人教A版高中数学选择性必修第一册第3章 3.2.1 双曲线及其标准方程课时练习题

§3.2 双曲线
3．2.1双曲线及其标准方程
1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是() A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216
＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216
＝1(x ≥3) 答案D
解析由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，
∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216
＝1(x ≥3)． 2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()
A.⎝⎛⎭⎫22，0
B.⎝⎛⎭⎫62，0
C.⎝⎛⎭
⎫52，0D ．(3，0) 答案B
解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 21
2
＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62
， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭
⎫62，0. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 2
2－a
＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于() A.32B ．5C ．7D.12
答案D 解析根据题意可知，双曲线的标准方程为
y 22－a －x 23－a
＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，
则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12
. 4．已知双曲线x 24－y 25
＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为()
A ．3或7
B ．6或14
C ．3
D ．7
答案A
解析连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，
∴|ON |＝12
|PF 2|， ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，
∴|ON |＝12
|PF 2|＝7或3. 5．(多选)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是()
A ．2
B ．－1C.4D ．－3
答案AB
解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则
c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0， ∴－52<m <72，且m ≠12
，∴AB 满足条件． 6．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 答案(2，＋∞)
解析由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21
m －2
＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.
7．以椭圆x 216＋y 29
＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程为______________．
答案y 25－x 24
＝1 解析由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．
设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，
将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，
所以双曲线的标准方程为y 25－x 24
＝1. 8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29
＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P
的值等于________． 答案45
解析由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.
在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45
. 9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭
⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解已知双曲线x 216－y 2
9
＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.
设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，
故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2
＝1. ∵点P ⎝
⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)2
25－a 2＝1，
化简得4a 4－129a 2＋125＝0，
解得a 2＝1或a 2＝1254
. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254
＜0， 不合题意，舍去，
∴a 2＝1，b 2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 10．已知双曲线x 216－y 2
4
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；
(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．
解(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1—→·MF 2—→＝0，
则MF 1⊥MF 2，
设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，
由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①
又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②
由①②得m ·n ＝8，
∴12mn ＝4＝12
|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255
. (2)设所求双曲线C 的方程为
x 216－λ－y 24＋λ
＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，
∴1816－λ－44＋λ
＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 2
8
＝1.
11．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()
A ．双曲线的一支
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
答案A
解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.
∴|MO 2|－|MO 1|＝1，
又|O 1O 2|＝4，
∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．
12．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案B
解析不妨设P 是双曲线右支上一点，
在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，
则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，
∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，
∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12
， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，
∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|，
∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.
13．已知F 是双曲线C ：x 2
－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为________.
答案32
解析因为F 是双曲线
C ：x 2－y 23
＝1的右焦点， 所以F (2,0)．
因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．
因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.
又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，
所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32
. 14．已知双曲线C ：x 23
－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则|PQ |＝________，△PF 1Q 的周长为________．
答案2331633
解析∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴F 2(2,0)．
又点P 的横坐标为2，∴PQ ⊥x 轴．
由223－y 2＝1，得y ＝±33，故|PF 2|＝33
. ∴|PQ |＝233
. 又P ，Q 在双曲线的右支上，
∴|PF 1|－|PF 2|＝23，|QF 1|－|QF 2|＝2 3.
∴|PF 1|＝|QF 1|＝2a ＋|PQ |2＝733
， ∴△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝1633
.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反
射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C ′：x 2m 2－y 2n
2＝1(m >0，n >0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．
答案2k (a －m )
解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，
如图，
|BF 2|＝2m ＋|BF 1|，
|BF 1|＋|BA |＋|AF 1|＝|BF 2|－2m ＋|BA |＋|AF 1|＝|AF 2|＋|AF 1|－2m ＝2a －2m ，
所以光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k (a －m )．
16．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．
解设顶点A 的坐标为(x ，y )，则
k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a
. 由题意，得y x ＋a ·y x －a
＝m ， 即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的两个交点)；
当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；
当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上；
当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．。