参数估计习题解答

参数估计习题解答
参数估计
习题与习题解答6.1
1．从⼀批电⼦元件中抽取8个进⾏寿命测试,得到如下数据(单位:h):
1 050, 1 100, 1 130, 1 040, 1 250, 1 300, 1 200, 1 080
试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计.
解：样本均值 75.11438
1080
11301101050=++++=
x
样本标准差 ∑=-=8
1
2)(71i i x x s []
22)75.11431080()75.11431050(7
1
-++-=
0562.96= 因此,元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562 2．设总体),0(~θU X ,现从该总体中抽取容量为10的样本,样本值为
0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.8,1.5,2.0,1.6
试对参数θ给出矩估计.
解：由于E(X )=2θ,即θ=2E(X ),⽽样本均值10
6
.13.15.0+++=
x =1.34,故θ的矩
估计为68.22?==x θ
3．设总体分布列如下,n x x ,1是样本,试求未知参数的矩估计
.10,,3,2,)1()1()()2(,1,,2,1,0,1
)()1(22<<=--==-==
=-θθθ k k k X P N N k N
k X P k ；
（正整数）是未知参数解：(1) 总体均值E(X )=
2
1
,其中x 为样本均值,若x 2不是整数,可取⼤于x 2的最⼩整数代替.2x (2) 总体均值E(X )=
=---+∞
=∑2
2
2
)
1()1(k k k k θθ
∑+∞
=---2
2
2
)
1)(1(k k k k θθ
,由于
3
2
22
)1)(1(θ
θ=
--∑+∞
=-k k k k ,
故有E(X )θ
θθ2
2
3
2
=
=,即θ)(2X E =
,从⽽参数的矩估计为.2?x
=θ 4．设总体密度函数如下,n x x ,,1 是样本,试求未知参数的矩估计.
0,10,)1();()2(;
0,0),(2
);()1(1
2
>>=
><<=><<+=><<-=
--
-θµθ
µθθθθθθθθθθθ
θθ
µ
θθx e
x p x x x p x x x p x x x p x 解：(1) 总体均值E(X )=
=-?
dx x x )(2
2
θθ
θ
θθθθ
3
1
)(2
22
=-?
dx x x ,即即)(3X E =θ,
故参数θ的矩估计为.3?x =θ(2)总体均值E(X )=
dx x x ?
+1
)1(θθ=
2
1
21?--=
x x
θ (3)由E(X )=dx x x 1
1
-?θθ=1+θθ
可得2
)(1)(
-=X E X E θ,由此,参数θ的矩估计.1?2
-=x x θ
(4)先计算总体均值与⽅差
E(X )=
dx e
x x θ
µ
µ
θ
--
∞
+?1
=dt e t t
θθ
-∞
+?0
1
+dt e t
θµθ
-
∞
+?
1
=µθ+
x
x θ
µ
µθ
--
∞+?
1
2
=dt e t t θθ
µ-∞+?+1 )
(02
=
dt e t t θθ
-
∞+?
1
2
+dt e t t θθ
µ-
∞+?0
1
2+dt e t θθ
µ-
∞+?1
V a r(X )=2
2
))(()(X E X E -=2
θ
由此可以推出)()(,)(X Var X E X Var -==µθ,从⽽参数µθ,的矩估计为
.?,?s x s -==µ
θ 5．设总体为)1,(µN ,先对该总体观测n 次,发现有k 次观测为正,使⽤频率替换⽅法求
µ的矩估计.
解：由题意知,观测为正的频率f =
n
k
,下⾯计算观测值为正的概率.当总体为N (1,µ)时,P (X >0)=1-P (X <0)=1-P (X -µ<-µ)=)(µΦ其中Φ为标准正态分布的分布函数.利⽤频率
替换概率的⽅法有n k =Φ)?(µ
,这给出参数的矩估计为1?k n
k u n µ
-??
