21年高考数学n次独立重复试验及二项分布

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5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个
单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率 5
都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是___1_6____. 解析：因为质点移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右
移动2次，向上移动3次.
故其概率为C35123·122＝C35125＝156.
，则在吹东
风的条件下下雨的概率为
( B)
9
8
2
8
A.11
B.9
C.5
D.11
解析：设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份
下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的
8 概率P(B|A)＝330＝89.
10
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4.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为 __0_._7_5___. 解析：设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则 由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8， 得P(A|B)＝PPABB＝PPAB＝00..68＝0.75.
人使用设备的概率P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概 率P＝0.25＋0.06＝0.31.
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(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选 手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮. 假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的 回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下 一轮的概率为__0_._1_2_8__. [解析] 依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均 回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝ 1×0.2×0.82＝0.128.
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(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到 红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝14×2114＋2114×14 ＝4118. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为4118.
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[变式发散] 1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问
题就晋级下一轮的概率为0_._0_4_6_0_8__. 解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个 问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错 误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝ 0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.
(5)一般地，如果事件 A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立， 那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).
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3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验
称为n次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进 行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结 果，即事件要么发生，要么不发生.
2.设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)＝
5
3
5
A.16
B.16
C.8
( A) 3 D.8
解析：因为X～B6，12，由二项分布可得， P(X＝3)＝C36123·1－123＝156.
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3.根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为
3 10
，
下雨的概率为
11 30
，既吹东风又下雨的概率为
8 30
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[解题技法] 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和. (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知 (易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的积公式求解.
[过关训练]
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1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲
2.相互独立事件
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(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影
响，则称事件A，B是相互独立事件.
(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.
(3)若A与B相互独立，则A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互独立.
(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).
[解析] 设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，
C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3
人使用设备的概率P1＝P( A BCD＋A B CD＋AB C D＋ABC D )
＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋
0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4
且A，B相互独立.依题意，P(A)＝1－
1 3
＝
2 3
，P(B)＝1－
1 4
＝
3 4
，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×34＝12.
又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件
为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－
P(AB)＝1－12＝12.
2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互 返回
P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13
×14＝2114，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14
＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝214. 所以随机变量X的分布列为
X0 1 2 3
P
1 4
11 24
1 4
1 24
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(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发
生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事
件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C
k n
pk(1－p)n－k，k＝
0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～
B(n，p)，并称p为成功概率.
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)
1 2
，两次闭
合后都出现红灯的概率为
1 5
，则开关在第一次闭合后出现红 2
灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为____5____.
解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关
第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都
出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的
条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)
[解析] (2)P(A)＝C23C＋25C22＝140＝25，P(AB)＝CC2225＝110，由条件概
1 率公式，得P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
5
[解题技法]
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条件概率的3种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PPAAB求P(B|A) 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事
[解析] P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的
概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相
同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝
91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有
C
1 3
×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝
60 91
.P(B|A)的含义是在事件
同学选做《不等式选讲》的概》的概率为
1 4
，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这
次模拟考试中1甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》 的概率为____2__.
解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选
讲》”为事件A，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B，
＝PPAAB＝25.
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2.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取
2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题 1
的概率为___2_____.
解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科
3×2
题为事件B，则P(B|A)＝PPAAB＝
A25 3
＝12.
5
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道
基本 件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数 事件法 n(AB)，得P(B|A)＝nnAAB
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情 缩样法 况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能
化繁为简
[过关训练]
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1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯
闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为
独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变 量X的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红 灯的概率.
解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，
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21年高考数学n次独立重复 试验及二项分布
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
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1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A
发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PPAAB(P(A)＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(B|A)≤1； ②可加性：如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 条件概率 [师生共研过关]
[典例精析]
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(1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个
点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率
60
1
P(A|B)＝____9_1_____，P(B|A)＝___2_____.
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考点三 独立重复试验与二项分布 [师生共研过关]
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[典例精析] 九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮 熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节 虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相
同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数
都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝12.
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(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数
之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则 1
P(B|A)＝____4____.
文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题
的概率为12.
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考点二 相互独立事件的概率 [师生共研过关]
[典例精析]
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(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率
分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同 一工作日至少3人需使用设备的概率为__0_._3_1___.
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2.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题 (5个问题必须全部回答)就结束的概率为__0_._1_0_4__. 解析：依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与 错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或 A A A A 两类 情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2 ＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错 误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所 求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所 以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.
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二、选填题
1.打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若
两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是 ( D )
3
3
12
14
A.5
B.4
C.25
D.25
解析：由题意知甲中靶的概率为
4 5
，乙中靶的概率为
7 10
，两
人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝45×170＝1245.
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表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)P(B).( × )
(2)相互独立事件就是互斥事件.
(× )
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C
k n
pk(1
－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立
重复试验中事件A发生的次数的概率分布.
(√)