九年级上册数学《二次函数》单元检测题(含答案)

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷
【考试时间:90分钟分数:120分】
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)、
1.下列函数1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示，给出以下结论:① ;② ;③ ;④ ，其中结论正确有()个．
A.2个B.3个C.4个D.5个
C.10D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线 自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【详解】∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3，
当x=3时，函数有最小值−4，
∵1≤x≤6，
∴当x=6时，函数的最大值为14，
∴最大值与最小值的和为−4+14=10.
故答案选C.
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值.
17.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为_________．
18.如图，利用一面墙(墙的长度不超过 )，用 长的篱笆围一个矩形场地，当 ________ 时，矩形场地的面积最大．
19.将一条长为20 cm 铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________.
14.已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论:① ;② ;③ ;④ ．正确的是________．
15.如图所示，有一根长 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积 与它的一边长 之间的函数关系式________．
16.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
3.已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，则它与 轴的另一个交点坐标是()
A.(1, 0)B.(-1, 0)C.(2, 0)D.(-2, 0)
4.如图，已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 ， ，则 的值可能为()
A. 1B. 3C. 5D. 7
5.已知二次函数 的图象过点 ， ， ．若点 ， ， 也在二次函数 的图象上，则下列结论正确的是()
【详解】①由图知:抛物线与x轴有两个不同的交点,则△=b2−4ac>0，
即b2>4ac，故①正确;
②抛物线开口向上，得:a>0;
抛物线的对称轴为x=− =1，b=−2a，故b<0;
抛物线交y轴于负半轴，得:c<0;
所以abc>0;故②正确;
③抛物线的对称轴为x=− =1，即b=−2a，
故2a+b=0，故③错误;
20.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m;那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
三、解答题(共6小题，每小题10分，共60分)
21.一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 米．如果隧道下部的宽度大于 米但不超过 米，求隧道横截面积 (平方米)关于上部半圆半径 (米)的函数解析式及函数的定义域．
如何定价才能使每星期 利润 (元)最大且每星期的销量较大？最大利润是多少？
26.如图 ，平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，且与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ， ， ．
该抛物线的解析式;
如图 ，点 是所求抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线 ， 分别交 轴于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，当 时，过点 作 ， 交 轴于点 ，连接 ，则 为何值时， 的面积取得最大值，并求出这个最大．
而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上，
∴h−0>10−h，解得h>5.
故答案选D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
5.已知二次函数 的图象过点 ， ， ．若点 ， ， 也在二次函数 的图象上，则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
A. B.
C.. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知:S△PEF= S平行四边形PEQF，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于y，x的函数关系式．
∴a≠0，△>0，
∴4−4a×1>0，
∴a<1，
故答案为a<1且a≠0.
故答案选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系与抛物线与坐标轴交点的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系与抛物线与坐标轴交点的性质.
8.已知二次函数 的图象如图所示，那么这个函数的解析式为()
A. B.
C. D.
如图 ， 中， ， ， ，直角边 在 轴上，且 与 重合，当 沿 轴从右向左以每秒 个单位长度的速度移动时，设 与 重叠部分的面积为 ，求当 时， 移动的时间 ．
答案与解析
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)、
1.下列函数中，是二次函数的有()
① ② ③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
④根据抛物线的对称轴方程可知:(−1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);
当x=−1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0;
故④正确;
所以这结论正确的有①②④.
故答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
3.已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，则它与 轴的另一个交点坐标是()
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知函数经过点(-1，0)，(3，0)，(0，-1)，根据待定系数法即可求得函数的解析式．
【详解】根据图象可知函数经过点(−1,0),(3,0),(0,−1),设二次函数的解析式是:y=ax2+bx+c.
根据题意得: .
解得:a= ,b=− ,c=−1.则函数的解析式是:y= x2− x−1.
