浙江省乐清市乐成公立寄宿学校2022年高考数学押题试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()
1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙
3．复数12i
2i
+=-（ ）． A ．i
B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
4．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近
线交于点O 及点3,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2
2
13
y x -=
B ．22
126x y -=
C ．2
213x y -=
D ．22
162
x y -=
5．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
6．若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
7．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )
A ．2
B ．2
C ．1
D ．3
8．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．3-
D ．2
9．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，其图象关于直线6
x π
=
对称，对满足()()122
f x f x -=的1x ，2x ，有12min
2
x x π
-=
，将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（） A ．()2,6
k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．()5,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()7,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
10．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A ．23
B ．21
C ．35
D ．32
11．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
.则集合()
U A B 等于（ ）
A ．(1,2)
B ．(2,3]
C ．(1,3)
D ．(2,3)
12．双曲线C ：22
15x y m
-=（0m >）
，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=
B ．250x =
C 520x y ±=
D 50x y ±=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的前n 项满足()3*
1232232n n a a a na C n N ++++
+=∈，则n a =______.
14．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若
290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为__________.
15．已知函数()2,4,x x m f x x x x m <⎧=⎨+≥⎩
，且p m ∀<，q m ∃>，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是______.
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为(3,0)F -，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点
为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB 的斜率为2
4
，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为
1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ，B ，C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望. 18．（12分）已知等差数列的前n 项和为
，且
，
．
求数列的通项公式； 求数列
的前n 项和
．
19．（12分）如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.
（1）求证：PB BC ⊥；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点.
20．（12分）已知直线l ：33x t
y t
=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．
（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的3
2
倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值． 21．（12分）设椭圆E:（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
22．（10分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[
)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表
（1）求图中实数
a 的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间[
)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求
X 的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
设
(,)b x y =，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】
设(,)b x y =，∴(1)a
b x y -=-，
b 是单位向量，∴22
1x y +=,
3a b -=，∴22(1))3x y -+=， 联立方程解得：1,22
x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩
当1,22
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯；∴,3a b π<>=
当1,0,
x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>=
=⨯；∴,3a b π
<>= 综上所述：,3
a b π
<>=.
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b 的两种情况. 2、A 【解析】
利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 3、A 【解析】
试题分析：
12(12)(2)242
2(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 4、C 【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点32A ⎛ ⎝⎭
代入可得b =，连接FA ，根据圆的性质可得
=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】
由双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>， 则渐近线方程：b
y x a
=±
， 3
3
b a ∴=
，
连接FA ，则23333
FA
c b AO a -===，解得2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 5、A 【解析】
选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x
y =的单调性即可求解.
【详解】
因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,
因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2x
y =在R 上单调递增,
所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 6、D 【解析】
画出可行域,将2z x y =+化为122z
y x =-+,通过平移12
y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】
解:由约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
作出可行域如图,
化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122
z
y x =-+.由图可知 当直线122
z
y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移
y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
7、C 【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】
因为(1)1i z i +⋅=-,
所以()()()
2
11111i i
z i i i i --==
=-++⋅-,
由复数模的定义知,1z ==.
故选:C 【点睛】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 8、A 【解析】
根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】
a 在
b 上的投影为
6
cos 23a b a b
θ⋅-===-. 故选:A 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题. 9、B 【解析】
根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得
()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区
间. 【详解】
解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，其图像关于直线6
x π
=
对称，
对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min
1222x x π
πω
-=
=⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6
x π
=对称，可得26
2
k π
π
θπ⨯
+=+
，k ∈Z .
∴6
π
θ=
，∴()sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 将函数()f x 的图像向左平移
6π
个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝
⎭的图像.
令222k x k πππ≤≤+，求得2
k x k π
ππ≤≤+
，
则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡
⎤+⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ，
故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 10、B 【解析】
根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 11、A 【解析】 先算出集合U
A ，再与集合
B 求交集即可.
【详解】
因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U
A x x =<<，又因为{}|24{|2}x
B x x x =<=<.
所以(
){|12}U
A B x x ⋂=<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 12、B 【解析】
0=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求
出渐近线的方程. 【详解】
设左焦点为(),0c -
0=，由左焦点到渐近线的距离为2
2==，
所以渐近线方程为y =
20x =, 故选：B 【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1n + 【解析】
由已知写出用1n -代替n 的等式，两式相减后可得结论，同时要注意1a 的求解方法． 【详解】 ∵3
1232232n n a a a na C ++++
+=①，
∴2n ≥时，3
1231123(1)2n n a a a n a C -++++
+-=②，
①－②得332
2112()2(1)n n n n na C C C n n +++=-==+，
∴1n a n =+，
又3
1322a C ==，
∴1n a n =+（*n N ∈）． 故答案为：1n +． 【点睛】
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知n S 求n a 的解题方法求解．
14
、
2
【解析】
设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，根据勾股定理得出3x d =，而由椭圆的定义得出2ABF 的周长为4a ，
有3a d =，便可求出a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】
解：由已知，2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列， 设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，
而290ABF ∠=︒，根据勾股定理有：()()22
22x x d x d ++=+， 解得：3x d =，
由椭圆定义知：2ABF 的周长为4a ，有3a d =，21BF a BF ==，
在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，即：2
21
2
c a =，
∴离心率22
2
2
c e a ==. 故答案为：
22
.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力. 15、(],0-∞ 【解析】
根据条件转化为函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集；分别求值域即可得到结论. 【详解】
解：依题意，()()f q f p =-，
即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集.
