高考数学 倒计时20天 正能量 第1辑金题强化卷02 理 (解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（2）
第I 卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【江西省临川一中2012届高三信息卷数学】设全集U=R,若集合M ={
}
3
222
+-=x x y y ，
N =⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-+=x x y x 23lg ，则N M C U )(= A ．（－3，2） B ．（－3，0） Ｃ．（－∞，1）∪（4，+∞） Ｄ．（－3，
1）
2. 【四川省成都市高2013级（高三）一诊模拟】 如图，在复平面内，复数
1z ，
2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数1
2z z 对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3. 【2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(三）】
已知函数()12,0
21,<0x
x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩
，则该函数是
(A)偶函数，且单调递增 （B)偶函数，且单调递减 (C)奇函数，且单调递增 （D)奇函数，且单调递减 【答案】C
【解析】当0x >时，0x -<，()()()()
21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，
0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此函数()f x 是奇函数
.
当0x >时，函数()f x 是增函数，因函数图像关于原点对称，故()f x 是增函数，选C.
4. 【改编题】已知cos(x―
π
6
)=，则cosx+cos(x―π
3
)的值是
A 、―1 D、±1
5. 【北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习】
下列命题：
:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；
:q 已知向量
(1)λ，=a ，2
(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件1λ=-； :r 若1
1
1a
dx =x
⎰
（1a >），则e =a ． 其中所有的真命题是 A ．r
B ．,p q
C ．,q r
D ．,p r
6. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
已知函数()lg()x x f x x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么
()1f x >的解集为
A ．(01)，
B ．(1)+∞，
C ．(110)，
D ．(10)+∞， 【答案】B
7. 【2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(三）】在 ΔABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .
若1sin cos =,2,4sin ABC C B S A ∆==则b =
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
8. 【江西省南昌市2013届高三第一次模拟考试】某家电企业要将刚刚生产的100台变频
空调送往南昌，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车调配。

每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为
A 、2000元
B 、2200元
C 、2400元
D 、2800元 【答案】B
【解析】设甲型货车使用x 辆，已型货车y 辆,则04082010100,x y y x y N
≤≤⎧⎪≤≤⎪
⎨+≤⎪⎪∈⎩,求Z=400x +300y 最小值.
画出可行域，可求出最优解为（4，2）,故min 2200Z =,故选B.
9.【2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(三）】2012年的NBA 全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奥兰多市举行.如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
.
A .64
B .28 C.36 D. 63
10. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图，椭圆的中心在坐标原
点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若
为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 A. B. C
D.
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 【陕西省五校2012届高三第三次联考】观察下列式子：213122+
<，2
2115
1+233
+<， 2221117
12344
+
++<⋅⋅⋅，由此可归纳出的一般结论是 ．
12. 【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何
体的表面积为．
13. 【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】
过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF| =2|BF|=6，则
p= 。

14.【原创题】根据上面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取
值范围是________．
答案：[2，5
2
]
解析：由程序框图可得输出值y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
， x ＜0，
4－2x ， x ≥0，
若y ∈[－1,0]，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x 2
≤0，
x ＜0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤4－2x ≤0，
x ≥0，
解得2≤x ≤5
2
.
15. 【陕西省五校2012届高三第三次联考】
（1
）圆1,
:1,
x C y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的极坐标方程为 ．
（2）对于实数,x y ，若12x -≤，12y -≤，则21x y -+的最大值 ． 【答案】6 【解析】
12x -≤，12y -≤，
21=12(1)1212+22=6.x y x y x y ∴-+---≤-+-≤⨯
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 【2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(三)】 已知数列{}n a 的前n 项和为1,=1,=-(-1)()n n n S a S na n n n N *
∈ (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设+1
2
=
n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【思路分析】本题考查递推关系式、等差数列的通项公式以及数列的前n 项和，考查学生利用基本量思想和方程思想的解题能力。

利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式.数列
{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1
1
(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：
12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者
等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式
1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥本题第一问利用思路一求解；第二问利用列项相消法求解
.
17. 【改编题】
已知函数(
)2
cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π
(
,0)12
M ．
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若cos +cos =2cos c B b C a B ， 求()f A 的取值范围．
【思路分析】本题考查三角化简、求值和不等式恒成立问题。

利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的M 点，确定x. 本题第二问利用正弦定理对边进行转换，再利用角的范围确定角。

