2023年高考数学二轮复习讲练测专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类(原卷版)

专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b
f x a x x
=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-
B ．1
2
-
C ．1
2
D ．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A ．ππ22
-，
B ．3ππ22-
， C ．ππ222
-+，
D ．3ππ222
-
+， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点
B ．()f x 有三个零点
C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线
4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}
2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至
少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1,
11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪
=⎨+->⎪⎩则
12f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________．
8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()2
1,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．
【方法技巧与总结】
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型： （1）对称轴变动，区间固定； （2）对称轴固定，区间变动； （3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别式()
243b ac ∆=-．
增区间：(), x -∞，
0∆≤恒成立，三次函数()f x 在R 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当0∆≥时，()0f x '=有两根1x ，2x ，不妨设12x x ＜，则1223b x x a
+=-
，可得三次函数
()f x 在
()1, x -∞，()2, x +∞上为增函数，在()12, x x 上为减函数，则1x ，2x 分别为三次函数()32f x ax bx cx d
=+++的两个不相等的极值点，那么：
① 若()()120f x f x ⋅＞，则()f x 有且只有1个零点； ② 若()()120f x f x ⋅＜，则()f x 有3个零点； ③ 若()()120f x f x ⋅=，则()f x 有2个零点．
特别地，若三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞存在极值点0x ，且()00f x =，则()f x 地解析式为
()()()2
0f x a x x x m =--．
同理，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＜，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++≠的导函数()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点, 33b
b f
a
a ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明()()0f a f b ⋅<．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明()()0f a f b ⋅<．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． （2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【核心考点】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 【典型例题】
例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数322ln ()x ex mx x
f x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为
（ ） A ．2
1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．21,e e ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,e e ⎛
⎤-∞+ ⎥⎝⎦
D ．1,e e ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数()32
2ln f x x ex mx x =-+-，记()()
f x
g x x
=
，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．2
1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦
B ．210,e e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
C ．21e ,e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
D ．2211e ,e e e ⎛⎤
--+ ⎥⎝
⎦
例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数()2
2x x
f x x x a e
=--
+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1]e
+
B ．1
(0,]e e +
C ．1
[,)e e ++∞
D ．1
(,1]e
-∞+
核心考点二：函数嵌套问题 【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程2
5()()()f x mf x m R e
-=∈有
n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为
A ．3
B ．1或3
C ．4或6
D ．3或4或6
例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()||
12x f x e =-，()()1
1,0
21ln ,0
x x g x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩
若关于x 的方程()()0g f x m -=有四个不同的解，则实数m 的取值集合为（ ） A ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．ln 2,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．ln 22⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
D ．()0,1
例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数()ln x f x x
=
，若关于x 的方程()()2
10f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2e,1e --
B ．()1e,0-
C ．(),1e -∞-
D ．()1e,2e -
核心考点三：函数整数解问题 【典型例题】
例7．（2023·福建宁德·高三）当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13
B ．21
C ．26
D ．30
例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x ]表示不超过x 的最大整数（称为x 的整数部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f （x ）=（1﹣ln x ）（ln x ﹣ax ）有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，若[x 1]+[x 2]+[x 3]=6，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．ln 31,3e ⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．ln 21,2e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2ln 3,23⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 核心考点四：唯一零点求值问题 【典型例题】
例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数()()()2
ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则a =（ ）
A ．0
B ．1
2
-
C ．1
D ．2
例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．2
D ．3
例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，
且()()sin x
g x h e x x x ++=-，若函数()()202023
20202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或1
2
B ．1或1
2
-
C ．1-或2
D ．2-或1
核心考点五：等高线问题 【典型例题】
例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数2()log 1f x x =-，若方程()f x a =(0)a >的4个不同实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，有以下三个结论：①142x x +=且232x x +=；②当1a =时，12
11
1
x x +=且
3411
1x x +=；③2134
0x x x x +=．其中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数2()(2)x f x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根
