高中数学命题比赛参赛试题

高中数学命题比赛参赛试题
一、选择题（本题共2道小题，每题10分，每题有且仅有一个正确选项） 1、下图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图为均等腰三角形，且正视图的面积等于俯视图的面积，则该空间几何体的表面积等于（ ）
A.1744+
B.284+
C.16
D.20
2、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a>0）所表示的平面区域内
的面积等于2，则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3 二、填空题（本题共2道小题，每小题10分，共20分）
3、已知等差数列}{n a 满足)3(82426≥+=+-n n a a n ，则=+++n a a
a 2 (2221)
4、对于函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=-7x ,a
7
x ,3x )a 3(x f 6x ，图像上任意不同两点P 、Q ，总存在正数
k ，使得)k ,1(a =与PQ 共线，则a 的取值范围在 。

三、解答题（本题共3道小题，每小题各20分，共60分。

每道题目必须写出
必要的解答过程，没有解答过程只有答案不给分）
5、（本题满分20分）已知函数R x x x f ∈+=),sin(2)(ϕω，其中]2,0[,0π
ϕω∈>的
图像与y 轴交于点()
3,0A ，与x 轴的交点中，相邻两个交点间的距离为2
π
，
（1） 求f (x )的解析式;
（2） P 在f (x )的图像上，点Q 满足>
-->
-->
--=+OQ OP OA 2，若],0[),23,(00π∈-x x Q ，
求0x
侧视图
6、（本题满分20分）椭圆E ：)0(12
2
2
2>>=+
b a b x a y 与抛物线F ：y x 42=共焦点，且离心率为2
1
，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）P 为椭圆E 的下准线上的点，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B 。

若
104=AB ，
求点P 坐标；
（3）是否存在点P ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线F 上，其中，点C 满足>
-->-->--+=OB OA OC （O 为坐标原点）。

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
7、（本题满分20分）已知在函数bx ax x f -=3)(的图象上)3
1,1(-P 以为切点的切线
的倾斜角
,4
π
（1）求实数a 、b 的值；
（2）是否存在最小的正整数k ，使不等式1994)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？若存在，求出最小的正整数k ，若不存在，说明理由；
（3）求证：).0,)(21
(2|)(cos )(sin |>∈+≤+t R x t
t f x f x f
高中数学命题比赛参赛试题答案和评分标准
一、选择题（本题共2道小题，每题10分，每题有且仅有一个正确选项）
1、下图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图为均等腰三角形，且正视图的面积等于俯视图的面积，则该空间几何体的表面积等于（ ）
A.1744+
B.284+
C.16
D.20
想象能力。

（预计难度值0.75）
解析：这是一个空间正四棱锥，其直观图如图所示：
由ABCD PAC S S =∆可得：42
1
=⋅=⋅BC AB PO AC 即：
4222
1
=⨯⨯PO ,22=∴PO 取BC 中点E ,连接PE OE ,,则1=OE ,
31)22(2
222=+=+=OE PO PE
由三视图和直观图可知：该四棱锥的四个侧面为全等的等腰三角形，
16322
1
4224=⨯⨯⨯+⨯=+=∴∆PBC ABCD S S S ，故正确答案选C .
2、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a>0）所表示的平面区域内的面积等
于2，则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
本题主要考察解析几何中线性规划问题，体现数形结合思想。

（预计难度值0.8）
解：不等式对应可行区域大致如图所示 因为C （1，a+1）, 所以C 到直线AB 距离a a a d 22
1
1=-++=
P
O
B
A
D
E
C 侧视图
2222
121===
a d AB S ABC ∆,所以a=2，故正确答案选C
二、填空题（本题共2道小题，每题10分，共20分）
3、已知等差数列}{n a 满足)3(82426≥+=+-n n a a n ，则=+++n a a a 2...2221 。

本题主要考察等差数列概念，等比数列的求和等基础知识。

（预计难度值0.8） 解：根据等差数列性质知)3(8221426≥+==++-n n a a a n n
*,3N n n a n ∈+=，所以*3,22N n n a n ∈=+即}2{n a 是等比数列
故1622
1)21(164-=--=+n n n S
4、对于函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=-7,7
,3)3(6x a
x x a x f x ，图像上任意不同两点P 、Q ，总存在正数k ，
使得),(k a 1=与PQ 共线，则a 的取值范围在 。

本题主要考察分段函数，函数单调性，向量基本概念以及不等式的解法等基础知识。

（预计难度值0.7）
解：由条件知直线PQ 的斜率恒成立01
21
2>--=x x y y k ，即0))((x 1212>--y y x
由此可知)(x f 在R 是增函数。

所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅-≥∞=∞+=-37)3(a
7]-3-a)x -(3y 76-76a a y x 是增函数，在（）是增函数，在（，由此可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≥>->49031a a a
故a 的取值范围是34
9
<≤a
三、解答题（本题共3道小题，每题各20分，共60分。

每道题目必须写出必要的解答过程，没有解答过程只有答案不给分）
5、已知函数R x x x f ∈+=),sin(2)(ϕω，其中]2
,0[,0π
ϕω∈>的图像与y 轴交于点
()
3,0A ，与x 轴的交点中，相邻两个交点间的距离为
2
π
，
（1）求f (x )的解析式;
（2）点P 在f (x )的图像上，点Q 满足>
-->-->--=+OQ OP OA 2，若],0[),23,(00π∈-x x Q ，求0x 。

