§一 平面直角坐标系

x′＝ λx（ λ>0）， 其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．
( A )
解析 直线 6x－3y＋5＝0 可变为 2(3x)－3y＋5＝0，即令 x 1 ＝ x′，y＝y′ 所以 x′＝3x，y′＝y. 3
3．若长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动， 若AC＝2CB，则点 C 的轨迹是
→
→
(
C
)
A．线段
பைடு நூலகம்
B．圆
C．椭圆
解析
D．双曲线
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平 面直角坐标系中任意一点，在变换
x′＝ λx（ λ>0）， φ： y′＝ μy（μ>0）
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 坐标伸缩 变换，简称_____ 伸缩 变换. 直角坐标系中的___________
设 C(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则 a2＋b2＝9，①
又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， a＝3x， 即 ② 3 b＝ y， 2
2 y 代入①式整理可得 x2＋ ＝1. 4
→
→
4．曲线x2＋4y2＝16向着y轴进行伸缩变换，伸缩系数k＝2，
2＋y2＝16 x 则变换后的曲线方程为____________．
规律方法
建立坐标系的几个基本原则：
(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；
(2)对称中心一般放在原点； (3)对称轴一般作为坐标轴．
练习1 程． 解
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方 如图所示，
设动圆M与圆C1及圆C2分别外
一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，
几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代 数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方 法应用于几何学的研究．
2．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法 (1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学 习中可结合坐标间的对应关系进行理解． (2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标， 区别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，
在直线为坐标轴建立直角坐标系；
是中心对称图形的，一般以对称中心为原点，经过中心的某 边为坐标轴(通常为横轴)建立直角坐标系； 是轴对称图形的，可以以对称轴所在直线为纵轴，建立直角 坐标系．
2．怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝sin 2x? 答案 曲线y＝sin x上各点保持纵坐标不变，将横坐标缩 为原来的一半． 3．怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin x?
(
)
A
解
向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数为k，
∴伸缩变换x′＝kx，y′＝y，故答案为A.
2．直线6x－3y＋5＝0经过伸缩变换后的方程是2x－3y＋5＝0， 则这个伸缩变换是
A．按伸缩系数为 3 向着 x 轴的伸缩变换 B．按伸缩系数为 3 向着 y 轴的伸缩变换 1 C．按伸缩系数为 向着 x 轴的伸缩变换 3 1 D．按伸缩系数为 向着 y 轴的伸缩变换 3
答案
曲线y＝sin x上各点保持横坐标不变，将纵坐标伸
长为原来的3倍．
讲授新课
1．平面直角坐标系 坐标 有序实 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_____( 方程 建立联系，从而实现数与形的结合． 数对)、曲线与_____ 坐标系 ， (2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的_______
例2
已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
证明 以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直 法一 角坐标系 xOy，则 A(0，0)，设 B(a，0)，C(b，c)， a＋ b c 则 D ， ， 2 2 所以|AD|2＋|BD|2 （a＋b）2 c2 （a－b）2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2 ＝2(|AD|2＋|BD|2)．
建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形
的关系． (3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何 问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数
问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸 坐标 伸缩变换，这就是用_____ 代数 方法 缩变换就可归结为_____ 研究几何变换．
切于点A和B，根据两圆外切的 条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2.
这表明动点 M 与两定点 C2、 C1 的距离的差是常数 2.根据双曲 线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离 大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8，设点 M 的 2 y 坐标为(x， y)，其轨迹方程为 x2－ ＝1(x<0)． 8
点(x′，y′)在变换后的曲线上，
因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标 适合变换后的曲线方程.
高中数学新课标
选修 4-4
第一讲
坐标系
§一 平面直角坐标系
王亚老师制作
教学目标
1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法
的应用． 2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换． 3．能够建立适当的平面直角坐标系，运用解 析法解决数学问题．
问题引入 1．坐标系的建立是否适当，对解决问题产生的效果是不一样 的．根据不同的图形，我们应该怎样建立直角坐标系才恰 当呢？试举例说明． 答案 有直角的图形，通常选直角顶点为原点，两直角边所
跟踪演练 例3 3 (1)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图 1 x′＝2x， 形经过伸缩变换 后的图形． y′＝ 1y 3 ① 5x＋ 2y＝ 0；② x2＋ y2＝ 1.
x′＝ x， (2)伸缩变换的坐标表达式为 曲线 y′＝ 4y.
2 y ′ 椭圆 x′2＋ ＝ 1.求曲线 C 的方程． 16
x′＝ x， 把 y′＝ 4y
2 y ′ 代入 x′2＋ ＝1， 得 x2＋y2＝1.故曲线 C 的方程 16
为 x2＋y2＝1.
规律方法 1.对于图形的伸缩变换问题，需搞清新旧坐标，区 别 x，y 和 x′，y′. 2．平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换都是可逆变 换，可是，解题时仍需要注意三个方面：一是原来的点的坐标 (x，y)(或原曲线的方程 f(x，y)＝0)，二是变换后的点的坐标(x′， y′)(或变换后曲线的方程 f(x′，y′)＝0)， 三是伸缩变换关系式
建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x＋3＝0)．