概率论与数理统计

2 ） 频率的稳定性 n=500时 nA 251 249 256
253
251
246
244 0.488
fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 实验者 德•摩根 蒲 丰 n 2048 4040 nH 1061 2048 6019 fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
2
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1.1列出 表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结 从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时， 果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时， 正面出现的频率非常接近0.5 就是说， 0.5， 正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面 与出现反面的机会差不多各占一半。 与出现反面的机会差不多各占一半。
( )
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17
互斥， 解 (1) 若A、B互斥， = Φ ， 互斥 AB B A = B 此时 B ⊂ A 从而
P( BA) = P( B) = 1 2
(2) 若 A⊂ B ;
则 P( BA ) = P( B − A) = P( B) − P( A) = 1 2 −1 3 = 1 6 ;
1 (3) 若 P( AB ) = . 8
B
A
B
AB A
Ω
A∩ (B − A) = φ
P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB)
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Ω
A∩ (B − AB) = φ
(8)
16
证明 P(A∪B ) = P(A∪(B− AB))
= P( A) + P(B − AB)
再由性质3便得(8) (8)。 又因 AB ⊂ B 再由性质3便得(8)。 设事件A， 的概率分别为1/3，1/2， 的概率分别为1/3 例1 设事件 ，B的概率分别为1/3，1/2， 的值。 求下列情况下 P B A 的值。 互斥； （1）A、B互斥； ） 、 互斥 1 （3） P( AB ) = . ） 8 （2） A⊂ B ; ）
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试验结果 e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的” 常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
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例如， 例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 个大小、 个大小 的球. 将球编号为1－ 的球 将球编号为 －10 . 把球搅匀，蒙上眼睛， 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球. 中任取一球
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3） 概率的公理化定义 是随机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验， 定义 设 E 是随机试验， 是它的样本空间， 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A) , 称 赋予一个实数， 的概率， 满足下列条件 下列条件： 为事件 A 的概率，要求集合函数 P(•)满足下列条件：
1
0
0 ≤ P( A) ≤1 ;
10个球中的任一个被取 个球中的任一个被取 出的机会都是1/10 出的机会都是
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
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我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 号球， 号球 则该试验的样本空间 ={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说 且每个样本点 或者说 基本事件)出现的可能 基本事件 出现的可能 性相同 . 称这样一类随机试验 古典概型. 为古典概型
P( A1 A2 ⋯An )
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我们首先引入的计算概率的数学模型， 我们首先引入的计算概率的数学模型 ， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为 对象， 古典概型
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21
二、古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果 e1, e2, …，eN , ， 假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果 比任一其它结果， 更有优势， 例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势， 更有优势 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会， 的出现机会. 能的出现机会，即1/N的出现机会 的出现机会
0.5069 0.5005 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923
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上面的试验的结果表明， 上面的试验的结果表明，在相同条件下大量 地重复某一随机试验时， 地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率 稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率 稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率 的稳定性。频率的稳定性的存在， 的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现 象也有它的数量规律性。 象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现 象中数量规律的数学学科。 象中数量规律的数学学科。
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古典概型中事件概率的计算 摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=? P(A)=1/10 摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10
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2
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
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摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=6/10
第二节 随机事件的概率
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1
由于随机现象的结果事先无法预知， 由于随机现象的结果事先无法预知，初看起 来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一 随机现象毫无规律可言。 随机现象在大量重复出现时， 随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果 出现的频率却具有稳定性， 出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也 有其固有的规律性。 有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试 验所证明。 验所证明。
