高等数学课件D7习题课二阶微分方程的解法及应用

f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
p dp f (y, p) dy
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次
• 常系数情形 非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x)
令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2);
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y
1 2
y3
0
y x0 0 , y
x0
1
则求解过程中得
p2
1 1 x
,
问开方时正负号如何确定?
例1. 求微分方程
y y x,
x
π 2
满足条件
y 4 y 0 ,
x
π 2
y
x0
0,
y
x0
0,
在x
π 2
处连续且可微的解.
提示:
当x
π 2
时,
解满足
y
y
m k
v
m
(
m
g k2
B
)
ln
m
g B k m g B
v
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ；
7 ; *11(1)
第十一节
备用题 1. 设二阶非齐次方程 y (x)y f (x) 有特 解 y 1 , 而对应齐次方程有解 y x2 , 求 (x), f (x) 及
(r)
2 r
f
(r)
0
y2 2u
即
r
2
f
(r
)
2
r
f
(r
)
z2
0
f
(r
)
y2 r2
f
(r
)
z r
2 2
( 欧拉方程
)
f f
(r) (r)
1 r 1 r
y2 r3 z2 r3
r 2 f (r) 2 r f (r) 0
解初值问题:
f (1) f (1) 1
令 t ln r, 记 D d , 则原方程化为 dt
x
由初始条件 y(0) 0, y(0) 3 , 得
2
C1 1, C2 1
故所求初值问题的解为
y ex ex 1 sin x 2
二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律
建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还有衔接条件
提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
m
d d
2
t
y
2
重力 浮力
mg B
阻力
kv
注意:
d2 y dt2
dv dt
dv dy
dy dt
v dv dy
O
y
质量 m 体积 B
y
得 m v dv m g B k v
dy 初始条件为 v y 0 0
用分离变量法解上述初值问题得
O
y
质量 m 体积 B
e 0.1g t x 10 (10 x)2 4 2
( 左端 1,舍去另一根)
当x= d2x
思d考t 2:
2若01gm0摩x时擦,力gt为 链1条g0 ln1(5m长2 的6质) 量(s),
定解问题的
(e 0x.1tgt0)2数1学2(1,0模型ddxx)t是et什00.1么g t0?1 0
又设卫星的初速度 为v0 ,已知地球半径 R 63105，
则有初值问题:
d2 dt
h
2
GM h2
②
h t0 R,
dh dt
t 0 v0
③
设
dh dt
v(h),
则
d2 dt
h
2
v
d d
v h
,
代入原方程②, 得
vபைடு நூலகம்
d d
v h
GM h2
v
d
v
GM h2
d
h
两边积分得
1v2 GM C
2
h
利用初始条件③, 得
x
微分方程的通解 .
解: 将 y x2 代入 y (x)y 0, 得 (x) 1
x
再将
y 1 代入 x
y 1 x
y
f (x)
得
f (x)
3 x3
故所给二阶非齐次方程为
y 1 x
y
3 x3
令 y p (x), 方程化为
p
1 x
p
3 x3
一阶线性非齐次方程
p
1 x
p
3 x3
故
y
不考虑摩擦力时的数学模型为
O
20 xt
d2
dt 0
x
2
12 ,
2(x 10)
dx d t t0
g 0
x
摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为 x
20
d2x dt2
2(x 10) g
1 g
x t0 12 ,
dx 0 d t t0
此时链条滑下来
所需时间为
t
10 ln19 4 22 (s)
例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦
力, 求链条滑下来所需的时间 .
O
解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段
下垂 x m , 又设链条线密度为常数 , 此时链条受力
F x g (20 x) g 2(x 10) g
拉普拉斯方程
2u x2
2u y2
2u z2
0,
其中
f
(r)
二阶可导,
且 f (1) f (1) 1 , 试将方程化为以 r 为自变量的常微分
方程 , 并求 f (r) .
提示: u f (r) x
x
r
2u x2
f
(r
)
x2 r2
f (r) 1
r
x2 r3
利用对称性, 原方程可化为 2u
f
P353 题3 求下列微分方程的通解
(6) yy y2 1 0, (7) y 2y 5y sin 2x .
