苏科版七年级数学上册 相反数、倒数与绝对值专题提高培优

相反数、倒数与绝对值专题提高
1、【相反数】：
【代数定义】：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，规定：零的相反数是零。

相反数是成对出现的，指两个数字之间的关系，一个数与它的相反数时一对数字。

【几何意义】：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，即这两个数分居在原点两侧，并且到原点距离相等。

【解题技巧】：①表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号。

如：a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

②多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

【重要结论】：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

【知识应用】：
Eg1：【相反数的理解】：相反数反应的是两个数字之间的关系：①运算关系：和为0；②数字特征关系：只有符号不同。

而不体现大小关系
1.有理数的相反数是，它们之间的大小关系（）．
A．> B．< C．> 或= D．不能确定
2.如果，那么- =______ ；如果－x=－(－12)，那么x= __________
Eg2：【相反数结论】：若a与b互为相反数，则a+b=0
【例】：若a+5与—1互为相反数，则a=________
Eg3：【多重符号的化简】：下列各式中，化简正确的是（）．
A． -[+(-7)]=-7 B． +[-(+7)]=7 C． -[-(+7)]=7 D． -[-(-7)]=7
★ Eg4 ：【相反数的几何意义】：
1.数轴上，若A ．B 表示互为相反数，A 在B 的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是_______
【跟踪练习1】：一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数的对应点，则这个数是（ ）．
A ．-2
B ．2
C ．
D ．
【跟踪练习2】：有理数a,b 在数轴上的位置如图所示，试比较a,b,-a,-b 的大小，并用“＜”把它们连接起来。

2、【绝对值】：（字面意思：只要值，不要符号）
【代数定义】：①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0.
也可以写成： ()()()
||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数 【拓展】：=b -a
【说明】：遇到|a-b|或|a+b|或|a+b+c|……等形式时，也可以采用整体思想来解决。

绝对值里面看成一个整体，
问题即转化为求方程a 的问题，但是注意，为了防止出错，采用整体法去绝对值时要添上括号，然后
再去括号就可以了
b a 0a-b (a>b)
0 (a=b)
【几何定义】：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|，或者说|a|表示数a 到原点
的距离。

【拓展】：b -a 的机会意义：表示数字上表示a 的数与表示b 的数之间的距离。

【绝对值应用】：比较大小法则 ：①两个正数，绝对值大的正数大;②两个负数，绝对值大的负数小，绝对值小的
负数反而大．
绝对值有关的【重要结论】：
①一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
②即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

即：【0+0模型】：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0 ③绝对值相等的两数相等或互为相反数。

即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；反之也成立；
④任何数的绝对值都不小于原数。

即：|a|≥a ；
⑤绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

即：若|x|=a （a>0），则x=±a ；
【知识应用】：
Eg1.【绝对值代数意义】：
【例】：若|a |＝4，|b |＝3，且a >b ，则a -b ＝______．
【跟踪练习1】：若)5(--=-x ，则=x ________，
【跟踪练习2】：3.已知｜ａ｜＝3, ｜b ｜＝5,且ａ＜ｂ,则a ＋b 等于
【跟踪练习3】：（整体的思想）若x x -=-20082008 ，则满足条件x 的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个
★【跟踪练习4】：已知：abc ≠0，且M=，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）
A ．惟一确定的值
B ．3种不同的取值
C ．4种不同的取值
D ．8种不同的取值
Eg2.【绝对值几何意义】：
【例】：绝对值小于4且不小于2的整数是____
【跟踪练习1】：若1＜a ＜3，则=-+-a a 13__________ ★【跟踪练习2】：（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，两点之间的距离为8，求这两个数。

【跟踪练习3】：（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与
3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ．
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ______.
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为
Eg3.【整体思想+数形结合】：
【例】：已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）
A ．-3a
B ． 2c －a
C ．2a －2b
D ． b
【跟踪练习1】：3π-= ．
【跟踪练习2】：已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
【跟踪练习3】：计算: 9
1101415131412131-++-+-+-
Eg4.【非负性即0+0型应用】：
【例】.若|m －1|＋|n －5|＝0，则m ＝____，n ＝____．
★【跟踪练习】已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++
Eg5.【绝对值实际应用】：
【例】：某检修小组乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向南为正，某天从A 地出发到收工时，行走记录为(单位：
千米)：＋18，－9，＋14，－7，－6，＋12，－5，－8．
(1)收工时，检修小组在A 地何方，距A 地多远？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，则从出发到收工共耗油多少升？
【跟踪练习】：出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的太湖大道上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6 请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午共收到多少钱？
3、【倒数】倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

