立体几何练习题

立体几何小题专练
1．设,,l m n 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若l 与m 异面，m ∥n ，则l 与n 异面；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β；
③若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥；④若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α. 其中正确命题的序号有 ．（请将你认为正确命题的序号都填上） 2．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成角的大小是 .
3．下列说法中，错误的个数有________个：①平行于同一条直线的两个平面平行． ②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且BE ⊥PC 于E ，PA=a ，，点F 在线段AB 上，并有EF ∥平面PAD ．则= ．
5．设α、β、γ是三个不同的平面，
l 、m 、n 是三条不同的直线，则β⊥m 的一个充分条件为 ．
①l m l ⊥=⊥,,βαβα ； ②αβα⊥⊥⊥m n n ,,；
③βγβαγα⊥⊥=,,m ； ④γβγαα⊥⊥⊥,,m ．
6．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：
①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ；⑤
PBC PAC ⊥平面平面．其中正确命题的序号是 ．
7．底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为__________.
8．已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若
012,90AB AC AA BAC ===∠=，则该球的体积等于___________．
9．在正三棱锥V —ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．
10．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 。

11．已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长为2，侧面积为152，则其外接球的体积为_____
12．已知圆锥的母线长为5，高为21，则此圆锥的底面积和侧面积之比为 ．
13．已知球O 的大圆面积为1S ，表面积为2S ，则12:S S =_______.
14．已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则
33:a b 的值为 . 15．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积
和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12
S S 的值为 ． 16．长方体同一顶点上的三条棱长分别是3，4，5，若它的8个顶点都在一球面上，则这个球的表面积是_____
17．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．
18．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．
19．（2014•许昌二模）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ．
20．（2015秋•绍兴校级期末）四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积 ．
21．（2015秋•盐城校级月考）已知一个正方体的边长为2，则其外接球的体积是
22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA === .（1）证明：PC BD ⊥（2）若E 为PA
的中点，求三棱锥P BCE -的体积.
23．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F
，分别是AB BD ，的中点．
（1）求证：直线//EF 面ACD ；（2）求证：平面EFC ⊥面BCD ；
（3）若面ABD ⊥面BCD 且1===BC BD AD ,求三棱锥ADC B -的体积。

24．如图，直三棱柱C C '''AB -A B 中，2C 2C 'AA =A =B ，E 为'AA 的中点，C 'E ⊥BE ．
（1）求证：C 'E ⊥平面C B E ；（2）若C 2A =，求三棱锥C 'B -E B 的体积．
A
B
C D
E F
立体几何解答题专练
25．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE ＝60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ＝FE ＝AB ＝12AD ＝2，点G 为AC 的中点． （1）求证：EG ∥平面ABF ；（2）求三棱锥B －AEG 的体积；
（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若
不垂直，请说明理由．
26．如图，四棱锥P ABC -D 中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC
的中点．（Ⅰ）证明MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求四面体N BCM -的
体积.
27．如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面QDC ⊥平
面AEC ；（Ⅲ）若1AB =，2AD =，求多面体ABCEQ 的体
积．
28．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边中点，且CC 1=2AB ．
（Ⅰ）求证：平面C 1CD⊥平面ADC 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥D ﹣CAB 1的体积．
29． 如图，四棱锥ABCD E -中，平面ABE ⊥平面ABCD ，侧面ABE 是等腰直角三角形，EA EB ⊥，
底面ABCD 是直角梯形，且AB ∥CD ，BC AB ⊥，222===BC CD AB （1）求证：AB ⊥DE ；（2）求三棱锥BDE C -的体积；
（3）若点F 是线段EA 上一点，当EC // 平面FBD 时，
求EF 的长.
30．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1．
（1）求证：AD ⊥平面BFED ；（2）已知点P 在线段EF 上，EP
PF
＝2．求三棱锥E －APD 的体积．
31．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC ．
（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求三棱锥E ﹣ABD 的体积．
32．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）求证：
平面PCE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求三棱锥C ﹣BEP 的体积．
33．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内
有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿
基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：
（1）求圆柱的体积与球的体积之比；（2）求圆柱的表面积与球的表面积之
比．
34．（2015秋•沈阳校级月考）如图，AB 为圆柱的轴，CD 为底面直径，E 为底面圆周上一点，AB=1，CD=2，CE=DE ．求（1）三棱锥A ﹣CDE 的全面积；
（2）点D 到平面ACE 的距离．
35．（2015秋•绍兴校级期末）如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为xcm 的内接圆柱．（1）试用x 表示圆柱的侧面积；
（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大．
36．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，2AD AB =，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点．（1）
证明：//EF 平面PAB ；（2）在线段AD 上是否存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明⊥BO 平面PAC ；
若不存在，请说明理由． F E P A C
37．如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：
PC AD ⊥；
（2）求点D 到平面PAM 的距离．
38．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 是AC 中点．
（1）求证：平面111A ACC BEC ⊥；（2）若21=AA ，AB=2，求点A 到平面1BEC 的距离．
39．如图，在三棱锥P —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PC 、
BC 的中点，且PA=PB ，AC=BC 、（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGH。