二重积分的概念与性质-PPT

30/24
D3 D1
D2

由二重积分积分区域的可加性得

.

D

D1

D2

D3

31/24
2.【二重积分公式推导】
(1) 若积分区域为X－型域： a x b, 1(x) y 2(x).
且设 f (x, y) 0
则 f (x, y)d 的值等于以D 为底，以曲面
D
z f (x, y) 为曲顶的曲顶柱体的体积．
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

I1 yx3 d ,
D
的大小顺序为 ( D )

I3

y

1 2

x3

d

D

提示

( A) I1 I2 I3; (C) I3 I2 I1 ;

(B) I2 I1 I3 ; (D) I3 I1 I2 .

区域D相同，则比较被积函数的大小
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题

27/24
复习与回顾

n

(1)二重积分

D

f (x, y)d

lim 0 i1

f (i ,i )i

(2)回顾一元函数定积分的应用

平行截面面积为已知的立体的体积的求法

在点x处的平行截面的面积为: A(x)

oa

A(x)
x x dx

体积元素 dV A(x)dx

体积为
bx

b
V a A(x)dx

28/24
一、利用直角坐标系计算二重积分

1. [预备知识]
(1)［X－型域］

a x b, 1(x) y 2(x).

y 2(x)
D

y 1( x)

a

b

y 2(x)
D
y 1( x)

a

b

其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
[X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
1/24
第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题

2/24

复习和总结

定积分

b
a

f



x

dx

（1）定积分是用来解决哪一类问题？

答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间

（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？

D

D

的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为

(1,0),(1,1), (2,0).

课后习题

解 在 D 内有 1 x y 2 e,

y

故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,

1

x y2

D

o

12x

x y1

因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .

1



D

f

(x, y)d



f

( ,)

变形后

【得证】

例1 比较下列积分的大小:

(x y)2 d , (x y)3 d

D

D

其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2

解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周

17/24
作业题、课后习题
y

1

D

o 1 2 3x x y 1

它与x 轴交于点(1,0) ,

而区域D位
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积

16/24
以下仅证性质7（中值定理）

证明

f (x, y)是有界闭域 D上的连续函数

必有最大、最小值 M、m

由估值性质得
由于 0

m f (x, y)d M

m



1


D

D

f

(x, y)d



M

据有界闭域上的连续函数的介值定理

在D上至少存在一点 ( ,), 使得

积分类型 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分

4/24
一、问题的提出——引例
1．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 【特点】平顶.

z f (x, y)

柱体体积=？

【特点】曲顶.

Dபைடு நூலகம்

D

5/24
给定曲顶柱体: 底：xoy 面上的闭区域D
D
顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积. 解法 类似定积分解决问题的思想:
y
(i ,i )
•
i

(i ,i )

i

7/24
2．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点
( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，
平面薄片的质量为多少？

分 =常数时，质量= · ，其中 为面积. 若析为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.

29/24
(2)［Y－型域］ c y d, 1( y) x 2 ( y).

d
x 1( y) D x 2( y)
c

d
x 1( y)
c

D
x 2( y)

[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.

(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
从而二重积分都是存在的.

(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)

3.【二重积分的几何意义】

11/24
体

1)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体的体积.

积 的

D
2)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
“分割, 取近似, 求和, 取极限”

步骤如下

z

①分割：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，

②取近似、 ③求和：用若干

个小平顶柱体体积之和近似 o

表示曲顶柱体的体积，

④取极限：

x

D

得曲顶柱体的体积

n

V

lim 0 i1

f (i ,i ) i .

f (i , i )

6/24
z f (x, y)

性质1

kf (x, y)d k f (x, y)d .

D

D

性质2 线性性质

[ f (x, y) g(x, y)]d
D

f (x, y)d g(x, y)d .

D

D

逐项积分

[kf (x, y) mg(x, y)]d k f (x, y)d m g(x, y)d

D

D

D

线性性质可以推广至有限个函数的情形。

代 数

D
3)若 f ( x, y) 1 , 1 d 表区域D的面积.

z

和

a

D

几个特殊结果 (1) kd k ；

D

(2)

a2 x2 y2d 2 π a3 ；

x2 y2a2

3

y
a
x x2 y2 a2
z

(3)

(1 x y)d 1 .

x y1,x0, y0

6

1 z 1 x y

4.【物理意义】 ( x, y)d 在物理上表示 x 1 D

1y

D

面密度为f (x, y)占有平面区域D的平面薄片的质量

12/24
[注] 1. 重积分与定积分的区别：
重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.

2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系 下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D

即 x 常数 , y 常数

y

则直角坐标系下面积元素为 d dxdy

方法 根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积 为已知的立体的体积”的方法来求.

x0 [a,b]

作平面 x x0

x0 [a,b]

作平面 x x0

32/24

z yy22((xx))

z

yy

zzff((xx, ,yy) )

⑴分割：将薄片分割成若干小块， y

⑵近似：取典型小块，将其近似

(i ,i )

•
看作均匀薄片，

⑶求和：所有小块质量之和

i

近似等于薄片总质量

o

x

n

⑷ 取极限：得薄片总质量

M



lim
0

i 1

( i

,i

) i

.

8/24

两个问题的共性：

(1) 解决问题的步骤相同

“分割, 取近似, 求和, 取极限”

(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:

D

D

15/24
性质6 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f (x, y)d M
D
二重积分估值不等式
性质7 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得
f (x, y)d f ( ,)

于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y)2 ( x y)3

(x y)2 d (x y)3 d

D

D

解Ⅱ 见作业答案解法或有关习题解答

18/24

例2 不作计算，估计 I e(x2y2 )d 的值，

D

其中

D

是椭圆闭区域：

x a

2 2



y2 b2

1

(0 b a).

D

D1

(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 I f ( x, y)d 0

D

22/24
y
D1
oD x

当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.

2. 若D关于原点对称,
(1) f ( x, y) f ( x, y), I 0

(2) f ( x, y) f ( x, y), I 2 2

14/24
性质3 对区域具有可加性

f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d.

D

D1

D2

性质4 若 为D的面积， 1 d d .

D

D

性质5 若在D上 f (x, y) g(x, y), 比较性质

特殊地

则有 f (x, y)d g(x, y)d .

D

D

f (x, y)d f (x, y) d.

解 区域 D 的面积 abπ

在D上 0 x2 y2 a2,

1 e0 ex2 y2 ea2 ,
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D

19/24

例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d

D1

D2

D2为y轴右方的部分

23/24

[例如]

在第一象限部分, 则有

2 ( x2 y2 )dxdy ；
D上
4 ( x2 y2 )dxdy ；
D1

y

D1

o

x

(2) ( x y)dxdy xdxdy ydxdy 0

D

D

D

说明

利用对称性简化运算时要特别考虑两方面 ①被积函数的奇偶性 ②积分区域的对称性

D

故二重积分可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy o

x

D

D

引例1中曲顶柱体体积:

V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:

M D ( x, y)d D ( x, y)d x d y

13/24
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）

D

D

20/24

练

机动

1. 习比较下列积分值的大小关系:

I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy

x y 1

1 x1 1 y1

[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y

1

解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知

o

1x

I2 I1 I3

21/24

积分和

积分表达式

x, y称为积分变量

积分域

被积函数

面积元素

2.【对二重积分定义的说明】

10/24

(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0

的取法无关

(2)存在条件（充分条件）
当 f ( x, y)在有界闭区域上连续时，定义中和式的极
限必存在，即二重积分必存在. 以后总假定 f ( x, y)在所论有界闭域 D上连续

四、小结

24/24

二重积分的定义 （积分和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（7条）

[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.

25/24

26/24
§10.2 二重积分的计算法（一）

n

V

lim 0

i 1

f (i , i ) i

平面薄片的质量:

n

M



lim
0

i 1

(i , i ) i

9/24
二、二重积分的定义及可积性

1.定义 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,

将区域 D 任意分成 n 个小区域

任取一点

若存在一个常数 I , 使

记作

则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.

因 0 < y <1, 故

y2



y



1
y2

;

y 1

又因 x3 0, 故在D上有

D

y

1 2

x3



y x3



y2x3

ox

[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性

1. 设函数

在闭区域D上连续, D关于x 轴对称,

D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上

(1) f ( x , y) f ( x, y),则 I f ( x, y)d 2 f ( x, y)d

答： “分割,取近似,求和, 取极限”

b f xdx lim n

a

d 0 k1

f k xk

（3）如何计算定积分？

3/24
问题:
现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题

所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关

推广

被积函数 二元函数 三元函数

积分范围 平面区域 空间区域 一段曲线 一片曲面