()2
2
2
1001825273048524555
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
++++⨯⨯⨯≈2.098＜6.635；
不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5时 横坐标即可，平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，之后将以上计算得到的每一个数值相加得到值.
20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若异面直线1A A 与1B C 所成角的大小为
1
arctan
2
，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.
【答案】16 【解析】
分析：由正四棱柱的性质得11//A A BB ，从而111
tan 2
BC CB B BB ∠==，进而14BB =，由此能求出正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积. 详解：∵11//A A BB
∴1CB B ∠为1A A 与1B C 所成角 且
∵=2BC ，∴1=4BB
点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.
21．（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；
（2）若关于x 的不等式2
21x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）2m ≤- 【解析】
分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；
（2）由题意，令2
()|21|f x x x =--，则不等式恒成立，即为min ()m f x ≤，分类讨论即可求解实数m 的
取值范围．
详解：（1）原不等式化为： ①1
125
x x x <-⎧⎨
---+<⎩ 或②12125x x x -≤≤⎧⎨
+-+<⎩或 ③2125
x x x >⎧
⎨++-<⎩．
解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<． ∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<<
（2）令()2
21f x x x =--，则只须()min m f x ≤即可．
①当12x ≥时，()()2
22110f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12
x <时，()()2
221122f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．
∴ 2m ≤-．
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键，着重考查了推理与运算能力．
22．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．
【答案】 (2+3
)R 【解析】 【分析】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。

【详解】
解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R 的正四面体1234.O O O O -
设底面正三角形234O O O 的中心为H,则222,3O H R R ==
1.O H ==
故上层小球最高处离桌面的距离为2.R ⎛ ⎝⎭
【点睛】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。