华中师范大学大二理学专业线性代数考试试卷及参考答案1

华中师范大学线性代数考试试卷及参考答案1
一、单项选择题（5’）
1．设A、B为同阶方阵，则必有___。

A、|A+B|=|A|+|B|
B、AB=BA
C、(AB)T=A T B T
D、|AB|=|BA|
答案：D
2．设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有___。

A、ACB=E
B、CBA=E
C、BCA=E
D、BAC=E
答案：C
3．设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=___。

A、-16
B、-4
C、4
D、16
答案：A
4. 若A为方阵，则A+A T为___。

A、对称矩阵
B、反对称矩阵
答案：A
5. 设方阵A经若干次初等变换变成方阵B，则必成立___。

A、det(A)=det(B)
B、det(A)≠det(B)
C、若det(A)>0，则det(B)>0
D、若det(A)=0，则det(B)=0
答案：D
6.
答案：C
7.
答案：C
8.
答案：C
二、判断题（5’）
1.
答案：错误
2. 若A2=0，则A=0。

答案：错误
3. 若A2=A，则A=0，或A=E。

答案：错误
4. 若AB=AC，则B=C。

答案：错误
5. 向量组α1=(1,2,3),α2=(1,0,2)与向量组β1=(3,4,8),β2=(2,2,5), β3=(0,2,1)等价。

答案：正确
6. R3的子集合S={(x,y,z)|(x,y,z)∈R3,x+y+z=1}构成向量空间。

答案：错误
7. 若向量β可由α1,…,αm线性表出，则α1,…,αm, β线性相关。

答案：正确
8. 若存在不全为零的数k1,k2,…,k m，使k1α1+ k2α2+…+ k mαm≠0，则α1,…,αm线性无关。

答案：错误
9. 若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表出。

答案：错误
10. 若α1,…,αm线性无关，且有k1α1+ k2α2+…+ k mαm=0，则必有k1=…=k m=0。

答案：正确
填空题（5’）
1．设3阶矩阵A=122
43
311
t
-
-
，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______。

答案：-3
2．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为______。

答案：n-r
3．设α是齐次线性方程组Ax=0的解，而β是非齐次线性方程组Ax=b的解，则(32)
+
Aαβ=______。

答案：2b
计算题（20’）
1. 已知
112
012
1012
a
a
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
-
⎝⎭
A，求a的值，使得()
r=
A2。

答案：
1120001012
012012012
10121012000
a a
A a a a
a
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→-
⎪ ⎪ ⎪--
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当a=0时，()
r A=2。

解答题
1. 已知二次型f =2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 1。

(1)求出二次型f 的矩阵A 的特征值；
(2)写出二次型f 的标准形。

答案：
(1) 二次型f 的矩阵为011101110A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭
因为211||11(1)(2)11A E λλλλλλ
--=-=-+--, 所以A 的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=2。

(2) 二次型f 化为标准形为 222123
2f y y y =--+。