如图，在 条件下，点 是 轴上一点，连 、 分别交抛物线于点 、 ，探究 与 的位置关系，并说明理由．
25.某商品的进价为 元/件，售价为 元/件，每星期可卖出 件，经调查发现:售价每涨 元(售价不能高于 元/件)，每星期少卖 件．设每件涨价 元( 为自然数)，每星期的销量为 件．
(1) 关于 的函数解析式为________;
A. B.
C. D.
9.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 ，则池底的最大面积是()
A. B. C. D.
10.如图所示，已知矩形 的边长 ， ，点 是 边上的一动点 不同于 、 ， 是 边上的任意一点，连接 、 ，过 作 交 于 ，作 交 于 ．设 的长为 ，则 的面积 关于 的函数关系式是()
22.已知二次函数 ．
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围;
(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
23.在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长 米)的空地上修建一个矩形花园 ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为 ，花园的面积为 ．
求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围;
满足条件的花园面积能达到 吗？若能，求出此时 的值，若不能，说明理由;
根据 中求得的函数关系式，判断当 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
24.已知如图，抛物线 经过点 、 ．
求 、 的值;
如图，点 与点 关于点 对称，过点 的直线交 轴于点 ，交抛物线于另一点 ．若 ，求 的值;
A.(1, 0)B.(-1, 0)C.(2, 0)D.(-2, 0)
【答案】D
【解析】
【分析】
先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出c值，再当y=0时，求出关于x的一元二次方程的解，就可以求出另一个交点坐标．
【详解】∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，
∴0=1+1+c，
∴c=−2，
【答案】B
【解析】
【分析】
先由A(1，2)，B(3，2)，C(5，7)，代入y=ax2+bx+c，得到二次函数得到二次函数的解析式，再比较y1、y2、y3的大小．
【详解】把A(1,2),B(3,2),C(5,7)代入y=ax2+bx+c得
，
解得 .
∴函数解析式为y= x2− x+ = (x−2)2+ .
∴当x>2时，y随x 增大而增大;
当x<2时，y随x的增大而减小;
根据对称性,K(8,y3)的对称点是(−4,y3);
所以y2<y1<y3.
故答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标的特征.
6.已知函数 的最大值与最小值的和为()
A.18B.0
【答案】D
【解析】
【分析】
先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a<0，0<h<10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h-0>10-h，然后解不等式后进行判断．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=h,
故答案选C.
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是根据待定系数法求二次函数的解析式.
9.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 ，则池底的最大面积是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．
【详解】设矩形的一边长为xm，则其邻边为(50−x)m，若面积为S，则
7.已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴有两个交点，那么a的取值范围是()
A.a＜1且a≠0B.a＞1且a≠2C.a≥1且a≠2D.a≤1且a≠0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，令y=0，得方程ax2-2x+1=0，有两个不同的根得△>0，从而解出a的范围．
【详解】∵抛物线y=ax2−2x+1与x轴有两个交点，
S=x(50−x)=−x2+50x=−(x−25)2+625，
∵−1<0，
∴S有最大值.
当x=25时，最大值为625.
故答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
10.如图所示，已知矩形 的边长 ， ，点 是 边上的一动点 不同于 、 ， 是 边上的任意一点，连接 、 ，过 作 交 于 ，作 交 于 ．设 的长为 ，则 的面积 关于 的函数关系式是()
【答案】C
【解析】
【分析】
把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①y=1− x2=− x2+1，是二次函数;
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数;
③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数;
④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案选C.
∴y=x2+x−2，
当y=0时，
x2+x−2=0，
解得x1=1,x2=−2.
故另一个交点坐标是(−2,0).
故答案选D.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的知识点.
4.如图，已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 ， ，则 的值可能为()
A.1B.3C.5D.7
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.
2.已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论:① ;② ;③ ;④ ，其中结论正确有()个．
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
A. B.
C.. D.
二、填空题(共10小题，每小题3分，共30分)
11.已知函数 在 上有最小值 ，则 的值________．
12.抛物线 在 轴上截得的线段的长度是________．
13.平面上，经过点 ， 的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式(不含字母系数):________(写成一般式)．
A. B. C. D.
6.已知函数 的最大值与最小值的和为()
A.18B.0
C.10D.无法确定
7.已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴有两个交点，那么a的取值范围是()
A. a＜1且a≠0B. a＞1且a≠2C. a≥1且a≠2D. a≤1且a≠0
8.已知二次函数 图象如图所示，那么这个函数的解析式为()