高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1

提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
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思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
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[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
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提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
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[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
2
∴x＝273 ＝(33)3 ＝9.
(2)由log2x＝－23可得x＝2－23
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易错点⊳忽略底数的取值范围
[走出误区]
[典例] 已知log2(logx4)＝1，求x的值． [错解档案] 由底数的对数等于1得logx4＝2， ∴x2＝4，∴x＝±2.
[误区警示] 解题过程中忽略了对数中底数的要求，即logaN中的a需满足a>0且a≠1.
[规范解答] 由底数的对数等于1得logx4＝2，∴x2＝4，又∵x>0，∴x＝2.
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【跟踪训练3】 求下列各式中x的值：
(1)x＝log1
2
16；(2)log8x＝－23；
(3)log2(log4x)＝0；(4)log( 2－1)
1 3＋2
＝x. 2
[解]
(1)∵x＝log1
2
16，∴(12)x＝16，
即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.
(2)∵log8x＝－23，∴x＝8－23＝3182＝14.
x－12>0， (3)由题意有x＋1>0且x＋1≠1， 解得x>－1且x≠0，x≠1. ∴x的取值范围为{x|x>－1且x≠0，x≠1}．
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对数式有意义的条件 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：N>0，a>0且a≠1.
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【跟踪训练1】 求式子log(x2＋1)(－3x＋8)中x的取值范围．
[解]
(1)∵log1
3
27＝－3，∴(13)－3＝27.
(2)∵10－3＝10100，∴log1010100＝－3，即lg10100＝－3.
(3)∵log 3x＝6，∴( 3)6＝x.
(4)∵e0＝1，∴0＝loge1＝ln1.
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知识点三 对数性质的应用 [核心解读]
loga1＝0与logaa＝1这两个结论常常化“简”为“繁”，把0和1化为对数式的形式，再根据对数的有 关性质求解问题．
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[典例示法] 例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)54＝625；(2)log1 8＝－3；
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(3)(14)－2＝16；(4)lg1000＝3. 指数式与对数式的互化依据是什么？
如：54＝625，在指数式中的5对应对数式中的哪个位置？4呢？625呢？
提示：依据是指数式ab＝N化为对数式b＝logaN,5对应a,4对应b,625对应N.
提示：题目(2)中既要x＋2>0还要满足x－1>0且x－1≠1.题目(3)中(x－1)2>0不一定成立，x＋1>0且x＋ 1≠1.
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[解] (1)由题意有x－10>0，∴x>10. ∴x的取值范围为{x|x>10}．
x＋2>0， (2)由题意有x－1>0且x－1≠1， 即xx>>－1且2，x≠2， ∴x>1且x≠2. ∴x的取值范围为{x|x>1且x≠2}．
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[典例示法] 例 4 计算：
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(1)71－log75；(2)42 (log29－log25)；(3)alogab·logbc(a，b 为不等于 1 的正数，c>0)．
观察题目中各式指数位置有什么特点？这种特点与对数恒等式有什么关系？
提示：指数位置的对数式的底均与指数式的底相同或可化为同底，与对数恒等式的结构特点相同．
＝
3 2 2.
(3)由x＝log2719可得27x＝19，
∴33x＝3－2，∴x＝－23.
(4)由log3(lgx)＝1可得lgx＝3， ∴x＝103＝1000.
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[互动探究] 将本例(4)变为lg(lnx)＝1，求x的值．
[解] 由lg(lnx)＝1得lnx＝10. ∴x＝e10.
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对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(a>0且a≠1) (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先 把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
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【跟踪训练4】 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34.
[解] 原式＝31·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋3－2·log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
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[规律小结] 对数概念的理解 (1)规定a>0且a≠1. (2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对 数． (3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)， 据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N. (4)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算， 两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
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[解]
(1)∵54＝625，∴log5625＝4.
(2)∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
(3)∵(14)－2＝16，∴log14 16＝－2.
