宁夏回族自治区平罗中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)

宁夏回族自治区平罗中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题
文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设复数z 满足3z i i +=-，则z =
A. 12i -+
B. 12i -
C. 32i +
D. 32i -
【答案】C
【解析】
试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.
【考点】 复数的运算，共轭复数
【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是(,)a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.
【此处有视频，请去附件查看】
2.一个年级有22个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为19的学生留下进行交流，这里运用的是
A. 分层抽样法
B. 抽签法
C. 随机数表法
D. 系统抽样法
【答案】D
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义进行判断即可．
【详解】每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为19的同学留下来交流， 则数据之间的间距差相同，都为50，
所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查抽样的定义和应用，要求熟练掌握简单抽样，系统抽样和分层抽样的定义，以及它们之间的区别和联系，比较基础．
3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数
为 （ ）
A. 62n -
B. 82n -
C. 62n +
D. 82n +
【答案】C
【解析】 试题分析：第一个图有火柴2+6=8根，第二个图有火柴2+6+6=14根，第三个图有火柴2+6+6+6=20根，故第n 个图有火柴2+6n 根，选Ｃ。

考点：等差数列
点评：解决关于数列的题目，关键是寻找规律。

此类题目侧重考察学生的思考能力，是常考知识点。

4.数612和486的最大公约数是（ ）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】
用更相减损术求612与486的最大公约数即可.
【详解】612﹣486=126，
486﹣126=360，
360﹣126=234，
234﹣126=108，
126﹣108=18，
108﹣18=90，
90﹣18=72．
72﹣18=36,
36﹣18=18
因此612与486的最大公约数是18．
故选：D
【点睛】更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．
5.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.7P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A. 0.7
B. 0.2
C. 0.1
D. 0.3 【答案】D
【解析】
【分析】
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，根据所给的抽到一等品的概率，即可得出抽到的不是一等品的概率．
【详解】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
事件A ={抽到一等品}，()0.7P A =，
∴抽到不是一等品的概率是10.70.3-=．
故选：D ．
【点睛】本题考查对立事件的概率，本题解题的关键是看清楚题目中所给的两个干扰元素，不要用抽到二等品的概率和抽到三等品的概率相加．
6.为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是3:2，则该校高一年级男生的人数是（ ）
A. 600
B. 1200
C. 720
D. 900 【答案】C
【解析】
高一年级学生的总数为3000.251200÷=，该校高一年级男生的人数为312007205
⨯
=人，选C.
7.复数31()2+
的值是（ ） A. 1-
B. 1
C. i -
D. i
【答案】A
【解析】
试题分析：312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=3223111()3()3()()222222i i +⋅⋅+⋅⋅+=-1，故选A 。