提示: (6) 令 y p ( y) , 则方程变为
ypdp p2 1 0 , dy
即
pdp 1 p2
dy y
(7) y 2y 5y sin 2x
特征根: r1, 2 1 2i ,
当x
2
时,
解满足
y 4 y 0
y
x
2
1
2
,
y
x
2
1
其通解: y C1 sin 2x C2 cos 2x
定解问题的解:
y
1 2
sin
2x
(1
2 )
cos
2x,
x
2
故所求解为
y sin x x ,
y
1 2
sin
2
x
(1
2
)
cos
2x
,
x
2
x
2
例2. 设 f (x) 二阶导数连续, 且满足方程
C
1 2
v02
GM R
因d此2 h
dt2
G12Mv
h2
2
1 2
v02
G
M②
1 h
1 R
注h意t到0
R, lidmh
hdt
1 2t
v2
0
1 v20
v02
③G
M
1 R
为使 v 0, v0 应满足
v0
2G M R
④
因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即
G
M R2
m
m
g
(g 9.81m s2)
2 . 解微分方程问题
3 . 分析解所包含的实际意义
例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.
解: 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星
的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得:
m
d2 dt
h
2
G
M h2
m
(G 为引力系数)
代入原微分方程得
y y sin x
①
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 ex C2 ex B 设dd①2y12x2的, 故特( yy解s为inxy)12(ddsixyn)A3x,co从0s x而得B①sin的x通, 代解入: dd①xy得 y1A,＝0,
y
C1
e
x
C2
e
x
1 2
sin
齐次方程通解: Y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 y* Acos 2x Bsin 2x
代入方程可得
A
1 17
,
B
4 17
原方程通解为 y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x )
1 17
cos
2
x
4 17
sin
2
x
思考
若 (7) 中非齐次项改为 sin2 x, 特解设法有何变化 ?
特征根 : r1,2 i ,
y y x y x0 0 , y x0 0
设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得 y x
故通解为 y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x0 0, y x0 0, 得
y sin x x
(
x
π 2
)
由x
2
处的衔接条件可知,
答案: (x) 1 ex (2x 1) 1 ex
4
4
例3. 设函数 y y(x) 在 (,)内具有连续二阶导
数, 且 y 0, x x( y)是 y y(x)的反函数 ,
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程
d2 x d y2
(
y
sin
x)(d d
x)3 y
0
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
提示:
sin 2
x
1cos 2x 2
,
故
y*
A cos
2x
B sin 2x
D
P354 题4(2) 求解
y ay2 0 y x0 0 , y x0 1
提示: 令 y p (x), 则方程变为 d p a p2
dx
积分得
1 p
ax
C1,
利用
p
x0 y
x0
1
得
C1
1
再解
dy dx
1 1 ax
为 k), 初始位移为s0, 初始速度为v0, 求质点的运动规律
s s(t).
提示:
由题设
s
F ds k t,
s0
两边对 s 求导得:
F k d t 牛顿第二定律 ds
m
d2s dt2
k
dt ds
ds dt
d2s dt2
k m
d ds 2 2k
dt dt m
ds dt
2
2k m
t
C1
…
开方如何定 + – ?
g
3
练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,
在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,
体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正
比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (2019考研 )
4 (2)；
3 (6) , (7) ;
解答提示
P353 题2 (2) 求以 y C1 ex C2 e2 x 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r1 1 , r2 2 ,
故特征方程为 (r 1)(r 2) 0 , 即 r 2 3r 2 0 因此微分方程为 y 3y 2y 0
习题课 (二)
第七章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令 p (x) dy dx
d p f (x, p) dx
•
d2y dx2
x
由牛顿第二定律, 得
20
d d
2
t
x
2
2(x 10) g
x t0 12 ,
dx 0 d t t0
x
d2x d t2
g 10
x
g
微分方程通解: x C1 e 0.1g t C2 e 0.1g t 10 由初始条件得 C1 C2 1, 故定解问题的解为
解得
x e 0.1g t e 0.1g t 10
故 G M R2g , 代入④即得
v0 2R g 2 63105 9.81
11.2 103 (m s) h这lim说 12明v2第二12宇v02宙 G速M度R为1 11.2 km s
例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数
[D(D 1) 2D] f 0 即 [D2 D] f 0
通解:
f
(r)
C1
C2
et
C1
C2
1 r
利用初始条件得特解:
f (r) 2 1 . r
f
(
x)
sin
x
x(
0
x
t
)
f
(t)
d
t
求 f (x) .
提示:
f
(x)
sin
x
x
x
0
f
(t) d t
0xt
f
(t) d t, 则
f
(x)
cos
x
x
0
f
(t) d
t
x
f
(x)
x
f
(x)
f (x) sin x f (x)
问题化为解初值问题: f (x) f (x) sin x f (0) 0 , f (0) 1
p
e
1 x
d
x
3 x3
e
1 x
d
x
d
x
C1
1 x2
C1
x
再积分得通解
y
1 x
C1
x2
C2
(
C1
1 2
C1
)
复习: 一阶线性微分方程 y P(x) y f (x)
通解公式:
y e P(x)dx f (x) e P(x)d xd x C
2. 设函数 u f (r) , r x2 y2 z2 在 r > 0内满足