(4)∵lg1000＝3，∴103＝1000.
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指数式与对数式的关系 (1)logaN＝b与ab＝N(a>0且a≠1，N>0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中 两个量表示第三个量． (2)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂 的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如下图：
(3)并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0且 a≠1，N>0时才有ax＝N⇔x＝logaN.
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【跟踪训练2】 将下列各式转化为相应的对数式或指数式：
(1)log1
3
27＝－3；(2)10－3＝10100；
(3)log 3x＝6；(4)e0＝1.
[解] 因为底数x2＋1≠1，所以x≠0； 又因为－3x＋8>0，所以x<83. 综上可知x<83且x≠0. 即x的取值范围是{x|x<83且x≠0}．
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知识点二 指数式与对数式的互化 [核心解读]
指数式与对数式互化的思路 1．指数式化为对数式． 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式． 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.
(4)∵log(
2－1)
1 3＋2
＝x， 2
∴(

2－1)x＝
1 3＋2
＝ 2
1＝ 2＋12
1 2＋1
＝ 2－1，∴x＝1.
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知识点四 对数恒等式的应用 [核心解读]
对数恒等式alogaN＝N的形式记忆如图所示：
(1)指数中含有对数形式． (2)它们是同底的． (3)其值为对数的真数．
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9
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( × ) (2)对数式log32与log23的意义一样．( × ) (3)对数的运算实质是求幂指数．( √ ) (4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．( × ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x＝2014，则x＝_lo_g_5_2_0_1_4_. (2)lg10＝___1_____； lne＝___1_____. (3)将log3a＝2化为指数式为__3_2＝__a___．
[解] (1)原式＝7lo7g75＝75. (2)原式＝2(log29－log25)＝22lloogg2295＝95. (3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
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运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
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02课堂合作探究
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知识点一 对数式有意义的条件 [核心解读]
从两个角度理解对数式的意义 角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在a>0，a≠1，N>0时才有意义． 角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的．
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思考1 在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
[名师点评] 1.对数的表达式x＝logaN中底数a须满足a>0且a≠1，只有满足这一条件式子才能够成 立，在解题时要时时记住这一点．
2.理解对数的定义，灵活进行指数与对数的相互转化．
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思考1 任何一个指数式都可以化成对数式吗？ 提示：不是，如(－2)3＝－8，不能写为log(－2)(－8)＝3. 思考2 根据对数的定义，如何将1183＝1.01x、42＝16写成对数形式？ 提示：由1183＝1.01x，得x＝log1.011183，称x是以1.01为底1183的对数；由42＝16，得log416＝2.
2．两种特殊的对数 (1)常用对数：通常_以__1_0_为__底__的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为_l_g_N__. (2)自然对数：__以__e为__底___的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为_l_n_N__.(其中e≈2.71828…)
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3．对数的基本性质 (1)_零__和__负__数__没有对数，即N>0； (2)1的对数为_0__，即loga1＝__0_； (3)底数的对数等于__1_，即logaa＝_1__. 4．两个重要的对数恒等式 (1)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． (2)logaaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
思考2 是不是所有的实数都有对数？为什么？ 提示：负数与零没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数．
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例1 求下列各式中x的取值范围： (1)log2(x－10)； (2)log(x－1)(x＋2)； (3)log(x＋1)(x－1)2.
[典例示法]
题目(2)中只要x＋2>0就可以了吗？题目(3)中(x－1)2>0一定成立吗？
人教A版·必
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修1
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2.2 对数函数
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2.2.1 对数与对数运算
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第1课时 对数
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[问题提出]
1.对数的定义是什么？它对底有什么要求？ 2.如何进行指数式与对数式的互化？3.对数有哪些基本性质？
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01课前自主学习
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[基础自学] 1．对数的概念 如果__a_x＝__N__(a>0且a≠1)，那么数_x__叫做以__a__为底_N__的对数，记作x＝logaN，其中_a__叫做对数的 底数，__N__叫做真数．