临沂市兰陵县2020—2021学年初二下期末数学试卷含答案解析

临沂市兰陵县2020—2021学年初二下期末数学试卷
含答案解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
2．某班第一组12名同学在“爱心捐款”活动中，捐款情形统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是（）
捐款（元）10 15 20 50
人数 1 5 4 2
A．15，15 B．17.5，15 C．20，20 D．15，20
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
4．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
5．关于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不通过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
6．对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．依照图中信息，这些学生的平均分数是（）
A．2.2 B．2.5 C．2.95 D．3.0
7．如图，将一个矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则BE的长是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
9．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）
A．4 B．C．D．5
10．设min{x，y}表示x，y两个数中的最小值，例如min{1，2}=1，min{7，5}=5，则关于x的一次函数y=min{2x，x+1}能够表示为（）
A．y=2x B．y=x+1
C．D．
11．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（）
A．90°B．45°C．30°D．22.5°
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是（）
A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，连接CE，BF相交于点G，则下列结论不正确的是（）
A．BF=CE B．∠AFB=∠ECD
C．BF⊥CE D．∠AFB+∠BEC=90°
14．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地点参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时刻t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（）
A．1.5千米B．2千米C．0.5千米D．1千米
二、填空题（每小题5分，共20分）．
15．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标为．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．
17．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优待，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在那个超市买10本以上的练习本优待折扣是折．
三、解答题（共58分）
18．已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地动身到乙地，A骑摩托车，B 骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时刻t（h）的函数关系的图象．在B动身后几小时，两人相遇？
19．某超市打算购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯共20盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
甲乙
进价（元/盏）40 60
售价（元/盏）60 100
设购进甲种台灯x盏，且所购进的两种台灯都能全部卖出．
（1）若该超市购进这批台灯共用去1000元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）若购进两种台灯的总费用不超过1100元，那么超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB=6cm，AD=8cm，P从点A动身．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时刻为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？假如能，求出相应的t值；假如不能，说明理由．
21．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终通过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
2020-2021学年山东省临沂市兰陵县八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【分析】依照同类二次根式才能合并可对A进行判定；依照二次根式的乘法对B进行判定；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判定；依照二次根式的除法对D 进行判定．
【解答】解：A、与不能合并，因此A选项不正确；
B、×=，因此B选项不正确；
C、﹣=2=，因此C选项正确；
D、÷=2÷=2，因此D选项不正确．
故选C．
2．某班第一组12名同学在“爱心捐款”活动中，捐款情形统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是（）
捐款（元）10 15 20 50
人数 1 5 4 2
A．15，15 B．17.5，15 C．20，20 D．15，20
【考点】中位数；众数．
【分析】依照众数的定义即可得到捐款金额的众数是15；在12个数据中，第6个数和第7个数分别是15元，20元，然后依照中位数的定义求解．
（15+20）【解答】解：共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15元，20元，因此中位数是：
÷2=17.5（元）；
捐款金额的众数是15元．
故选：B．
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】依照勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC==2，
AC==，
AB==，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【考点】平行四边形的判定．
【分析】依照题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①②组合可依照一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可依照对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
5．关于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不通过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【考点】一次函数的性质；一次函数图象与几何变换．
【分析】分别依照一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：A、因为一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确；
B、因为一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，因此此函数的图象通过一、二、四象限，不通过第三象限，故B选项正确；
C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故C 选项正确；
D、令y=0，则x=2，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故D选项错误．
故选：D．
6．对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．依照图中信息，这些学生的平均分数是（）
A．2.2 B．2.5 C．2.95 D．3.0
【考点】条形统计图；扇形统计图；加权平均数．
【分析】依照分数是4分的有12人，占30%，据此即可求得总人数，然后依照百分比的定义求得成绩是3分的人数，进而用总数减去其它各组的人数求得成绩是2分的人数，利用加权平均数公式求解．
【解答】解：参加体育测试的人数是：12÷30%=40（人），
成绩是3分的人数是：40×42.5%=17（人），
成绩是2分的人数是：40﹣3﹣17﹣12=8（人），
则平均分是：=2.95（分）．
故选C．
7．如图，将一个矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则BE的长是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】依照翻折变换的性质可得AE=CE，设BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD折叠C点与A点重合，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，
即42+x2=（8﹣x）2，
解得x=3，
即BE=3．
故选A．
8．如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【考点】平行四边形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【分析】要求∠DAE，就要先求出∠ADE，要求出∠ADE，就要先求出∠DBC．利用DB=DC，C=70°即可求出．
【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC=70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°那么∠DAE=90°﹣∠ADE=20°
故选A．
9．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）
A．4 B．C．D．5
【考点】菱形的性质．