考点：本题主要考查复数的代数运算。

点评：简单题，直接按代数公式展开。

8.从四棱锥P ABCD -的五个顶点中，任取两个点，则这两个点均取自侧面PAB 的概率是（ ） A. 16 B. 15 C. 320 D. 310
【答案】D
【解析】
从四棱锥P ABCD -的五个顶点中，任取两个点，共有2510C = 种取法，其中两个点均取
自侧面PAB 的有233C = 种取法，所以所求概率为3,10
选D. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
9.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于
4S 的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 23
【答案】C
【解析】
解：记事件A={△PBC的面积大于 S 4 }，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因S△PBC＞S /4 ，则有1/ 2 BC•PE＞1/ 4 ×1 /2 BC•AD；
化简记得到：PE /AD ＞1/ 4 ，
因为PE平行AD则由三角形的相似性 PE/ AD ＞1 /4 ；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
因为AP="3/" 4 AB，
所以△PBC的面积大于 S/ 4 的概率="AP" /AB ="3" /4 ．
故选C
10.某校从高中1200名学生中抽取50名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，将这1200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有15，则下列号码中被抽取到的还有（）
A. 255
B. 125
C. 75
D. 35 【答案】A
【解析】
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，然后进行计算即可．【详解】根据系统抽样得样本间隔为12005024÷=，已知被抽取到的号码有15，则其他抽取的号码为1524(1)249n n+-=-，则当11
n=时，号码为24119255
⨯-=.
故选：A．
【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．11.如图是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）
A. 20i ≥
B. 21i ≥
C. 21i >
D. 20i <
【答案】B
【解析】
【分析】 由循环语句的定义及表示形式即可直接得解．
【详解】算法语句中的循环语句表示形式有2种：
①Do…Loop 语句，执行时，Until 关键字用于检查 Do…Loop 语句中的条件．条件不成立执行循环体，条件成立退出循环．
②while 结构循环为当型循环（when type loop ），一般用于不知道循环次数的情况．维持循环的是一个条件表达式，条件成立执行循环体，条件不成立退出循环．
由题意易得，21i ≥.
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了循环语句定义及表示形式，熟练掌握循环语句的格式是解答的关键，属于基础题．
12.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的x 的值为2，则输出的v 的值为（ ）
A. 129
B. 144
C. 258
D. 289
【答案】D
【解析】【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】模拟程序的运行，可得2,5,4x v i===，执行循环体，15,3v i==，不满足条件0i<，执行循环体；34,2v i==，不满足条件0i<，执行循环体；71,1v i==，不满足条件0i<，执行循环体；144,0v i==，不满足条件0i<，执行循环体；289,1v i==-，满足条件0i<，结束循环；输出289v=．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程
序法进行解答，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知()2a i b i a b R i
+=+∈，，其中i 为虚数单位，则a b -= ______． 【答案】3-
【解析】
【分析】 先由复数的除法运算，化简a i i
+，再由复数相等的充要条件，即可得出结果. 【详解】因为()1()
a i a i i ai i i i +-+==--， 又2a i
b i i
+=+，所以12ai b i -=+，因此2,1a b =-=， 所以3a b -=-.
故答案为3-
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算，以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型.
14.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒100粒豆子，落在阴影区域内的豆子共60粒，据此估计阴影区域的面积为______．
【答案】125
【解析】
【分析】
先根据几何概型，可得面积比近似为豆子个数之比，再由正方形的面积，即可求出结果. 【详解】由题意，豆子落在阴影区域的概率约为60100P =
， 设阴影区域的面积为S ， 则60100S S =正方形，即2601221005
S =⨯=. 故答案为125
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.
15.如图是某次考试试卷评阅赋分程序框图，1x ，2x ，3x 为三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据框图，分别讨论37.5x ≥和37.5x <两种情况，即可求出结果.
【详解】执行框图如下：
输入16x =，29x =，
1232x x -=>，不满足122x x -≤，
输入3x ，
若37.5x ≥ 则3132x x x x -≥-，令13x x =，则328.52
x x p +=
=，所以38x =满足题意； 若37.5x <，
则3132x x x x -<-，令23x x =，则138.52
x x p +=
=，所以311x =不满足题意； 综上，38x =.
故答案为8 【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.
16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