P( B − A) = P( B ) − P( A) P(B) ≥ P(A)
(6), (7)
P ( B ) = P ( A ∪ ( B − A )) = P ( A) + P ( B − A)
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移项得(6),再由 移项得(6),再由 P(B − A) ≥ 0 便得(7) 。 (6), 便得(7)
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K •皮尔逊 12000
K •皮尔逊 24000 12012
若随机试验次数n 逐渐增加， 概率的统计定义 若随机试验次数 逐渐增加，事件 A 出现的频率 n(A)稳定于某个常数 时，则 称常数 出现的频率f 稳定于某个常数p时 称常数p 稳定于某个常数 的概率。记作P(A) 。 为事件 A 的概率。记作 事件发生 的频繁程度 频 率 频率的性质 稳 定值 事件发生 的可能性的大小 概率 概率的公理化定义
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它具有下述性质:
1
0 ≤ f n( A) ≤1 ;
2
3
; f n (Ω) =1
两 互 相 事 , 若 1, A2,⋯, Ak 是 两 不 容 件 则 A
f n ( A ∪ A2 ∪⋯∪ Ak) 1 = f n( A ) + f n( A2) +⋯+ f n( Ak) 1
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如i =2
2
8 5 6 19 4 7 3 10
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定义1 定义 若随机试验满足下述两个条件： 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型. 古典概型
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4
事件的概率 研究随机现象， 研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件， 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率. 的可能性大小，也就是事件的概率. 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大， 越大，概率就 越大！ 越大！
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8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因为抽取时这些球是 完全平等的， 完全平等的，我们没有理 由认为10个球中的某一个 由认为 个球中的某一个 会比另一个更容易取得 . 也就是说， 个球中的任 也就是说，10个球中的任 一个被取出的机会是相等 均为1/10. 的，均为
则 P( BA ) = P( B − AB) = P( B) − P( AB) = 1 2 −1 8 = 3 8 ;
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重要推广
1) P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C )
− P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC ) 2) P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB )
P(Ω) = 1 ;
20
, 30 若A1, A2 ,⋯是两两互不相容事件 则
P( A ∪ A2 ∪⋯ = P( A ) + P( A2) +⋯ ) 1 1
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关于概率的性质，常见的有以下四条: 关于概率的性质，常见的有以下四条: 性质0 性质0 P( φ )=0 性质1 加法定理） 性质1（加法定理） 若 A 1 , A 2 , ⋯ 是有限个两两互斥的事件， 是有限个两两互斥的事件，则
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在学习几何和代数时， 在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 公理是数学体系的基础 公理” “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 然后以此为基础， 的进一步的内容. 的进一步的内容
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11
1933年，前苏联数学家柯 年 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义. 化定义 即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率. 基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦. 的宏伟大厦 下面介绍用公理给出的概率定义. 下面介绍用公理给出的概率定义
P (
, An
∑
n
i=1
Ai) =
∑
n
i=1
P ( Ai)(4 )
该性质有公理3可以证明。 该性质有公理3可以证明。 性质2 对任一事件A 性质2 对任一事件 ，有
P( A) =1− P( A)
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(5)
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性质2 在概率的计算上很有用， 性质2 在概率的计算上很有用，如果正面计算
事件A的概率不容易， 事件 的概率不容易，而计算其对立事件 A 的概率不容易 的概率较易时， 的概率较易时，可以先计算 P(A)，再计算 P(A)。 P( A) = 1− P( A) 性质3 是事件， 性质3 设Ａ、B是事件， 是事件 则有 证明: 证明: 若 A⊂ B ,
表1.1抛掷硬币试验 1.1抛掷硬币试验
试验者 Buffon De Morgan 抛硬币次数 出现正面次数 出现正面频率
4040
4092 Feller 10000 12000 Pearson Pearson 24000 Lomanovskii 80640
2048 2048 4979 6019 12012 39699
B A
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19
加法公式的推广
对任意n个事件A1 , A2 , ⋯, An , 有 n n P ∪Ai = ∑P( Ai ) i =1 i =1 −
1≤ i < j≤n
∑P(A A ) + ∑P(A A A )
i j 1≤ i < j<k≤n i j k n−1
− ⋯+ (− 1)
5
我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 表示事件 发生的概率， 我们用 表示事件 发生的概率 0≤P(A)≤1
事件发生的可能性 最小是零， 最小是零，此时 概率为0. 概率为 事件发生的可能性 最大是百分之百， 最大是百分之百，此时 概率为1. 概率为
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一、 概 率的统计定义
1） 频率的定义和性质 ） 在相同的条件下，进行了n 次试验， 定义 在相同的条件下，进行了 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 次试验中， 发生的频数。 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。 发生的频率 频率，
静态 动态
这里实际上是从“比例” 这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 转化为“概率”
当我们要求“ 当我们要求“摸到红 的概率时， 球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例. 它在静态时相应的比例