因为()y f x =在[
),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2
4,m m ⎡⎤++∞⎣⎦（2m >-）
， ()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，
故2
4m m ≤-⎧⎨
-≥-⎩或2
24m m m m
>-⎧⎨-≥+⎩， 解得0m ≤ 故答案为：(],0-∞. 【点睛】
本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 16
、
【解析】
设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=可得到A 点坐标所满足的方程，
结合直线斜率可求得22
00,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心
率. 【详解】
左焦点为()
F ，∴
双曲线的半焦距c =
．
设()00,A x y ，()00,B x y --
，02y H ⎫⎪⎪⎝⎭∴
，02y K ⎫
-⎪⎪⎝⎭
， 2HK OG =，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=，22
003044
x y -∴-=，即22
003x y +=，
又直线AB
，即004y x =，2083x ∴=，2
013y =，
AB ∴==
A 在双曲线上，22
00
22
1x y a b
∴-=，即2281133a b -=， 结合2223c a b =+=
可解得：a =1b =，∴离心率62
c
e
a .
故答案为：2
【点睛】
本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）
16
81
；（2）①可能是2件；②详见解析 【解析】
（1）由一件手工艺品质量为B 级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D 级的概率为
727
，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，可知7
(10,)7~2B ξ，分别令
(1)1()
P k P k ξξ=+==、
(1)1()P k P k ξξ=+>=、(1)
1()P k P k ξξ=+<=，可求出使得()P k ξ=最大的整数k ，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A 、B 、C 、D 级的概率，进而可列出X 的分布列，求出期望即可. 【详解】
（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为1
22311116C (1)(1)33381
⨯⨯-⨯-=.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为223
3331117C ()(1)C ()33327
⨯⨯-+⨯=，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7
(10,
)7
~2B ξ， 则1010720()C (
)()2727
k
k k
P k ξ-==，其中0,1,2,,10k =，
119101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()
2727
k k k k
k k P k k P k k ξξ++--=+-===+.
由70712020k k -=+得5027k =，整数k 不存在，
由70712020k k ->+得50
27
k <，所以当1k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+>=，即(2)(1)(0)P P P ξξξ=>=>=，
由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681
，
一件手工艺品质量为C 级的概率为121
2321111120C (1)[C (1)()]3333381
⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，
一件手工艺品质量为D 级的概率为
727
，
所以X的分布列为：
X 900 600 300 100
P 8
27
16
81
20
81
7
27
则期望为
81620713100 ()900600300100
2781812727
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
先设出数列的公差为d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果．
利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】
解：设公差为d的等差数列的前n项和为，
且，．
则有：，
解得：，，
所以：
由于：，
所以：，
则：，
则：，
．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】
（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；
（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明 【详解】
证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥.
（2）因为平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC . 因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，
所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题. 20、（1）1AB =；（2236
-． 【解析】
(1)将直线l 和曲线1C 化为普通方程，联立直线l 和曲线1C ，可得交点坐标，可得AB 的值；
（2）可得曲线2C 的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案. 【详解】
解：（1）直线l
的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程22
1x y +=．
联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A
，1,2B ⎛ ⎝⎭
，则1AB =． （2）曲线2C
的参数方程为1
2
x cos y sin θ
θ
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P
的坐标为1cos ,sin 22θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而点P 到直线l
的距离是
π24d θ⎤⎛
⎫=
=
-+ ⎪⎥⎝
⎭⎦， 由此当πsin 14θ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭时，d
取得最小值，且最小值为
4
． 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.
21、（1）221
84
x y +=（2）22
83x y += 【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:22
221x y a b +=（a,b>0）过M （2
），
,1)两点,
所以2222421{611a b a b +=+=解得2211
8{114
a b =
=所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22
184x y +=
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程
为y kx m =+解方程组2
2
{184
y kx m
x y =++=得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>
122
2122412{2812km x x k m x x k +=-
+-=
+，
2222222
2
2
1212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++ 要使OA OB ⊥,需使
,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以22
3880m k --=,所以223808
m k -=≥又22840k m -+>,
所以222{38m m >≥,所以2
83m ≥,即263m ≥或263
m ≤-
, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为2
1m r k =
+,2
22
228
381318
m m r m k
===-++,26
3
r =
, 所求的圆为22
83x y +=
,此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263
m ≤-, 而当切线的斜率不存在时切线为26
3
x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为
或2626
(33
-
±满足OA OB ⊥,
综上, 存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥． 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性． 22、（1）0.080a =（2）详见解析 【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出a 值； （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,236
.，选2件产品，支付的费用X 的所有取值为240，
300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】
解：（1）据题意，得0.00850.032550.02450.03650.02051a ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯= 所以0.080a =
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,236
. 随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.
()111
2406636P X ==⨯=
()1
2111300369P X C ==⨯⨯=
()1
211115360263318P X C ==⨯⨯+⨯=
()1
2111420233P X C ==⨯⨯=
()111
480224
P X ==⨯=
随机变量X 的分布列为
所以()11511
2403003604204804003691834
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．。