()123123x x x x x x <<，，，则
22
a
x -的取值范围为（ ） A ．1
0e
⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
，
B
．1e
⎡-⎢⎣⎭
C
．()
D
．(
例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数(){}2
max ,32f x x x =-，其中{},max ,,p p q p q q p q ≥⎧=⎨
<⎩，若方程()()3
02
f x ax a =+
>有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1423x x x x ++的取值范围是（ ）
A ．93,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭
B ．193,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭
C ．39,210⎫⎛- ⎪⎝⎭
D ．319,210⎫⎛- ⎪⎝⎭
核心考点六：分段函数零点问题 【典型例题】
例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数2
|ln(1),1
()(2),1
x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩，若方程()0f x m -=有4个不相同的
解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0,1]
B ．[0,1)
C ．(0,1)
D ．[0,1]
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log ,1()11,14x x f x x x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，()()g x f x kx =-，若函数()g x 有两个零点，
则k 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．10,ln 2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．11,42eln ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
例18．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数2
2,0
()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个
零点，则m 的取值范围是（ ）． A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞-
C ．[0,)+∞
D ．[1,0)-
核心考点七：函数对称问题 【典型例题】
例19．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数()22ln ,0
3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同
的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是
A ．1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
例20．（2023·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[],P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看
作同一个“友好点对”）．已知函数()22log ,04,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
例21．（2023·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数
2229,0
()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪
=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
核心考点八：零点嵌套问题 【典型例题】
例22．（2023·湖北武汉·高三月考）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（ ）
A ．1
B ．2(1)a -
C ．1-
D ．1a -
例23．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数2
()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中
123x x x <<），则3
122
312111e e e
x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为 A ．1
B ．1-
C ．a
D ．a -
例24．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数()()()2
ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的
零点，（其中123x x x <<），则2
312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫---
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭的值为 A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1
核心考点九：函数零点问题之三变量问题 【典型例题】
例25．（2023·全国·高三）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．
A ．()0-∞，
B ．3
(0)[)2e
-∞⋃+∞，
， C ．3
(0]2e
，
D ．3[
)2e
+∞， 例26．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得ln 0y
e xy x ay y
--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是
A ．2
(,)4e -∞-
B ．2
(,0)4e -
C ．2
[,)4e -+∞
D ．2
(,)4
e -+∞
例27．（2023·四川省新津中学高三月考（理））若存在两个正实数,x y ，使得等式330y
x x e ay -=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为
A ．2
[,)8e +∞
B ．3
(0,]27e
C ．3
[,)27e +∞
D ．2
(0,]8
e
核心考点十：倍值函数 【典型例题】
例28．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）对于函数()y f x =，
若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x
f x e x =+是k
倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,e ++∞
B ．()2,e ++∞
C ．1,e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
D ．,e e 2⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
例29．（2023·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[]
,x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数.若()x
f x e =是k 倍值函数，则k 的取值范围为（ ）
A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()1,e
C ．(),e +∞
D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
例30．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则k 的取值范围为（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．11,1e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
D ．11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
核心考点十一：函数不动点问题 【典型例题】
例31．（2023·广东海珠·高三期末）设函数()f x a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线
y x x =
上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ） A ．1e
[1]e
-, B ．1e
[
e 1]e
-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]
例32．（2023·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的
一个不动点.设函数()1(x
g x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满
足()()2
f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭
，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．⎛⎫
-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫
+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤
⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
例33．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1
ln 2
=+
-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1
,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦e
B ．e 1,ln 212⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