=Φ= 譬如,若设
n
k
=0.281,则由上式知µ
是标准正态分布的分布的0.281分位数,查表得 =µ
281.0u =-0.58 6．甲、⼄两个校对员彼此独⽴对同⼀本书的样稿进⾏校对,校完后,甲发现a 个错字,⼄发现b 个错字,其中共同发现的错字有c 个,试⽤矩法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数.
解 (1)设该书样稿中总错字的个数为θ,甲校对员识别出错字的概率为1p ,⼄校对员识别出错字的概率为2p ,由于甲,⼄是彼此独⽴地进⾏校对,则同⼀错字能被识别的概率为
21p p ,根据频率替换思想有 ,?,?21θ
θ
b
p
a
p
==由独⽴性可得矩法⽅程
θ
θ
c
ab =
θ?. (2) 未被发现的错字估计等于总错字数的估计减去甲,⼄发现的错字数,即
.c b a c
ab
+-- 譬如,若设a =120,b =124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩法估计18680
124
120?=?=θ
,
⽽未被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.
7．设总体概率函数如下,n x x ,,1 是样本,试求未知参数得最⼤似然估计. (1);0,10,);(1 ><<=
-θθθθx x
x p
(2)0,,);()
1(>>=+-c c x x
c x p θθ
θθ已知,θ>1
解 (1)似然函数为1
1(,
,)
n
n L x x θθθ（）（）,
其对数似然函数为
()(2
ln ln n
L θθ=
+11)()ln ln n x x ++
将()ln L θ关于θ求导并令其为0即得到似然⽅程
1()1()
022ln ln ln n L n
x x θθθ
解之得 21
1?()ln n
i i x n θ-==∑ 由于 4
3
2
()022324()24ln ln ln i x i n x L n θ
θθθθθ∑==-
所以θ
是的最⼤似然估计.
(2)似然函数为(1)1()()L n n n c x x θ
θθθ-+=,其对数似然函数为
1()(1)()ln ln ln ln ln n L n n c x x θθθθ=+-++
解之可得
11
)1
(?-=∑-=n i i Inc Lnx n θ
由于
0)(22<-=??θ
θθn
InL ,这说明θ?是θ的最⼤似然估计. 8．设总体概率函数如下,n x x ,,1 是样本,试求未知参数的最⼤似然估计. (1)0,0,,);() 1(>>>=+-c x x c x p c c
θθθθ已知；
(2;0,,1
),;(>>=
--
θµθ
µθθ
µ
x e
x p x
(3))();(θθk x p =0,)1(,)(1
()()n nc c n x
L c x x I θθθ-+>=
要使)(θL 达到最⼤,⾸先⽰性函数应为1,其次是nc
θ尽可能⼤.由于c>0,故nc
θ
是θ的
单调增函数,所以的取值应尽可能⼤,但⽰性函数的存在决定了的取值不能⼤于(1)x ,由此给出的θ最⼤似然估计为(1)x
(2)此处的似然函数为 µµθθθ>?
--=∑=)1(1,)(1exp )1
()(x x L n i i n
其对数似然函数为 1
()
(,)ln ln n
i
i x L n µθµθθ
=-=--∑
由于
(,)0ln L n θµµ
µθ
=>
所以,),(ln µθL 是µ的单调增函数,要使其最⼤,µ的取值应该尽可能的⼤,由于限制(1)x µ<,这给出µ的最⼤似然估计为(1)?x µ
=. 将),(ln µθL 关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然⽅程
12()
ln (,)0n
i i x L n µθµθθθ
=-?=-+=?∑ ,
解之得 1(1)?()??n
i
i x x
=-==-∑. (3)似然函数为
{}
(1)()(1)()()n n x
x k L k I θθ
θθ-≤≤≤+=.
由于()()n
L k θθ-=是关于θ的单调递减函数,要使()θL 达到最⼤,θ应尽可能⼩,但由限制{ }(1)()(1)n x x k θθ
≤≤≤+可以得到
()(1)1
n x x k θ≤≤+,这说明θ不能⼩于
()1
n x k +,因⽽θ的最⼤似然
估计为()?1
n x k θ
=+.
