求解0·∞型极限的方法分析

KF
'
7
1
I
cotx
— x -^lim V=i
xto— tanx^O )
sec x
117
第4期
滇西科技师范学院学报
第28卷
此时，两个方法都可以解出这个极限，但显然第二个方法利用三角函数的关系 (晶=曲小 能使函数形式及计算更简单一些。
“因此，当函数是幕函数和三角函数的乘积时，最好把三角函数的倒数作为分母。
例 4 求极限lim arcsin xln xo 解析：这是冷0・8型的极限。
方法一：由于当xtO+时，arc sin x~ %,可以利用等价无穷小代换，将函数arcsinx替
换成X,结果同例1。
方法二：将函数In x的倒数作为分母，有 1
limarcsinxlnxfO-oo). lim 竺学<专=lim 丐厂 lim-芈比
3) lim4^ = /o 则lim型=lim以Q=/。
loo (p(X)
XT8 0(兀) XT8 ^(X)
2) lim/(x) = 0-^lim<p(x) = 0；
x—>oo
xtoo
洛必达法则3闪若函数/(对与EQ满足下列条件：
1)在a的某去心邻域U⑷可导，且0(x)工0；
3) lim马¥ =仁则1込旦◎ =
第28卷第4期 2019年12月
滇西科技师范学院学报 Journal of West Yurman University
Vol. 28 No. 4 Dec. 2019
求解0・00型极限的方法分析
曾赤洁
(滇西科技师范学院数理学院，云南 临沧677099)
摘 要：0•逊极限是一种常见的待定型极限，洛必达法则是计算这种待定型极限的有效方法。在 应用洛必达法则之前，必须把小型变形成昔型n 或云co型。文章通过大量典型例题的分析，推导出计算 0 • 00型极限的方法，应用这些方法能快速而方便地求出0 • 00型的极限。
关键词：0・8型极限；待定型极限；洛必达法则
1引言
待定型极限是极限计算中的常见类型，洛必达法则是求解待定型极限最常用的方法。
待定型共有七种类型，其中型和三型是基础型，其它五种待定型分别为：型、8-8型、
型、8°型以及0°型，这五种待定型都要通过一定的方法转化为#型或田型后才能应用洛必
达法则进行计算。
Xo所以此题思路与例1 一样，即当函数是三角函数与对数函数的乘积时，应把三角函数
的倒数作为分母。
例3求极限limxcotxo
解析：这是一个0・oo型的极限，若将函数X的倒数作为分母，有
.l.im兀co丄t兀(0-oo\)=
[l•im
—co-t—兀( /—00 x\
=
[l・im一CSC—— 2 X =十lim
2
C—SC-——X =v lim
X
2
z—=
11
x->o-
'
7 xt(f 1 (oo 丿
1
x->o-
1
xt(f sin x
x
X2
兀2
（利用三角函数的关系csc2x = ^^,以及重要极miim—= 1）»
sm x
xTOsin 兀
若将cot兀的倒数作为分母，则有
兀
。丿 lim 兀cot 兀（0 ・ oo） = lim 一-
从洛必达法则1、2、3的条件可知：只有月型或三型的极限才能应用洛必达法则。所以， 在计算0・oo型的极限时，首先要将0・8型转化为月型或好型。转化的一般方法是：利用
恒等变形，将乘积的形式变成商的形式，即0-oo = T = f^0，a3 = T = S[1]-
而
0
在实际操作过程中，将哪个函数的倒数作为分母是非常关键的，选对了函数则计算
XT0+
'
)XT0+
1 0 ( 丿 so+
1
1
XT0+
&_兀2
lnx
(lnx)2 x
此时，该函数分母极限为1,分子形式与例1类似，因此，可用相同的方法算出极限为
0=所以，由极限的四则运算法则可得原函数极限为0。
方法三：将函数arcsin x的倒数作为分母，有 1
lim arcsin xlnx(0-oo) = lim —三兰一
变得简单，否则计算变得复杂甚至是无法算出。根据经验，人们经常会把看起来比较“简
单”的函数的倒数作为分母，但是这个经验也不一定都能成功。另外，在洛必达法则的应用
过程中，有时也需要一定的方法和技巧，否则计算会很繁琐，甚至是无法算出。下面，
通过一些典型的例题来推导这些方法。
3典型例题与方法分析 例1求极限解析：这是一个0・oo型的极限，看上去函数X比较“简单”， 若将函数兀的倒数作为分母，有
、 limxln 兀(O・oo) = lim 一lnx^ 00
丿 巳蚪严-魄（一小°。 XTO+
' 7 5+ 1 00
X
%2
而当我们将In’的倒数作为分母时, 有
兀
〔°〕 limxln 兀（0・oo） = lim —
lo 5+
' 7 5+ 1
丿 =“lim-------1-- =lim-
—o+
1
1
x->0+
X
1
<oj
lnx
ln2x X
ln2x o
这时发现，使用一次洛必达法则后，该极限仍然是器型，且分母部分的函数越来越复
杂，继续再应用洛必达法则也无法算出最后结果。 因此，当函数是幕函数与对数函数的乘积时，最好把幕函数的倒数作为分母。
例 2 求极限 lim sin x In x[z]。 解析：由于鲨—0+时，sinx~x.此时可以利用等价无穷小代换，将函数sinx替换成
xtO+
'
7
—0+
1
丿 100 xt0+
1
arcsin x
a/1-x2 (arcsin x)
十
=lim- ---------- ----------- -- =-lim
arcsm x 十 -----------lim
°
°°
2预备知识
洛必达法则1闪,若函数/(对与0(乂)满足下列条件：
1)在a的某去心邻域&⑷可导，且0(x)hO； 2)
3) lim马¥ =仁则血旦◎ =
=
i (p (%)Leabharlann f(p(x) f(pf(x)
= O-^lim^(x) = 0；
洛必达法则2⑴，若函数/(兀)与0(力满足下列条件：
1)*>0 ，在(一°°，一&)与(&，+°°)可导，且0‘(x)hO；
=
(P (x)
(p(x)
(p'(x)
2) lim f(x) = 00与lim(p(x) =00 ；
x->a
x->a
*收稿日期：2018 -10-8 作者简介：曾赤洁(1981 -)，女,湖南涟源人,滇西科技师范学院数理学院副教授，主要从事数学分析教育教学、
模糊数学研究。
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曾赤洁：求解0 • 8型极限的方法分析