18. 【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分12分）
NBA 总决赛采用7战4胜制，即两队中有一队胜4场则整个比赛结束．假设2013年总决赛在甲、乙两个球队间进行，根据以往总决赛的战绩，甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是
1
2
，记需要比赛的场数为X. （I ）求X 的最小值，并求X 取最小值时的概率； （II ）求X 的分布列和数学期望．
解析：（Ⅰ）依题意可知：X 的最小值为4.
当4X =时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由
互斥事件的概率计算公式可得()4
441
1
42()28
P X C ===
.……………… 5分
（Ⅱ）4,5,6,7.X =
当5X =时，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜，显然这两种情况是互斥的，所以
()334341111
52()();2224
P X C -⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦
依此可得：
()()33535336361115
62()(),
222161115
72()();
22216
P X C P X C --⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣
⎦⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦
∴X 的分布列为：
∴数学期望4567.84161616
EX =⋅+⋅
+⋅+⋅=……………… 12分
19. 【北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习】
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF ．
（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足1
4
CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；
（Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ；
（Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值．
[【思路分析】本题考查线面垂直、线面平行的证明、二
面角等综合问题。

考查学生的空间想象能力和计算能力。

第一问借助线面平行的判定定理证明；第二问和第三问借助空间向量法求解.
证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，
则MN //AB ，又14CM AC =，所以1
4MN AB =. 又EF //AB 且1
4EF AB =，
所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形，
所以EM //FN .
又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，
所以//EM 平面FBC . ……4分
E B
D
M
A
F
E
D
M A
F
B N
（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故
以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz
.
由已知可得
(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F . 显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB . 则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥AF BC AF EB .
即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC .
（Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，
由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=EA AB A ，
所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .
由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD FB 得440,
320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩
y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.
所以cos <,n n n
⋅>=
=
⋅BC BC BC 由题意知二面角A -FB -D 锐角， 故二面角A
-FB -D . ……14分 20. 【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】
设圆F 以抛物线P ：2
4y x =的焦点F 为圆心，且与抛物线P 有且只有一个公共点．
（I ）求圆F 的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ，B 和C ，D ，求经过
A ，
B ，
C ，
D 四点的圆
E 的方程．
解：
（Ⅰ）设圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2（r ＞0）．
将y 2＝4x 代入圆方程，得(x ＋1)2＝r 2，所以x ＝－1－r （舍去），或x ＝－1＋r ．
圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r ＝0，即r ＝1．
故所求圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1． …4分
（Ⅱ）设过点M (－1，0)与圆F 相切的斜率为正的一条切线的切点为T ．
连结TF ，则TF ⊥MT ，且TF ＝1，MF ＝2，所以∠TMF ＝30°． …6分
直线MT 的方程为x ＝3y －1，与y 2＝4x 联立，得y 2－43y ＋4＝0．
记直线与抛物线的两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则
y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝4，x 1＋x 2＝3(y 1＋y 2)－2＝10． …8分 从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－3(x －5)．
令y ＝0得，x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0)．…10分
|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝(1＋3)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝82．
又点E 到直线AB 的距离d ＝7－0＋12
＝4，所以圆E 的半径R ＝(42)2＋42＝43． 因此圆E 的方程为(x －7)2＋y 2＝48． …12分
21. 【原创题】已知函数2
2()ln (0)a f x a x x a x
=++≠．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2
g a ≤． 【思路分析】本题考查导数的几何含义、函数的最值和函数的单调区间，考查学生利用导数B
C F A
D M x
y O T
法求解函数性质的解题能力。

解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；本题的第一问利用导数的几何含义直接解答；求解函数的单调区间，一般方法是利用求导的思路进行解答，例如本题的第二问，需要对参数a 进行分类讨论得到不同情形下函数的单调区间，分类标准是a 与0的比较，注意体会分类标准是如何得到的.第三问探求函数的单调性，进而借助函数的最值求解a 的取值范围.
（2）当0a <时，因为0x >，
由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-；
由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.
所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ， 且2
2()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a
=-=-+-=---. 2()ln(2)3ln(2)22g a a a
a a
-'=-+-=---， 令()0g a '=，得21e 2a =-. 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：
2e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点. 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222
最大值g a g =-=--⨯--- 22221
3
1
e ln e e e 222=-+=.
所以，当(,0)a ∈-∞时，21
()e 2g a ≤成立. (14)
分。