2014高考文科数学一轮复习专题二-指数函数课时作业9
高考一轮复习课时作业(人教版)：2-4指数与指数函数word版含答案
2-4指数与指数函数A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 (数形结合法)如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1＜x －2＜0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.答案 B4．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A.答案 A5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20D ．100解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，解得m ＝10. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法)由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －18．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分)9．(11分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围． 解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ， ①式化为2x ≥32，即34≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…) (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e －2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y ) ＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y )]－[e x －y ＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y ) ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， ② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝3. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x*2－x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，2－x (x ＞0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f (x )≤1. 答案 C2．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )．A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 解析 由f (x )＝2x 1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x，由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－11＋2x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，∴f(x)＞－12，当x→＋∞，11＋2x→0，∴f(x)＜12，∴－12＜f(x)＜12，∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安庆模拟)若f(x)＝a－x与g(x)＝a x－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.解析g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a－x上，∴1＝a a－2.∴a－2＝0，即a＝2.答案 24．(★)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.答案－1≤b≤1【点评】本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围.三、解答题(共22分)5．(10分)已知f(x)＝10x－10－x 10x＋10－x.(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f(x)是定义域内的增函数．(1)解∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明 法一 f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1.令x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0. 又∵102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0， 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)．所以f (x )是增函数． 法二 考虑复合函数的增减性． 由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1. ∵y 1＝10x 为增函数， ∴y 2＝102x ＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x ＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．6．(12分)若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．解 ∵函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y＝－12－12x－1的定义域为{x|x≠0}．(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x－1＞12或－12－12x－1＜－12.即函数的值域为{y|y＞12或y＜－12}．。
2014届高三文科数学复习专题二 函数课时作业6
课时作业(六)1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －1答案 D2．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.3．下列函数满足“对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时恒有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 条件即f (x )在(0，＋∞)为减函数，只有1x 符合条件．4．(2013·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ≥0，－x ＋2，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．[－3,0)D ．(－3,0)答案 D解析 作出f (x )图像如图．∵f (3－x 2)<f (2x )，∴⎩⎨⎧3－x 2>2x ，2x <0.解得－3<x <0.选D. 5．函数f (x )＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B解析 f (x )可由－1x 沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图．6．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(0,1)∪(1，2) C ．(1，2) D ．[2，＋∞)答案 C解析 当a >1且x 2－ax ＋12有最小值时，f (x )才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎨⎧a >1，Δ<0⇒1<a < 2.7．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有 ( ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b ) 答案 A解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A.8．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是 ( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 9．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.10．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.11．(2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a 2，∵函数f (x )的增区间是[3，＋∞)， ∴－a2＝3，即a ＝－6.12．(2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x －a，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.13．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 14．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．15．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图.16．在给出的下列4个条件中，①⎩⎨⎧0<a <1，x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1，x ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧a >1，x ∈(0，＋∞)能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．17．设函数f (x )＝2x ＋a ·2－x －1(a 为实数)．若a <0，用函数单调性定义证明：y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．解析 设任意实数x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )是增函数． 18．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1(x ≥0)，(a ＋2)e ax(x <0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．(0，＋∞)C ．[－2,0)D ．(－∞，－2)答案 A解析 若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧ a >0，a ＋2>0，a ＋2≤1，此不等式组无解；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎨⎧a <0，a ＋2>0，a ＋2≥1，解得－1≤a <0.综上，实数a 的取值范围是[－1,0)．2．f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是定义域上的单调函数，则a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 由题意知a >0，且f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是定义域上的单调增函数，因此⎩⎨⎧a >1，2a －1≤log a (2－1)＋3.故1<a ≤2. 3．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈________. 