9．设总体概率函数如下,1,,n x x 是样本,试求未知参数的最⼤似然估计. (1)()0,21
;/>=
-θθ
θθ
e
x x p ；
(2)()2/12/1,1;+<<-=θθθx x p ； (3)()121221
1
;,,p x x θθθθθθ=
<<-.
解：(1)不难写出似然函数为 ()1
12n
i
i n
x L e
.
对数似然函数为 ()1
||
ln ln 2n
i
i x L n θθθ
==--
∑.
将之关于θ求导并令其为0得到似然⽅程
()12||
ln 0n
i i x L n θθθθ
=?-=+=?∑, 解之可得 1
||
n
i
i x n
θ
==∑.
⽽：
2
2
20
222(||)
2||ln ()i
n
i x x L n θθθθθθ==-
∑,
故θ
是θ的最⼤似然估计 (2) 此处的似然函数为 ()(1)()112 2n x x L I θθθ?
-<<<+??
=.
它只有两个取值：0和1,为使得似然函数取1,θ的取值围应是()(1)11
22
n x x θ-
<<+,因⽽θ的最⼤似然估计θ?可取()
(1)11
(,)22
n x x -+中的任意值. (3) 由条件,似然函数为
(){}
1(1)(2)2211
()n x x L I θθθθθ<<<=
-.
要使()θL 尽量⼤,⾸先⽰性函数应为1,这说明{}1(1)(2)2x x θθ<<<；其次21θθ-要尽量⼩,综上可知,1θ的最⼤似然估计应为)1(x ,2θ的最⼤似然估计应为).(n x
10．⼀地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩⽯成分,随机地⾃该地区取100个样品,每个样品有10块⽯⼦,记录了每个样品中属⽯灰⽯的⽯⼦数.假设这100次观察相互独⽴,求这地区⽯⼦中⽯灰⽯的⽐例的最⼤似然估计.该地质学家所得的数据如下
解：本题中,总体X 为样品中⽯灰⽯的个数,且X 服从参数),10(p 为的⼆项分布,即
.)1(10)(10x
x p p x x X p --
== ⼜设10021,,,x x x 为样本,则其似然函数为(忽略常数)
100
100
1
1
10100()(1)
i
i
i i x x L p p
p ==?-
∑
∑=-,
对数似然函数为
100100
ln ()ln (10100)ln(1)i i i i L p x p x p ===+?--∑∑
将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然⽅程
100
100
1110100ln ()
0,1i
i
i i x x L p p
p
p
==?-?=-
=?-∑∑
解之得
1000
100
1
∑==
i i
x
p
由于
0)
1(1000)(ln 2
1000
1
2100122<----=??∑∑==p x p x p p L i i i i 由⼆阶导数的性质知,p 的最⼤似然估计为499.01000
499
1000
100
1
==
=
p 11. 在遗传学研究中经常要从截尾⼆项分布中抽样,其总体概率函数为
.,,2,1,)
1(1)1();(m x p p p n
m p x X p m
n m x =---??? ??==- 若已知,n x x x m ,,,,221 =是样本,试求p 的最⼤似然估计.
解：当m =2时,该截尾⼆项分布只能取1与2,不妨设n x x x ,,,21 的样本中有1n 个i x 为1,有n -n 1个2则其似然函数为(忽略常数) ,)
2()1())1(1()1())1(1()1()(1
111111222)(2n
n n n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p p L --=---=---=--- 对数似然函数为
).2ln()1ln(ln )()(ln 11p n p n p n n L ---+-=θ
将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然⽅程
.02111=-+---p
n
p n p n n 解之得
.)1(22)(211x
x n n n n p -=--=-
后⼀个等式是由于
,)(2111
-==-+=∑x n n n n x
n
i i
所以-
-=x n n n 21,代⼊上式即得.
12．已知在⽂学家箫伯纳的A n I nt ellige nt Wo man ’s Guide To Soci a lis m ⼀书中,⼀个句⼦的单词数X 近似地服从对数正态分布,即2
ln ~(,)Z X N µδ=.今从该书中随机地取20个句⼦,这些句⼦中的单词数分别为。