从它的定义中我们可以发现倒数不是独立存在的，而是相对的，
也就是说倒数不是一个具体的数，而是表示两个数之间的一种关系。

【解题技巧】：①求一个分数的倒数，只须把这个分数的分子和分母交换位置，即得它的倒数；
②求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到。

【重要结论】：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立；零没有倒数；倒数等于本身的数是1和-1。

【知识应用】：
Eg1.【倒数意义】：
【例】：已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求：m-（-1）+2016)
(
2015b
a
-cd的值是。

【跟踪练习】：a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
Eg2.【倒数在运算中的应用】：巧解
【例】：
【跟踪练习】：
【巩固练习】：
1. 下列说法中：
①有理数的绝对值一定是正数； ②互为相反数的两个数,必然一个是正数,一个是负数； ③若b a =，则a 与b 互为相反数； ④绝对值等于本身的数是0；
⑤任何一个数都有它的相反数. 其中正确的个数有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2．关于数0,下列几种说法不正确的是 （ ）
A. 0既不是正数,也不是负数
B. 0的相反数是0
C. 0的绝对值是0
D. 0是最小的数
3.下列说法中，正确的是（ ）
①0是绝对值最小的有理数； ②相反数大于本身的数是负数；
③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数大小比较，绝对值大的反而小.
A.①、②
B.①、②、③
C.①、③
D.①、②、③、④
4．41-的相反数与绝对值等于4
1的数的和应等于
最大的负整数是 ，最小的自然数是
6、-221的倒数的是______，-2-的相反数是______.相反数大于-3但不大于2的整数是______
7. 2018-的倒数的相反数是
8.已知:a 与b 是互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是绝对值最小的数，n 是最大的负整数，则：
（1）a+b= ,c d= ,m= ,n= . cd b a +-+3=
（2）求：220192
n b a d c m +++⋅-=____________. 9．a ，b 为有理数，且，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（ ） A. B.
C. D.
10.若:0y x <<，则化简x
xy
x xy +的结果为( )
A. 0
B.2-
C. 2
D. 1
11. a 是不为1的有理数,我们把11a -称为a 的差倒数.如:2的差倒数是1112
=--,-1的差倒数是111(1)2=--.已知113
a =-,2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数, 4a 是3a 的差倒数……依此类推.则2018a = . 12．已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅满足下列条件：10a =,21|1|a a =-+,32|2|a a =-+, 43|3|a a =-+,…,依次类
推,则a 2019的值为________________.
13．已知013=-++b a ,则b a +的相反数是 ( )
A.-4
B.4
C.2
D.-2
14．下列说法正确的是 （ ）
a >0,b<0,
a <
b b<-a <a <-b -a <a <b<-b -a <b<a <-b -b<-a <a <-b
A ）与（2)21(+-互为相反数 B.5的相反数是5-
C.数轴上表示－a 的点一定在原点的左边
D.任何负数都小于它的相反数
15．若与互为相反数，则_________. 16．在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是__________.
17.计算=_________.
18.观察一列数:1,2,4,8……我们发现，从这列数的第二项起，每一项与它前面的一项的比都是2.一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前面的一项的比都等于同一个常数，我们就把这样的一列数叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比.
(1)等比数列5，-15, 45的第四项为 ;
(2)若一个等比数列的第二项是10，第三项是-20，则它的第一项是 ，第四项是 .
★19．数轴上两点之间的距离等于相对应的两数差的绝对值．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________；数轴上表示﹣2和﹣8的两点之间的距离是___________；
（2）数轴上表示数x 和﹣1的两点之间的距离是2，那么x 为_____________；
（3）若某动点表示的数为x ，当式子|x+1|+|x ﹣2|取得最小值时，相应的x 的范围是____
（4）若某动点表示的数为x,已知数轴上两点A,B 对应的数分别为-1、3，点P 为点A 点B 之间的一点（不与A,B 重合），点P 对应的数为p 。

则式子|x ﹣p|+|x ﹣3|+|x ﹣P ﹣15|的最小值是________.
2(0.5)a +2b -b
a =3215⨯-⨯=|2007
120091||2007120081||2008120091|---+
-
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