第8篇 第6节 曲线与方程课件 理 新人教A版 课件

即时突破2 (1)已知圆P过点A(1,0)且与直线l：x＝－1相
切，则圆心P的轨迹方程为________．
(2)若动圆P过点N(－2,0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2
＝8相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________．
解析：(1)设动圆半径为r，P到l的距离为d，则由题意
知，
|PA|＝r，
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点， 因为y′＝12x，所以l的斜率为12x0， 因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)， 即x0x－2y＋2y0－x20＝0， 所以O点到l的距离d＝|2yx002－＋x420|.
又y0＝14x20－2， 所以d＝ 12xx2002＋＋44＝12 x20＋4＋ x204＋4≥2， 当x0＝0时取等号， 所以O点到l距离的最小值为2.
答案：y2＋5x＋5＝0
考点突破
利用直接法求轨迹方程
[例1]
设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且
→ MN
＝
2 M→P，P→M ⊥ P→F .当P点在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方
程．
[思维导引] 由M→N＝2M→P确定三点 M、N、P 的关系，
设出点 N 的坐标表示出向量P→M、P→F的坐标，利用P→M⊥P→F建
所以1＋ 22x2＋[(1＋ 2)y]2＝(1＋ 2)2， 化简得x22＋y2＝1. ∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.
分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用 [典例] 平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a＞0)连线 的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所 成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线． 求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系． 分析：设动点M的坐标，并用坐标表示点M的条件， 化简即得曲线C的方程，然后根据m的不同取值分类讨论曲 线的形状．
又∵P→M⊥P→F， 故P→M·P→F＝0， 即－x＋y42＝0， ∴y2＝4x(x＞0)，即为轨迹C的方程．
(1)利用直接法求解轨迹方程的 关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时 破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余 的点，这是不能忽视的． ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以 省略．
(2)对于曲线C上任意一点D(x，y)， 由于|DM|－|DN|＝2R－2≤2， 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合， 可得|AB|＝2 3. 若l的倾斜角不为90°，
由r1≠R知l不平行于x轴， 设l与x轴的交点为Q，
B．x－2y＋1＝0
C．2x－y－7＝0
D．2x＋y－7＝0
解析：到A、B距离相等的点的轨迹为线段AB的中垂 线．AB中点为(3，－1)，kAB＝－23－－41＝2，故AB中垂线的斜
率k＝－12.所求轨迹方程为y－(－1)＝－12(x－3)，即x＋2y－1
＝0.故选A. 答案：A
3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小
利用定义法求轨迹方程
[例2] (2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2 ＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.
(1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于 A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且
→ AP
＝
2 2
→ PB
，求
点P的轨迹C的方程．
解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)， 则A→P＝(x－x0，y)，P→B＝(－x，y0－y)，
因为A→P＝ 22P→B，
所以x－x0＝－ 22x，y＝ 22(y0－y)，
得x0＝1＋ 22x，y0＝(1＋ 2)y. 因为|AB|＝1＋ 2，即x20＋y02＝(1＋ 2)2，
[例3] 已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点 C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方 程．注：[若三角形三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，(x3，y3)，则重心的坐标为(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)].
[思维导引] 用重心坐标表示C点坐标，代入曲线方程 整理．
立方程，化简得 N 点的轨迹方程．
[解] ∵M→N＝2M→P，故 P 为 MN 中点， 又∵P→M⊥P→F，P 在 y 轴上，F 为 (1,0)， 故 M 在 x 轴的负方向上， 设 N(x，y)， 则 M(－x,0)，P(0，2y)，(x＞0)， ∴P→M＝(－x，－2y)，P→F＝(1，－2y).
2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐 标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化 简； (4)查漏补缺．
3．求动点轨迹方程的常用方法 (1)直接法．也叫直译法，即根据题目条件，写出关于 动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简． (2)定义法．先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然 后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程． (3)代入法．也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)与 已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′、y′， 再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程． (4)参数法．选取适当的参数，分别用参数表示动点坐 标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．
故点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，实轴长为 2 2，焦距 为 4 的双曲线的左支，
则 a＝ 2，c＝2，∴b＝ c2－a2＝ 2， 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 x22－y22＝1(x≤－ 2)． 答案：(1)y2＝4x (2)x22－y22＝1(x≤－ 2)
利用相关点法(代入法)求轨迹方程
第6节 曲线与方程
基础梳理
1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的__坐__标__都是这个方程的___解__； (2)以这个方程的_解___为坐标的点都是曲线上的点． 那 么 ， 这 个 方 程 叫 做 _ _曲_ _线_ _的_ _方_程_ _ _ ； 这 条 曲 线 叫 做 ____方__程__的__曲__线____．
[解] 设△ABC的重心G的坐标为(x，y)，顶点C的坐标 为(x1，y1)．
由三角形重心坐标公式，得xy＝ ＝xy11－ －33 22， . 解得xy11＝ ＝33xy＋ ＋22， ， 即C(3x＋2,3y＋2)．
由点C在曲线y＝3x2－1上， 得3y＋2＝3(3x＋2)2－1， 整理得y＝9x2＋12x＋3， 故△ABC重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.
