第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：①直线l 与x 轴相交；
②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k ＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围)
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k
3
3
1
3
－3
－1
－3
3
(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )
A ．45°
B ．135°
C ．0°
D ．无法计算
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A ．0° B ．45° C ．60° D ．90° 3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5 B ．8 C ．13
2 D ．7
4．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( )A ．
33 B ． 3 C ．1 D ．22
直线的倾斜角
【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，
那么l 1的倾斜角为( )
A ．α＋45°
B ．α－135°
C ．135°－α
D ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜
角为( )
A ．α
B ．180°－α
C ．180°－α或90°－α
D ．90°＋α或90°－α 跟踪训练2 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为 ．
直线的斜率
【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )
A ．(2，0)或(0，－4)
B ．(2，0)或(0，－8)
C ．(2，0)
D ．(0，－8) (2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A ．(－1，0]
B ．[0，1]
C ．[1，2]
D ．[0，2]
例3 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．
解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1
x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
1．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________．
(2)过点P (－2，m )，Q (m ，4)的直线的斜率为1，则m 的值为________．
跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
直线倾斜角与斜率的综合
[探究问题]1．斜率公式k＝y2－y1
x2－x1
中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
命题角度1三点共线问题
例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．
跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为()
A．0 B．1 C．2 D．3
命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围
例4直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC都不存在．
3.y2－y1
x2－x1
的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]
C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°
D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°
3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150° 5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)
B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)
C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)
D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7) 6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 2
7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．α B ．180°－α C ．180°－α或90°－α D ．90°＋α或90°－α 8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.1
2 D ．0
二、填空题
9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
的值等于 ．
10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 三、解答题
13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．
(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？
四、探究与拓展
14．已知坐标平面内三点A(－1,1)，
B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为()
A．[
3
3，3] B．[0，
3
3]∪[3，＋∞) C．[
3
3，＋∞) D．[3，＋∞)
15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1．两条直线平行与斜率之间的关系
类型斜率存在斜率不存在
条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°
对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图示
思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
2．两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应关
系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔
k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
思考1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
思考2 已知tan(90°＋α)＝－1
tan α
，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？
思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？
1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13
2．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－1
2
，则l 1与l 2( )
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．非以上情况
3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．
两直线平行的判定及应用
【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．
(1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)．
1．已知l 1经过点A (－3，3)，B (－8，6)，l 2经过点M ⎝⎛⎭⎫－212，6，N ⎝⎛⎭
⎫9
2，－3，求证：l 1∥l 2.
跟踪训练2 已知A (1，－a ＋13)，B (0，－1
3)，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD
平行．
两条直线垂直关系的判定
【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．
(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；
(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．
例3已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．求证：△ABC是直角三角形．
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
1．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值．
跟踪训练2已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．
两直线平行与垂直的综合应用
[探究问题]
1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？
2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？
【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m 的值．
1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？
2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？
例4已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
引申探究本例中若将条件“四边形ABCD 为直角梯形”改为AC ∥BD ，AB ∥CD ，求A 点坐标．
反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．
跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．
一、选择题
1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，那么直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．a C ．－1a
D ．－1
a
或不存在
3．若直线l 1的倾斜角为135°，直线l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．平行或重合
4．已知点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或1
D ．0或2
5．已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A ．20°，110° B ．70°，70° C ．20°，20°
D ．110°，20°
6．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 二、填空题
7．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (4
a ，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，
则实数a 的值为________．
8．已知A (2,0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为________．
9．若点P (a ，b )与点Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为________．
10．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝____________；若l 1∥l 2，则b ＝____________.
11．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是______．
三、解答题
12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
四、探究与拓展
13．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为______．
14．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．。