得诀自诩无所阻，
额上坟起终不悟。

”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=
=
=
=
=“穿墙术”，则n =__________．
【答案】63.
【解析】
∵==
，==
，==
，==
∴按照以上规律=28163n =-=. 故答案为63.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=
．
（1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 【答案】（1
）1,{(11;2x t y t =+=+是参数）（2）2
【解析】
（1）直线的参数方程为1cos 6{1sin 6x t y t ππ=+=+
，即1{112x y t ==+…………………5分 （2
）把直线1{112x y t =+
=+代入
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2…………………10分
18.（1
（2）设x ，y 都是正数，且x+y ＞2证明：12x y +＜和12y x
+＜中至少有一个成立． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1
）用作差法，直接比较2
与2的大小，即可得出结论成立；
（2）用反证法，先假设
12x y +＜和12y x
+＜都不成立，根据题中条件，推出矛盾，即可证明结论成立. 【详解】（1
）∵22-
=（
）-（
）
=0，
（2）假设12x y +＜和12y x
+＜都不成立，
即1x
y
+
≥2且
1y
x
+
≥2，
∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴1+x+1+y≥2x+2y，
∴x+y≤2，这与已知x+y＞2矛盾，
∴假设不成立，即1
2
x
y
+
＜和
1
2
y
x
+
＜中至少有一个成立．
【点睛】本题主要考查证明方法，熟记直接证明与间接证明的方法即可，属于常考题型.
19.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．
【答案】（1）见解析；（2）（i）15种；（ii）1 5
【解析】
【分析】
（1）先由题意确定抽样比，进而可得出结果；
（2）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1,2,3，两所中学分别记为,a b，大学记为A，用列举法，即可写出结果；
（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，用列举法写出事件B的所有可能结果，即可得出结果.
【详解】（1）抽样比为
61
211477
=
++
，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目
分别为
1
213
7
⨯=，
1
142
7
⨯=，
1
71
7
⨯=；
（2）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1,2,3，两所中学分别记为,a b，大学记为A，则抽取2所学校的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,)a，(1,)b，(1,)A，(2,3)，
(2,)a ，(2,)b ，(2,)A ，(3,)a ，(3,)b ，(3,)A ，(,)a b ，(,)a A ，(,)b A ，共15种 （ii ）设B ={抽取的2所学校均为小学}，事件B 的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种， ∴31()155
P B ==. 【点睛】本题主要考查分层抽样，与古典概型，熟记分层抽样的特征以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
20. 已知集合Z ＝{(x ，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}.
(1)若x ，y∈Z，求x ＋y≥0的概率；
(2)若x ，y∈R，求x ＋y≥0的概率.
【答案】(1)
89(2)78 【解析】
试题分析：（1）因为x ，y ∈Z ，且x ∈[0，2]，y ∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x ，y ∈Z ，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．
（2）因为x ，y ∈R ，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x ，y ∈Z ，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.
试题解析：
（1）设"x+y 0,,"x y Z ≥∈为事件,,A x y Z ∈， []0,2x ∈，
即[]0,1,2;1,1x y =∈-，即1,0,1y =-.
则基本事件有： ()()()()()()()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,2,1,2,0,2,1---共9个，其中满足的基本事件有8个，所以()89p A =.故,,0x y Z x y ∈+≥的概率为89
. (2)设"0,,"x y x y R +≥∈为事件B ，因为][0,2,1,1x y ⎡⎤∈∈-⎣⎦，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分.
所以()11-1122-11722===228
ABCD ABCD ABCD S S p B S S ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯四边形阴影
四边形四边形， 故",0"x y R x y ∈+≥，的概率为
78
. 21.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
经过点，离心率为12，左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l ：12
y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C ，D 两
点，且满足AB CD =l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=（2
）12y x =-+
或12y x =--. 【解析】
试题分析：（1）由题意可得，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；
（2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，利用点到直线的距离公式得：圆
心到直线l 的距离1d <，可得m 的取值范围，利用弦长公式可得CD =1122(,),(,)A x y B x y ，把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦
长AB =4
AB
CD =a 的值. 试题解析：（1）由题意可得
解得2,1a b c ==
∴椭圆的方程为22143
x y += 由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为22
1x y +=
∴圆心到直线l 的距离为d =
由1d <1<，可得m <
CD ∴=== 设1122(,),(,)A x y B x y 联立
整理得2230x mx m -+-=
可得：12x x m +=，2123x x m =-
AB ∴==
4AB
CD
=
1=
解方程得3m =±，且满足2m <
∴直线l 的方程为123
y x =-+或123y x =-- 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.
【此处有视频，请去附件查看】
22.已知函数()()2
2x a x f x a R e
-=∈． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若∀x∈[1，+∞），不等式f （x ）＞-1恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）1(
,)2e -+∞. 【解析】
试题分析：（1）根据已知条件求出()'f x ，对参数a 的取值进行分类讨论，即可求出()f x 的单调区间.
（2）将不等式()1f x >-转化为22x a x e >-.令()2g x x x e =-，()h()=g'2x x x x e =-.通过导数研究()g x 的单调性，可知()()g 11x g e ≤=- ，即可求出实数a 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）()222'x x x a f x e
--=， 当12
a ≤-时，2220x x a --≥，故()'0f x ≥， ∴函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， ∴当12
a ≤-时，函数()f x 的递增区间为(),-∞+∞，无减区间．
当12
a >-时，令212201x x a x --=⇒=21x = 列表：
由表可知，当12a >-时，函数()f x 的递增区间为(,1-∞和()
1++∞，
递减区间为(1-+． （Ⅱ）∵()2
22112x x a x f x a x e e
->-⇔>-⇔>-， ∴由条件，22x a x e >-对1x ∀≥成立．
令()2g x x x e =-，()h()=g'2x
x x x e =-， ∴h'()2x x e =-
当[)1,x ∈+∞时，h'()220x x e e =-≤-<， ∴()h()g'2x x x x e ==-在[
)1,+∞上单调递减， ∴h()220x
x x e e =-≤-<，即()g'0x < ∴2g()x
x x e =-在[1,)+∞上单调递减，
∴()()2g 11x x x e g e =-≤=-， 故()1f x >-在[)1,+∞上恒成立，只需()max 21a g x e >=-，
∴12e a ->，即实数a 的取值范围是1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． 点晴：本题考查的用导数研究函数的单调性和用导数解决不等式恒成立问题.研究单调性问题，首先看导函数对应的方程能否因式分解，否则的话需要对其判别式，
进行分别讨论，0∆≤时原函数单调，>0∆,需要对方程的根和区间的端点大小进行比较;第二问中的不等式恒成立问题，首选变量分离转化为确定的函数求最值即可.。