【分析】连接BD，依照菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后依照勾股定理运算出BO长，再算出菱形的面积，然后再依照面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【解答】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，
AE=，
故选：C．
10．设min{x，y}表示x，y两个数中的最小值，例如min{1，2}=1，min{7，5}=5，则关于x的一次函数y=min{2x，x+1}能够表示为（）
A．y=2x B．y=x+1
C．D．
【考点】一次函数的性质．
【分析】先求出两个函数y=2x和y=x+1的交点坐标（1，2），然后依照一次函数的性质得到当x＜1时，2x＜x+1；当x≥1时，2x≥x+1，因此利用新定义表示一次函数y=min{2x，x+1}．
【解答】解：解方程组得，
因此当x＜1时，2x＜x+1；当x≥1时，2x≥x+1，
因此关于x的一次函数y=min{2x，x+1}能够表示为y=．
故选C．
11．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（）
A．90°B．45°C．30°D．22.5°
【考点】正方形的性质．
【分析】依照正方形的性质得∠ACB=45°，再依照等腰三角形的性质得∠E=∠CAE，再依照三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠ACD=45°，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E，
∵∠BCA=∠E+∠CAE，
∴∠E=∠CAE=22.5°，
故选D．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是（）
A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
【考点】矩形的性质．
【分析】依照矩形的对角线互相平分且相等，四个角差不多上直角对各选项分析判定利用排除法求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴A、B、C各项结论都正确，
而OA=AD不一定成立，
故选D．
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，连接CE，BF相交于点G，则下列结论不正确的是（）
A．BF=CE B．∠AFB=∠ECD
C．BF⊥CE D．∠AFB+∠BEC=90°
【考点】正方形的性质．
【分析】第一证明△ABF≌△BCE，得BF=CE，∠AFB=∠BEC，故A正确，由AB∥CD，得∠BEC=∠ECD，能够判定B正确，再由∠AFB+∠ABF=90°，推出∠BEG+∠EBG=90°即可判定．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE，
∴BF=CE，∠AFB=∠BEC，故A正确，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD，
∴∠AFB=∠ECD，故B正确，
∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠BEG+∠EBG=90°，
∴∠EGB=90°，∴BF⊥EC，故C正确，
故选D．
14．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地点参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时刻t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（）
A．1.5千米B．2千米C．0.5千米D．1千米
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别依照甲、乙的图象运算出各自的速度即可求出每分钟乙比甲多行驶的路程．【解答】解：由图可知甲的行驶速度为：12÷24=0.5（km/min），
乙的行驶速度为：12÷（18﹣6）=1（km/min），
故每分钟乙比甲多行驶的路程为0.5km，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）．
15．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标为（3，﹣1）．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】第一连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，即可求得点B的坐标．
【解答】解：∵连接AB交OC于点D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，
∵点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，
∴OC=6，BD=AD=1，
∴OD=3，
∴点B的坐标为：（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则依照勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
17．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优待，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在那个超市买10本以上的练习本优待折扣是七折．
【考点】一次函数的应用．
【分析】依照函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．
【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10=2元，
打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）=1.4元，
=0.7，
因此，在那个超市买10本以上的练习本优待折扣是七折．
故答案为：七．
三、解答题（共58分）
18．已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地动身到乙地，A骑摩托车，B 骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时刻t（h）的函数关系的图象．在B动身后几小时，两人相遇？
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别求出A，B离开甲地的路程s（km）与时刻t（h）的函数关系式，并联立解方程组，方程组的解确实是两函数图象的交点坐标，那么相遇的时刻确实是交点的横坐标．【解答】解：设A离开甲地的路程s（km）与时刻t（h）的函数关系式为：y=k1 x+b1，
∵此函数图形通过点（1，0）与点（3，90），
∴
解之得：
∴y=45x﹣45
同理可求得B离开甲地的路程s（km）与时刻t（h）的函数关系式为：y=20x
解方程组：得：
即：在B动身后1.8小时两人相遇．
19．某超市打算购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯共20盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
甲乙
进价（元/盏）40 60
售价（元/盏）60 100
设购进甲种台灯x盏，且所购进的两种台灯都能全部卖出．
（1）若该超市购进这批台灯共用去1000元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）若购进两种台灯的总费用不超过1100元，那么超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）设购进乙种台灯y盏，依照甲、乙共购进20盏和总价=单价×数量列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设获得的总利润为w元，依照总利润=单台利润×数量可列出w关于x的函数解析式，再依照总价=单价×数量列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范畴，由w关于x函数的单调性即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进乙种台灯y盏，
由题意得：
，
解得：．
即甲、乙两种台灯均购进10盏．
（2）设获得的总利润为w元，
依照题意，得：w=（60﹣40）x+（20﹣x）=﹣20x+800．
又∵购进两种台灯的总费用不超过1100元，
∴40x+60（20﹣x）≤1100，解得x≥5．
∵在函数w=﹣20x+800中，w随x的增大而减小，
∴当x=5时，w取最大值，最大值为700．
故当甲种台灯购进5盏，乙种台灯购进15盏时，超市获得的利润最大，最大利润为700元．
20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB=6cm，AD=8cm，P从点A动身．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时刻为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？假如能，求出相应的t值；假如不能，说明理由．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质．
【分析】（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，因此OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．（2）点P从点A动身运动t秒时，AP=tcm，PD=（4﹣t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4﹣t）cm．在直角△ABP中，依照勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4﹣t）2，由此能够求得t的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
又∵OB=OD
∴四边形PBQD为平行四边形；
（2）答：能成为菱形；
证明：t秒后AP=t，PD=8﹣t，
若四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即62+t2=（8﹣t）2，
解得：t=．
即点P运动时刻为秒时，四边形PBQD是菱形．
21．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终通过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；（2）证明思路同（1）
【解答】（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
2021年8月30日。