高等数学ch11_3_111.3.2 电子教案
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(2) 与对路D 径中A无任B 关一Pd,分只x段与光Q起滑d止曲y点线有 L关,AB曲.Pd线x积 Q分d y L Pdx Qd y
证明 (2) (3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ),
因曲线积分与路径无关,有函数
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y)
( x, y) D Q(x, y)dy
,
则原函数为
y y
( x0 , y0 )
x
y
或
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y
u (x, y) y0 Q(x0 , y)dy
y0
x
O
P(x, y)dx
x0
x0
xx
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,
y
xdy ydx l x2 y2
lL
O
x
xdy ydx Ll x2 y2
0 d xdy 0
D1
D1
2π 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,
它与L 所围区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
d
x
y
L
8 π 64 3
D
O
Ax
例5. 验证
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 )
域 D 边界L 的正向:
L
域的内部靠左
D
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
D
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)d y
Q(x, y)d y
CBE
EAC
即 同理可证
① ②
①、②两式相加得:
D
Q x
P y
d xd y
L Pdx Qdy
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 .
例6. 验证
xd y ydx x2 y2
在右半平面 ( x > 0 )
内存在原函数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x x2 y2
O
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
(x 0)
(1,0)
由定理 2 可知存在原函数
( x,0 ) x
0
x
y dy 0 x2 y2
或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0 ) x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Qdy 与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy
(4) 在 D 内每一点都有 P Q .
P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L Pd x
Qd
y
D (
Q x
Q x
)d xd y
0
证毕
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qd y 0.
说明:根据定理2 , 若在某区域D内 P Q ,则
则对D内任一分段光滑曲 线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)d y
D
B
B A
P(
x,
y)
d
x
Q(
x,
y)d
y
A
B
B
d u u u(B) u( A)
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式
它类似于微积分基本公式:
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
x
y
P, Q
(3)
在
D
内具有在连D 续内是的某偏一导函数数,
从而(在4) D在即内D每内一每d一点u点(都x都,有y有) PPydPyx
QQ d y xQ .
x
的全微分,
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为
D D (如图) , 因此在 D上
y)
L
Pdx Qd y
P(x , y)
同理(3)可即证
u yd
u在(xQ,Dy()x内,是yP)某d, x一因函Q此数d有y
的全微分,
du P dx Qdy
证明 (3) (4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du P dx Qdy
则 u P(x, y), u Q(x, y)
y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点
u ( x, y)
( x0
,
(
y0 ) D 及动点
x, y)
P(x, y)dx
A(x0 , y0 )
( xx , y)
( xx , y)
Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x
(2)
与对ux路D径中lxi无任m关一0 ,分x只xu段与光起滑止曲点lxi线m有0L关P, (曲.x 线积分x,
是某个函数的
全微分, 并求出这个函数.
证:
设
P xy2,
Q x2 y, 则
P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
(x, y)
0 y x2 y d y 0
y x2 y dy 0
(0,0)
( x,0)
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
d
x
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd
y
y
dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π)
所围面积
1 2π
2 0
(ab cos2
absin2
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
y
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则 B(0,1) D
A(1,1)
yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 d y D
x e y2 d y 1 ye y2 d y
OA
0
1 (1 e1) 2
例3. 计算
其中L为一无重点且
) d
π ab
例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
D
Q x
P y
d xd y
L
Pdx
Qd y
(
格林公式
)
证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1
(
x) a
y x
2
b
(
x)
y d
E
AD B
c
C
Oa
bx
则
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Q dx
不过原点的分段光滑正向闭曲线.
解: 令
则当x2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,
由格林公式知
y L
Ox
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2 ,
取逆时针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1
, 对区域 D1 应用格林公式 , 得
y x
证明 (1) (2) 设 L1, L2
为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1)) A
L1
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭曲关线时L, 曲, 有线积L分Pd可x 记Q为dy 0.
证明 (2) (3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ),
因曲线积分与路径无关,有函数
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y)
( x, y) D Q(x, y)dy
,
则原函数为
y y
( x0 , y0 )
x
y
或
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y
u (x, y) y0 Q(x0 , y)dy
y0
x
O
P(x, y)dx
x0
x0
xx
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,
y
xdy ydx l x2 y2
lL
O
x
xdy ydx Ll x2 y2
0 d xdy 0
D1
D1
2π 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,
它与L 所围区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
d
x
y
L
8 π 64 3
D
O
Ax
例5. 验证
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 )
域 D 边界L 的正向:
L
域的内部靠左
D
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
D
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)d y
Q(x, y)d y
CBE
EAC
即 同理可证
① ②
①、②两式相加得:
D
Q x
P y
d xd y
L Pdx Qdy
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 .
例6. 验证
xd y ydx x2 y2
在右半平面 ( x > 0 )
内存在原函数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x x2 y2
O
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
(x 0)
(1,0)
由定理 2 可知存在原函数
( x,0 ) x
0
x
y dy 0 x2 y2
或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0 ) x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Qdy 与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy
(4) 在 D 内每一点都有 P Q .
P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L Pd x
Qd
y
D (
Q x
Q x
)d xd y
0
证毕
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qd y 0.
说明:根据定理2 , 若在某区域D内 P Q ,则
则对D内任一分段光滑曲 线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)d y
D
B
B A
P(
x,
y)
d
x
Q(
x,
y)d
y
A
B
B
d u u u(B) u( A)
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式
它类似于微积分基本公式:
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
x
y
P, Q
(3)
在
D
内具有在连D 续内是的某偏一导函数数,
从而(在4) D在即内D每内一每d一点u点(都x都,有y有) PPydPyx
QQ d y xQ .
x
的全微分,
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为
D D (如图) , 因此在 D上
y)
L
Pdx Qd y
P(x , y)
同理(3)可即证
u yd
u在(xQ,Dy()x内,是yP)某d, x一因函Q此数d有y
的全微分,
du P dx Qdy
证明 (3) (4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du P dx Qdy
则 u P(x, y), u Q(x, y)
y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点
u ( x, y)
( x0
,
(
y0 ) D 及动点
x, y)
P(x, y)dx
A(x0 , y0 )
( xx , y)
( xx , y)
Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x
(2)
与对ux路D径中lxi无任m关一0 ,分x只xu段与光起滑止曲点lxi线m有0L关P, (曲.x 线积分x,
是某个函数的
全微分, 并求出这个函数.
证:
设
P xy2,
Q x2 y, 则
P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
(x, y)
0 y x2 y d y 0
y x2 y dy 0
(0,0)
( x,0)
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
d
x
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd
y
y
dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π)
所围面积
1 2π
2 0
(ab cos2
absin2
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
y
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则 B(0,1) D
A(1,1)
yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 d y D
x e y2 d y 1 ye y2 d y
OA
0
1 (1 e1) 2
例3. 计算
其中L为一无重点且
) d
π ab
例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
D
Q x
P y
d xd y
L
Pdx
Qd y
(
格林公式
)
证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1
(
x) a
y x
2
b
(
x)
y d
E
AD B
c
C
Oa
bx
则
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Q dx
不过原点的分段光滑正向闭曲线.
解: 令
则当x2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,
由格林公式知
y L
Ox
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2 ,
取逆时针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1
, 对区域 D1 应用格林公式 , 得
y x
证明 (1) (2) 设 L1, L2
为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1)) A
L1
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭曲关线时L, 曲, 有线积L分Pd可x 记Q为dy 0.