马强文高级微观讲义 (11)

• 比如，在此问题中，边际效用 u1,u2均为正 （即偏好关系满足局部非饱和性），推得 不会有收入剩余，否则可以通过继续增加 消费，使得效用增加，因此预算约束是紧 的，即 0 ；另外，由效用函数的形 式，x1 0 。因此，需要讨论的情形只有两种 了：
• 第一种情形：x1 0, x2 0, 0 。此时库恩－塔
L


I

p1 x1

p2 x2

0,

0,
L


0
• 如何求解？一般情况下，我们要讨论
x1 0, 0; x2 0, 0; 0, 0 组合成的8种情况， 不过，在这一具体的问题中，我们可以通 过分析题目中隐含的条件（经济含义）初 步确定未知量的范围，以减少讨论的可能 情形。
• 与等式约束极值问题的一阶必要条件相比， 库恩－塔克条件是用不等式形式出现的， 因此给求解带来了很大的麻烦。下面我们 用一个具体的例子来看非线性规划库恩－ 塔克条件的求解过程。
• 拟线性偏好（Quasi-Linear Preference）
max x
u(x1,x2) x2 alnx1
s.t. p1x1 p2x2 I
格朗日乘子
L( x, )
xi

fi
gi
0,i
1,, n
L(x,

)

c

g(x)

0
• 非线性规划问题的求解：库恩－塔克条件
max f (x) x
s.t. g(x) c x0
• 第一步：作拉格朗日函数
L(x,) f (x) (c g(x))
• 第二步：求一阶条件

f1 g1 0
L x2

f2 g2 0
L


c
g ( x1 , x2 )
0
• 我们对f (x1, x2) 求全微分，并在点 x 处取值：
df f1dx1 f2dx2
• 其中 f1, f2 为函数 f (x1, x2 ) 在点 x 处的偏导 数。
• 对 g(x1, x2 ) c 全微分得:
f (x) f (x) f '(x)(xx)1 f ''(x)(xx)2 2
因为 f (x)在最优解 x处的一阶导数为零，我们得：
f ( x ) f ( x ) 1 f ' ' ( x )( x x ) 2 2
• 我们将 f ''(x) 0 称为函数 f (x) 在点 x 处 附近取得了极大值的二阶充分条件。同样，
取得极值，即目标函数值不再增加时，上
述情形不可能发生，即有 f '(x)0。
• 多维情形下：
df (x) fx dx
df
(x)

fx

dx

(
f1,,
fn)
dx1


f1dx1

fndxn
dxn
dx (dx1, dx2 )
dx
p1x1 p2 x2 I , x1 0, x2 0
(
f12dx1

f22dx2

f2
dx2 x2
)dx2

f11dx12

f21dx2dx1

f2
dx2 x1
dx1

f12dx1dx2

f22dx22

f2
dx2 x2
dx2
f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22 f2d(dx2)
• 对约束等式 g(x1, x2) c 求二阶全微分，得到：
• 凹函数（Concave Function）：与凸函数相反。
• 只要对目标函数、约束函数的凹凸性作适 当地假定，前面求解最优化问题过程中的 一阶必要条件（库恩－塔克条件）所确定 的解就是规划问题的解，即一阶必要条件 就是充分条件；同时所求得的局部解就是 全局解。我们用一个定理来总结上述性质：
• 比如说, 对于非线性规划问题：
极小值的二阶（充分）条件为 f ''(x) 0 。
• 约束极值的两阶条件:
max x1 , x2
f (x1, x2 )
s.t. g(x1, x2 ) c
• 构造拉格朗日函数
L(x1, x2 , ) f (x1, x2 ) (c g(x1, x2 ))
• 一阶条件:
L x1
• 当 d 2 f 0 时，函数在点 x处取得极大值， 也即 H 0 ，这就是约束极大值问题二阶 充分条件；同样，当 H 0 ，d 2 f 0 ，函数 在点 x处取得极小值，此为约束极小值问题
的二阶充分条件。
凹规划
• 前面的讨论都是通过微分法，分析最优解 在一个小的邻域内应满足的条件，所以我 们说这样求得的解只是在这个小的邻域内 成立的，是局部的，因此我们称之为局部 解(Local Optima)。在整个定义域内，可能 存在很多个满足这样性质的点，因此我们 需要比较各个局部解的目标函数值的大小， 才能确定哪个是整个规划问题的最优解， 我们称此解为全局解(Global Optima)。
最优化的数理结构
• 最优化的一阶条件 • 二阶条件 • 凹规划 • 比较静态 • 包络定理
最优化的一阶条件
• 无约束极值 一维情况下:
d f ( x ) f '( x ) d x
• 若 f '(x) 0，则可以取dx 0 ，使得df (x) 0 ，即 通过点 x 的移动，可以使目标函数值增加； 若 f '( x) 0，则可以取 dx 0，从而 df (x)0， 目标函数值还可以继续增加。因此，当 f (x)
x1,x2 0
• 作拉格朗日数 L(x1,x2,) x2 alnx1 (I p1x1 p2x2) ， 一阶必要条件（库恩－塔克条件）：
L x1

a x1
p1

0, x1

0, x1
L x1

0
L x2
1 p2
0, x2

0, x2
L x2

0
max f ( x ) x
s .t . g ( x ) c x0
• 如果目标函数 f (x)为凹函数，约束函数 g(x)为
凸函数，且都可微，点 x 为由库恩－塔克条 件所确定的解，则 x 就是规划问题的整体最
优解。证明过程省略。
• 拟凹函数（Quasi-concave Function）： 函数f (x) ，对定义域S（凸集）上任意两
• 凸函数(Convex Function)： 对函数 f (x) ，如果定义域S（凸集）中的任
何两点 x1,x2 S,0,1 , 如果有
f x1 (1 )x2 f (x1) (1 ) f (x2)
则称函数为凸函数。
• 这个性质可以用如下的式子来表达：
f '(x1)(x2 x1) f (x2 ) f (x1)
g11dx12 2g12dx1dx2 g22dx22 g2d(dx2) 0
• 代入上式，有：
d2 f
( f11
f2 g2
g11)dx12

