【解析】北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

首师附高二上学期期中数学试卷

一、选择题

1.抛物线24x y =的焦点是 A. (1,0)- B. (1,0)

C. (0,1)-

D. (0,1)

【答案】D 【分析】

先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标.

【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D .

【点睛】求圆锥曲线的

焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.

2.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，

2350a a a +==，即0a =，

∴“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的 既不充分也不必要条件．

3.若双曲线22

:1916

x y E -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，

则2PF 等于( ) A. 11 B. 9

C. 5

D. 3

【答案】B 【分析】

由双曲线定义可构造方程求得结果.

【详解】由双曲线定义可知：122326PF PF PF a -=-== 又20PF > 29PF ∴= 故选：B

【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.

4.直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θ

θ=-+⎧⎨

=+⎩

(θ为参数)截得的弦长为( )

A. B. C.

D. 2

【答案】A 【分析】

将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.

【详解】由圆C 的参数方程可得圆C 的普通方程为：()()2

2

1216x y ++-=

∴圆C 是以()1,2-为圆心，4为半径的圆

∴圆心到直线距离d =

= ∴弦长为=

故选：A

【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.

5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点，直线2b y =

与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

12

D.

2

【答案】A 【分析】 将2

b

y =

代入椭圆方程求得,B C ，可表示出,BF CF ，由垂直关系可知0BF CF ⋅=，从而构造出关于,a c 的齐次方程，由c

e a

=

求得结果.

【详解】将2b

y =代入椭圆方程得：,2b B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭

又椭圆焦点(),0F c ,22b BF c a ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c a ⎛⎫

=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 90BFC ∠= 2

22

2

22

222

3331044

44

42

b a

c B F C F c a c a c a -∴⋅=-+

=-+

=-=

22

223c e a ∴== e ∴=

故选：A

【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于,a c 的齐次方程，从而根据c

e a

=

求得离心率. 6.设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ） A. 若m∥n，n ⊂α，则m∥α B. 若m∥α，n ⊂α，则m∥n C. 若α⊥β，m ⊂α，则m⊥β D. 若m⊥β，m ⊂α，则α⊥β

【答案】D 分析】

在A 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在D 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．

【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，得： 在A 中，若m ∥n ，n ⊂α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 错误；

在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 在D 中，若m ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

7.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）

A 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】B

【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|，

∴|AM|，三角形APM 为等腰直角三角形，

设A （m 2

，m ）（m ＞0）,

由AM MK =得22m =+，解得2m =

则△AFK 的面积=4×m•1

2

m=8, 故选：B.

【此处有视频，请去附件查看】

8.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123

F PF π

∠=，则椭

圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A.

B.

C. 1

D. 2

【答案】A 【分析】

根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．