C ．1,ln 212⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
核心考点十二：函数的旋转问题 【典型例题】
例34．（2023·上海市建平中学高三期末）双曲线2
213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）
的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ） ①f （x ）是奇函数；
②f （x ）的图象过点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫
-⎪⎪⎝⎭； ③f （x ）的值域是33,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
；
④函数y ＝f （x ）－x 有两个零点． A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
例35．（2023·山东青岛·高三开学考试）将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转
(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（ ）
A ．32
B ．23
C ．1
D 例36．（2023·浙江·高三期末）将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫
⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当
(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（ ）
A ．π
6
B ．π4
C ．3π4
D ．2π3
核心考点十三：构造函数解不等式 【典型例题】
例37．（2023·江西赣州·高三期中（文））已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1
()2
f x '>，则不等式||1
(||)22
x f x <+的解集为（ ） A ．(,1)-∞-
B ．(1,)+∞
C ．(1,1)-
D ．(,1][1,)-∞-+∞
例38．（2023·全国·高二课时练习）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，
()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0+∞，
B ．()2019+∞，
C ．()0-∞，
D ．()()02019-∞+∞，，
例39．（2023·全国·高二课时练习）已知()f x 的定义域为0,
，()'f x 为()f x 的导函数，且满足
()()f x xf x '<-，则不等式()()()
2111f x x f x +>--的解集是（ ）
A ．0,1
B ．2,
C ．1,2
D ．1,
核心考点十四：导数中的距离问题 【典型例题】
例40．（2023春•荔湾区期末）设函数22()()(22)f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5
f x 成立，则实数a 的值是( ) A ．15
B ．
25
C ．
12
D ．1
例41．（2023•龙岩模拟）若对任意的正实数t ，函数33()()()3f x x t x lnt ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．1
(,]2
-∞
B ．(-∞
C ．(-∞
D ．(-∞，2]
例42．（2023•淮北一模）若存在实数x 使得关于x 的不等式222
1
()22
x e a x ax a -+-+成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1{}2
B ．1{}4
C ．1
[2，)+∞
D ．1
[4
，)+∞
核心考点十五：导数的同构思想 【典型例题】
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式ln ln(1)0x e mx x m ---+≥在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(]1,1-
B ．(]1,1e --
C ．(]1,1e -
D ．(]1,e
例44．（2023·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mx
x
e m
-
≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[)1,+∞
D ．[),e +∞
例45．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意()0,x ∈+∞，不等式ln 0ax ae x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
D ．(),e +∞
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 【典型例题】
例46．（2023·浙江·高三月考）已知函数2()1x f x xe =-，不等式()ln f x mx x ≥+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞
B ．[0,2]
C ．(
2
,e 1⎤-∞-⎦
D ．2
0,1e ⎡⎤-⎣⎦
例47．（2023·四川省资中县第二中学高二月考（理））关于x 的不等式()32ln 11
3x x a x xe x
+++-≥对任意0
x >恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．(],1-∞-
B ．(){},1e -∞⋃
C ．[],1e --
D ．(],0-∞
例48．（2023·全国·高三专题练习）已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式2ln 0x a x a b -+-≥恒成立，则ab 的最大值为_______．
核心考点十七：三次函数问题 【典型例题】
例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函
数()()32
0ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数
()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+
++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2021 B ．
2021
2
C ．2022
D ．
4021
2
例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数()f x 都有对称中心，其对称中心为00(,())x f x （其中0''()0f x =）.已知函数32()345f x x x x =-++.若()4,()10f m f n ==，则m n +=（ ） A ．1
B ．3
2
C ．2
D ．3
例51．（2023·全国·高三月考（文））已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32
f x x mx nx p =+++有三个零点a ，
b ，
c ，且满足()()3112
f f -=<
，()()022f f =>，则111
a b c ++的取值范围是（ ）
A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
核心考点十八：切线问题 【典型例题】
例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ）
①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03b
x a
≠-时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03b
x a
≠-时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．23,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A ．e b a <
B ．e b a >
C ．0e b a <<
D ．0e a b <<
核心考点十九：任意存在性问题 【典型例题】
例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式()()()221212log 1log 3,,13
x x
a x x ++-≥-∈-∞恒
成立，则实数a 的范围是（ ） A ．[0,)+∞
B ．[1,)+∞
C ．(,0]-∞
D ．(,1]-∞.
例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()=++f x x px q 对,∀∈p q R ，总有0[1,5]∃∈x ，使()0f x m
≥成立，则m 的范围是（ ） A ．5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,2]-∞
C ．(,3]-∞
D ．(,4]-∞
例57．（2023·全国·高二课时练习）已知()()1ln f x x x =+，若k ∈Z ，且()()2k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
核心考点二十：双参数最值问题 【典型例题】
例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，且0ab ≠，对任意0x >均有
()()(ln )0x a b x a x b ----≥，则（ ） A ．0,0a b <<
B ．0,0a b <>
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b >>
例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数()()0,0f x ax b a b =+>>，()()ln 2g x x =+，若对2x ∀>-，()()f x g x ≥恒成立，则实数b
a
的取值范围为（ ）
A ．[)0,+∞
B ．[)1,+∞
C ．[)2,+∞
D ．[),e +∞
例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则b
a 的最大值为（ ）
A ．1e
B ．2
C ．43
D ．2e
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 【典型例题】
例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．⎛-∞ ⎝⎦
C ．,⎛-∞ ⎝⎦
D ．⎫
⎪⎪⎝⎭
例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x +=2x ax +，记2()