本题主要考察三角函数图像与性质，及向量的基本运算等基础知识，同时考察运算求解能力。

满分20分。

（预计难度值0.65）
解：（1）有条件知f(x ) 的周期为π，因πϖ
π
==
2T ，所以2=ω--------------4分
又 f(x)过点A ，所以3)0sin(2=+ϕ，
∴Z k k ∈+
=,3
2π
πϕ或Z k k ∈+
=,3
22π
πϕ --------------------7分 又 ]2
,0[πϕ∈，所以 3π
ϕ=
∴解析式为)32sin(2)(π
+=x x f ----------------10分
（2）设),(11y x P ,因为>
-->
-->
--=+OQ OP OA 2，所以)23,()23,20(011-=++x y x --12分
∴11-=y ，即1)3
2sin(21-=+π
x ，
∴6
23
21π
ππ
-
=+
k x 或Z k 6
523
21∈+
=+
，π
ππ
k x -----------------------16分 2
221π
π-
=k x 或2
221π
π+
=k x
],0[210π∈=x x ，
∴2
0π
=
x ----------------20分
6、椭圆E ：
)0(122
2
2>>=+
b a b
x a y 与抛物线F ：y x 42=共焦点，且离心率为21
，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）P 为椭圆E 的下准线上的点，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B 。

若
104=AB ，
求点P 坐标；
（3）是否存在点P ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线F 上，其中，点C 满足>
-->
-->
--+=OB OA OC （O 为坐标原点）。

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
本题主要考察椭圆、抛物线几何性质，直线与抛物线位置关系，点关于直线对称等基础知识，同时也考察了解析几何中常用的韦达定理，点差法，两点距离公式等基本思想方法与综合解题能力。

满分20分。

（预计难度值0.5）
解：（1）有条件知抛物线F 的焦点为)1,0(，且椭圆E 与抛物线F 共焦点
∴椭圆满足方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=2
11
22a c b a
∴椭圆E 的方程为1342
2=+x y ----------------------------------6分 （2）椭圆的下准线方程为4-=y ，故设),(),,(),4,(22110y x B y x A x P -，
抛物线方程241x y =
导数2'x
y =，所以2
,221x K x K BP AP ==------------8分
∴直线PA 的方程为4)(201--=x x x
y
直线PB 的方程为4)(2
02--=x x x
y
∴有4)(241011
21--=x x x x ① 4)(2
4102222--=x x x x ② 故21,x x 是方程016202=--x x x 的两根，
∴16,221021-==+x x x x x
又24401221
221212x x x x x x x y y k AB =--
=--= -----------------10分 ∴由弦长公式得6444
1202
++
=x x AB 104=
∴20±=x
∴P 的坐标为)4,2(-，)4,2(--， -------------------12分
（3）设存在点D(x 3，y 3)，由题意得C (x 1+ x 2，y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123
(,),22x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为110)(2y x x x
y +-=
由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212
(
,)22
x x y y ++也在直线AB 上， 代入得3032
x x
y = --------------------14分
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则3032
3
24x x y x == 因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或),2(2
0x x D （1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-4)适合题意.
（2）当00x ≠，对于
D (0，0)，此时0
222102
2
2122210824),4,2(x x x x x x k x x x C CD +=+=+
又2
0x
k AB =
AB ⊥CD ，
∴18.2k 0
22210AB -=+=⨯x x x x k CD ，即162221-=+x x 矛盾！-----17分 对于),2(2
00x x D ，因为)4
,
2(22
2
10x x x C +此时直线CD 平行于y 轴， 又02
0≠=x
k AB
∴直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，
∴00x ≠时，不存在符合题意的P 点. ------------------20分
7、已知在函数bx ax x f -=3)(的图象上)3
1,1(-P 以为切点的切线的倾斜角
,4
π （1）求实数a 、b 的值；
（2）是否存在最小的正整数k ，使不等式1994)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？若存在，求出最小的正整数k ，若不存在，说明理由；
（3）求证：).0,)(21
(2|)(cos )(sin |>∈+≤+t R x t
t f x f x f
本题主要考察函数函数的基本性质、导数的概念、导数的应用、基本不等式的应用等基础知识，同时也考察学生的逻辑推理能力和创新能力。

满分20分（预计难度值0.5）
解：（1） 点)31
,1(-P 在函数bx ax x f -=3)(的图象上，
3
1
)1(-=-=b a f ---------3分
又b ax x f -=23)('，.1,3
2
,14tan 3)1('==∴==-=b a b a f π------------6分
（2）令2
2
,0)22)(22(2)('±
==-+
=x x x x f ， -------------------8分 在[－1，3]中，)(,0)(',]2
2
,1[x f x f x >-
-∈ 在此区间为增函数； ]2
2,22[-
∈x 时，)(,0)(x f x f <'在此区间为减函数.。

故-
=x x f 在)(2
2
处取得极大值32)22(=-f 。

∈x [
2
2
，3]时)(,0)(x f x f >'在此区间为增函数， )(x f 在x =3处取得极大值15)3(=f ------------------------10分
比较f （－
2
2
）和)3(f 的大小得：15)3()(max ==f x f
,2009,1994)(≥-≤∴k k x f 即存在最小的正整数k =2009 ----------12分
（3）|)cos (sin )cos (sin 3
2
||)(cos )(sin |33x x x x x f x f +-+=+
322|)4(s i n |322|c o s s i n |313
3≤
+=+=
πx x x ------------16分 而32
2)3132(22]31)41(32)[21(2)21(222=
-≥-++=+
t
t t t t t f ----18分 （也可由单调性：3
2
2)2(2)21(2=
≥+
f t t f ） )21
(2|)(cos )(sin |t
t f x f x f +
≤+∴ -----------------------20分。