即时突破1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－ 1)，B点在直线y＝－3上，M点满足 M→B ∥ O→A ， M→A ·A→B ＝ M→B·B→A，M点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程； (2)P为曲线C上的动点，l为曲线C在P点处的切线，求O 点到l距离的最小值．
解：(1)设M(x，y)． 由已知得B(x，－3)， 又A(0，－1)， 所以M→A＝(－x，－1－y)，M→B＝(0，－3－y)， A→B＝(x，－2)． 再由题意可知(M→A＋M→B)·A→B＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0， 所以曲线C的方程为y＝14x2－2；
①
d＝r，
②
故|PA|＝d，又因A∈/ l，由抛物线的定义可知，点P的
轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
(2)∵动圆 P 过点 N(－2,0)， ∴|PN|是动圆的半径． 又∵动圆 P 与圆 M 相外切， ∴有|PM|＝|PN|＋2 2， 即|PM|－|PN|＝2 2<|MN|＝4，
1，则点P的轨双曲线
D．抛物线
解析：依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点
(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．故选D.
答案：D
4．已知点A(－2,0)、B(－3,0)，动点P(x，y)满足 P→A ·P→B ＝x2＋1，则点P的轨迹方程是________．
解析：由题意得P→A＝(－2－x，－y)， P→B＝(－3－x，－y)， ∴P→A·P→B＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1. 即y2＋5x＋5＝0.
当k＝－ 42时，由图形的对称性可知|AB|＝178.
综上，|AB|＝2 3或|AB|＝178.
(1)求轨迹方程时，若动点满足 圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义 先定轨迹类型，再写出其方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整 的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则 应对其中的变量x和y进行限制．
则||QQMP||＝rR1， 可求得Q(－4,0)，
所以可设l：y＝k(x＋4)，
由l与圆M相切得 1|3＋k|k2＝1，
解得k＝±
2 4.
当k＝ 42时，将y＝ 42x＋ 2代入x42＋y32＝1， 并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝－4±76
2 .
所以|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝178.
1．2014北京市海淀区高三模拟)方程x2＋xy＝x的曲线
是( )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：由x2＋xy＝x得x(x＋y－1)＝0，
即x＝0或x＋y－1＝0，为两条直线，选C.
答案：C
2．到A(2，－3)和B(4,1)距离相等的点的轨迹方程为
()
A．x＋2y－1＝0
x2 a2
＋
y2 －ma2
＝1，C是焦点
在y轴上的椭圆；
当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在
原点的圆；
当－1＜m＜0时，曲线C的方程为
x2 a2
＋
y2 －ma2
＝1，C是
焦点在x轴上的椭圆； 当m＞0时，曲线C的方程为ax22－mya22＝1，C是焦点在x轴
上的双曲线．
由含参数的方程讨论曲线类型 时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数 与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由 于m≠0，而x2与y2的系数相等时m＝－1，故分m＜－1，m＝ －1，－1＜m＜0，m＞0四种情形进行讨论．
相关点法求轨迹方程的一般步 骤为：
(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标 为(x1(，2)求y1)关；系式：求出两点坐标之间的关系式 x1＝fx，y， y1＝gx，y.
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到 所求动点的轨迹方程．
即时突破3 已知长为1＋ 2 的线段AB的两个端点A、B
解：设动点为M，其坐标为(x，y)，
当x≠±a时， 由条件可得kMA1·kMA2＝x－y a·x＋y a＝x2－y2a2＝m，
即mx2－y2＝ma2(x≠±a)．
又A1(－a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，
故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.
当m＜－1时，曲线C的方程为
[思维导引] (1)写出点P满足的几何条件，根据圆锥曲 线的定义判断轨迹的类型再求方程．
(2)由圆P的半径最长确定圆P的方程，再由l与两圆相 切确定l的方程，与曲线C联立可求得弦AB的长．
[解] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1,0)，半径 r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点， 长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．