()()g x h x xf x x =+
，若对于任意的1212x x <<<，都有
()()1212
0h x h x x x -<-，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．(0,)+∞
C ．(,1]-∞-
D ．(0,2]
例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨⎛⎫
-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．[)1,8
C ．()4,8
D ．[)4,8
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 【典型例题】
例64．设二次函数2()(2)32f x a x ax =-++在R 上有最大值，最大值为m （a ），当m （a ）取最小值时，(a =
) A ．0
B ．1
C ．
12
D
例65．（2023春•绍兴期末）已知函数2()||||f x x a x b =+++，[0x ∈，1]，设()f x 的最大值为M ，若M 的最小值为1时，则a 的值可以是( ) A
B ．0 C
D ．1
例66．（2023•济南模拟）已知函数2
()|
|2
x f x ax b x -=--+，若对任意的实数a ，b ，总存在0[1x ∈-，2]，使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1
(,]4
-∞
B ．(-∞，1
]2
C ．(-∞，2
]3
D ．(-∞，1]
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 【典型例题】
例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数x ，y 使得不等式22
4
14lnx x lny ln y -++
-成立，则(x
y += ) A
B
C
D 例68．（2023•上饶二模）已知实数x ，y 满足2(436)326x y ln x y e x y +-+--+-，则x y +的值为( ) A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
例69．（2023•崇明区期末）若不等式(||)sin()06
x a b x π
π--+对[1x ∈-，1]恒成立，则a b +的值等于(
) A ．
23
B ．
56
C ．1
D ．2
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【典型例题】
例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，
()[)
[)
232
,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,3 B ．[]1,3 C ．[]1,4
D ．[]2,4
例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13
()()18≥
-f x t t
恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-
B
．((,0,
3⎤-∞⎦
C ．[)
[)1,03,-
+∞
D ．)
)
3,⎡⎡+∞⎣⎣
例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当
[)0,2x ∈时，()[)[)
2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值
范围为（ ） A ．30t -≤≤
B ．31t -≤≤
C ．20t -≤≤
D ．01t ≤≤
【新题速递】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·
南宁二中校考一模）已知函数()2,01,011
x x f x x x x ⎧≤⎪
=-≤<⎨≥，若函数
()()()22231g x m f x mf x =-+，存在5个零点，则m =（ ） A ．1
B ．1
2
C ．1或1
2
D ．1-
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,0
3,0
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数
()g x 的零点个数为（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()1
1,041,0x x
f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值
为（ ） A ．4
B ．9
2
C ．
143
D ．5
4．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ）． A ．114a b
+≤
B ．存在a ，b ，使得223a b +≥
C ．22log log 1a b ⋅≤
D ．存在a ，b ，使得直线10ax by 与圆224x y +=相切
5．（2023·全国·高三专题练习）已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2
401y x x =≤≤上，若△
ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（ ） A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P 为直线=1y x --上一动点，过点P 作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点记为A ，B ，则原点到直线AB 距离的最大值为（ ） A ．1
B
C
D ．2
7．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则
11
a b
+的最小值是（ ） A ．16
B ．12
C ．8
D ．4
8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意
(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1
二、多选题
9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()e x
f x x =-，()ln
g x x x =-，则下列说法正确的是
（ ）
A ．()
e x
g 在()0,∞+上是增函数
B ．1x ∀>，不等式()()
2
ln f ax f x ≥恒成立，则正实数a 的最小值为2e
C ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>
D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则
21ln t x x -的最大值为1
e
10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数32()e 3
x
f x ax =-有三个不同的极值点1x ，2x ，3x ，且
123x x x <<，则下列结论正确的是（ ）
A ．2
e 8
a >
B ．11x <-
C ．2x 为函数()f x 的极大值点
D ．()2
3e 3
f x <
11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()3
f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则下列条件能
使函数()f x 仅有一个零点的是（ ） A ．3a =-，3b =-
B ．3a =-，2b =
C ．0a =，3b =-
D ．1a =，2b =
12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意实数x ，都有2()e ()x f x f x -=，且满足22()()21e x f x f x x -'+=+-，则（ ）
A ．函数()e ()x F x f x =为偶函数
B ．(0)0f =
C ．不等式e ()e e x x
x
f x +<的解集为(1,)+∞ D ．若方程
2()
()0f x x a x
--=有两个根12,x x ，则122x x a +> 13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点P ，Q ，使得()f x 在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ） A ．sin cos y x x =+ B ．(sin c s )o y x = C ．sin y x x =+
D ．2sin y x x =+
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（ ） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点
C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-
D ．若==1a b ，则1l 与2l 三、填空题
15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数a ，b 满足1e 4a a +=+，()ln 3b b +=，则b a -的值为____________． 16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()234
2023
12342023
x x x x f x x =+-+-+
+，()234
20231234
2023
x x x x g x x =-+-+-
-，设()()()53F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[](a b a b <，，a ，)b Z ∈内，则b a -的最小值为__________．
17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程e 0x ax a -+=有唯一的实数解，实数a 的取值范围为__________．
18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数()()23e ,? 0
e ,? 0x x x
f x x a x ⎧->=⎨
-≤⎩
，若()()12f x f x =，且12x x -的最大值为4，则实数a 的值为_______．
19．（2023·全国·高三专题练习）若存在0a >，0b >，满足(2e )ln (2e )ln a t b a b t b a a +-=-，其中e 为自然对数的底数，则实数t 的取值范围是___________．
20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若2224ln x ax a x ->，则a 的取值范围是______．。