2(
f12

f2 g2
g12)dx1dx2
( f22
f2 g2
g22)dx22
• 将一阶条件 f2 g2 0 代入，得：
d2 f ( f11 g11)dx12 2( f12 g12)dx1dx2 ( f22 g22)dx22
(L11g22
2L12g1g2

L22g12)
1 g22
dx12
• 显然，等式右边括号外边的部分为正，所 以d 2 f 的正负取决于括号部分的符号。
0 g1 g2 H g1 L11 L12 (L11g22 2L12g1g2 L22g12)
g2 L21 L22
• 因此我们就把 H 称为加边的海赛行列式， 就像是由无约束极值问题的海赛行列式再 加了两条边。
p1 0
L x2
1 p2

0
L


I

p1 x1
p 2 x2

0
•
求得
x1

ap2 p1
,
x2

I
ap2 p2
,

1 p2
,并且有 I ap2
。
二阶条件
• 无约束极值与泰勒展开:
f (x) 在点x0 附近的一个近似估计：
f
(x)

f
(x0)

f
'(x0)(x

x0)

1 2
f
''(x0
)(x

x0)2

f (x) f (x0) f '(x0)(xx0)12 f ''(x0)(xx0)2 ((xx0)2)
f
(x)

f
(x0 )
f
'(x0)(x
x0 )
1 2
f
''(x0)(x
x0 )2
• 将函数在最优解 x 处泰勒展开：
Lxx


L11 L21
L12 L22

• 由微积分的知识，我们知道，如果在点 x
处有 d 2 f 0 则函数 f (x1, x2 ) 取得极大值；如
果在点 x 处有 d 2 f 0 ，则函数 f (x1, x2 ) 取得极小值。
•
将
dx2


g1 g2
dx1
代入上式，得：
d2 f
L(x,)
xi

fi
gi
0, xi
0, xi
L xi

0,i
1, n
这样的关系，我们称之为互补松弛条件。
L


c

g
(
x)

0,


0,

L


0
• 把上面两个式子结合起来，就是非线性规
划问题在最优解处的一阶必要条件，我们 称之为库恩－塔克条件（Kuhn-Tucker Condition）。
• 即在同一个点用切线上的点估计的函数值 小于曲线上的值。
• 如果在点 x1处函数泰勒展开：
f
(x2)

f
(x1)

f
'(x1)(x2

x1)
1 2
f
''(x1)(x2

x1)2
• 则上述性质也等价于在点x1 的函数的二阶导 数为非负。由于点 x1 的一般性，我们可以
得到凸函数的微分性质：
f ''(x) 0
梯度向量 f x
• 等值面 f (x) k 在点 x 处指向值增加（变化） 的法方向，也就是在点 x 处 f (x) 值增加
最快的方向。
• 一般的，约束由等式 g(x) c 表示，点 x 的 变化向量 dx 是受限制的，具体的，将约束 等式全微分，
g 1dx 1 g n dx n 0
g1dx 1 g 2 dx 2 0
• 对函数 f (x1, x2 ) 求两阶全微分：
d2 f
d(df) d( f1dx1

f2dx2)

(
f1dx1 x1
f2dx2) dx1
(f1dx1 x2
f2dx2) dx2

(
f11dx1

f21dx2

f2
dx2 x1
)dx1
(
g1，，g
n） dx1


0
dxn
g x dx 0
fx gx
或者 f x
gx
• 等式约束极值的拉格朗日求解法：
max f ( x ) x
s.t. g ( x ) c
拉格朗日函数：
L(x,) f (x)(c g(x))
• 其中 x 是n维向量，是参数，我们称之为拉
点 x1, x2 S, 0,1 ，
如 f x1 (1)x2 minf (x1), f (x2) ，
则我们称函数为拟凹函数。
• 直观的，从图形上看，函数为拟凹表示线 段 x1x2 之间的点的函数值要高于点A，或者 说曲线之间的点ACB都高于点A。
• 显然，当函数是凹函数，曲线呈一个倒置 的锅，则上述性质是满足的。从这一点看， 凹函数一定是拟凹函数（代数的证明只要 利用两者的定义即得）。但是，这不是必 要的。如上图，在曲线AC段，函数是凹的； 而在CB段，函数是凸的。这说明拟凹函数 的概念要比凹函数更弱。
克条件变为：
L x1
a x1

p1

0
L x2
1 p2
。

0
L


I
p1x1 0
求得
x1

I p1
,
x2

0,

a I
,并且满足参数条件
I

ap 2
• 第二种情形 x1 0, x2 0, 0 ：此时，库 恩－塔克条件变为：
L x1

a x1
• 如果我们用下面的拉格朗日函数的偏导数 代入
L11 f11 g11 L12 f12 g12 L22 f22 g22
则
d2 f L11dx12 2L12dx1dx2 L22dx22
• 写出矩阵的形式：
其中
d2 f (dx)T Lxx dx
dx (dx1, dx2 )
• 通过我们对所求解经济问题的现实含义， 对目标函数及约束函数进行凹凸性的假设， 我们可以避免上述两个问题，保证一阶必 要条件也是充分条件，同时所求的局部解 就是规划问题的全局解。这是凹规划所讲 的内容。
• 凸集（Convex Set）： 对集合S，其中的任意两点x1 (1 )x2 S，, 如 果有x1, x2 S, 0,1 则称集合S为凸集。