答案 (－1,0]解析 ∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1. ∴f (x )的增区间为(－1,1)． 又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， ∴⎩⎨⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)， ∴2m ＋1>m ，即m >－1. 综上，－1<m ≤0.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______．答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2，显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (－1，2－1) 解析画出f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎨⎧ 1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1, 2－1)． 6．判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性． 答案 a >0时，函数f (x )在(－1,1)上为减函数； a <0时，函数f (x )在(－1,1)上为增函数． 解析 方法一 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1). ∵(x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1)>0，∴a >0时，函数f (x )在(－1,1)上为减函数； a <0时，函数f (x )在(－1,1)上为增函数． 方法二 对f (x )求导，有f ′(x )＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2，∵x ∈(－1,1)，∴(x 2－1)2>0，x 2＋1>0.∴当a <0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1,1)上为增函数， 当a >0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1,1)上为减函数．7．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. 答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解析 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)．∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<4 3.故m的解集为{m|－1<m<4 3}．8．已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．答案(1)[0，＋∞)或[1，＋∞)(2)－1解析(1)若n<0，则n＝f(0)＝0，矛盾．若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1.所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m>0，即m>－2.令g′(x)＝1－1x＋m>0，得x>1－m.所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m 值为－1. 9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． 解析 (1)证明：方法一 设x 2>x 1>0，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．方法二 ∵f (x )＝1a －1x ，∴f ′(x )＝(1a －1x )′＝1x 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增， ∴f (12)＝12，f (2)＝2，∴a ＝25.。
高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数课时作业文(含解析)
第五节指数与指数函数_121.(0.027) — 3——7 + 29 2—(护—1)。
=()A. 45 B . 40 C.— 45 D . — 4025 110 59 2— 1= 3 — 49+ 3— 1 = — 45.故选 C.答案：C 2.已知全集 U = R, A = {x|y = ,：2x — 1}，则？iA =()A. [0 ,+s )B. (— a, 0)C. (0，+a )D. ( —a, 0]解析：集合A 即函数y = 2x— 1的定义域，由2x—1>0,求得x >0,即卩A = [0，+a ), 故?U A =( 一a, 0)，故选B.答案：B 3. （2013 •北京东城区模拟）在同一坐标系中，函数y = 2x与y = 2 %的图象之间的关系 是（）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y = x 对称1 x解析：因为y = 2 = 2—x,所以它与函数 y = 2x的图象关于y 轴对称.故选 A.答案：A27解析：原式=1 000 3— 724.答案：C已知函数y = 2x-a x（a 丰2）是奇函数，则函数 y = log a x 是（）解析：因为函数y = 2x- a x（a 工2）是奇函数，所以必有 2x-a x=-（2-x -a -x）,化简可得(2x-a x) 1 -2^ = 0，因为a z 2,所以2x-a — 0,所以必有1 - J x = 0,2 a 2 a1解得a = 2，故y = log a x = log 1x 是减函数.故选2 答案：B设函数 f(x) = a -|x|(a>0 且 1), f(2) = 4,2 1解析：因为f （2） = 4,即a -2= 4，所以a = 2，所以f （x ） 1），故选A.答案： A7.已知函数f(x) = a x+ a -x(a >0 且 a z 1)，且 f(1) = 3,解析： ••• f(1) 1=a + =a3, f(0) = 2,f(2)= 2 -二 a + a-2 z=(a + a 丫— 2= 7, ••• f(1)+ f(0) + f(2)= 12. 答案： 12&若x > 0, 13 13 , 1则(2x 4 + 32)(2x 4 - 32) - 4x —二(x - x2)=答案： -232f(0) + f(1) + f(2)的值是则 5. A . 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 增函数或减函数B.6. A. f( - 2)>f( - 1) B. f( - 1)>f( - 2) C. f(1)>f(2)D. f( - 2)>f(2)1 - l xl2=2|x|，所以 f( — 2)>f(—标是9. （2014 •徐州模拟）已知过点O的直线与函数y= 3的图象交于A, B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y= 9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐解析：设点A B 的横坐标分别为 x i , X 2，则点A 、B 的纵坐标为3x i , 3x 2,•••点 C(x i , 9x i )，且 BC//x 轴， 9x i = 3X 2,「. 2x i = X 2.匚3x i 3x 2小 将 2x i = X 2 代入—= ，得 x i = log 32.x i X 2答案：log 32a x- 110.已知函数 f(x) = (a>1). a + 1(1)判断函数的奇偶性； ⑵求该函数的值域；⑶证明：f(x)是R 上的增函数.—XXa 一 1 1 一 a解析：(1)解析：T 定义域为 R,且 f( — x) = -x= , x =— f(x)，二 f(x)a 十I I 十aXa 十 1 — 2 2 ⑵解析：f(X) = X 「= 1— v 存a 十1a 十12••，十 1>1,「. 0< x 丄 <2,即 f(x)的值域为(—1 , 1).a 十1 、十卄 r 厂ax 1 — 1 ax 2 — 12ax 1⑶证明：设 X1, X 2€R且 X1<X2,f(x 1)—f(X2)= a — 1 - ax 2+ 1= (ax 1+1)<0(分母大于零，且 ax 1<ax 2),••• f(x)是R 上的增函数.11. 已知函数f(x) = a ・2 x+ b ・3 %，其中常数a , b 满足ab ^ 0.(1) 若ab>0,判断函数f(x)的单调性； (2) 若ab<0,求f(x 十1)>f(x)时x 的取值范围.解析：⑴ 当a>0, b>0时，任意X 1, X 2^ R, X 1<X 2，贝U f(x 1) — f(x 2) = a(2x 1 — 2x 2)十 b(3x 1 — 3x 2). ■/ 2x 1<2x 2, a>0? a(2x 1 — 2x 2)<0 , 3x 1<3x 2, b>0? b(3x 1 — 3x 2)<0 ,• f(x 1) — f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数. 当a<0, b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数.•/ A B 在过点0的直线上,3x i 3x 2X i — X 2是奇函数.2ax 2(ax 2+ 1)(2) f(x 十1) —f(x) = a・2X十2b ^3 x>0.当a<0, b>0 时,3 x a2 >—2b，则x>log 1.5a2b；3 x a2 <-2b ，贝V x<l°g 1.5当 a>0, b<0 时, a2b -。
高考数学一轮复习方案 第9讲 指数函数、对数函数、幂函数课时作业 新人教B版
课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2 3．[2012·四川卷] 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.46．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B．(0，1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，1)8．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2C ．lg2D ．－lg29．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a>0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.15．(13分)已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，且函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说课时作业(九)【基础热身】 1．D [解析] f (x )＝32x是R 上的减函数，实数m ，n 满足f (m )>f (n )，故m <n .故选D. 2．B [解析] 由题知f (x )＝log a x ，∵点(a ，a )在其图象上，∴a ＝log a a ，即a a＝a 12，解得a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选B.3．C [解析] 由f (1)＝0可知选C.4.32 [解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.【能力提升】5．C [解析] 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x ，为减函数，y ＝lg x 为增函数，所以B ，D 都对；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．6． D [解析] y ＝x 13在－1≤x ≤1时，有－1≤y ≤1；y ＝12x ，在x ≤0时，有y ≥1，所以A ∩B ＝{1}．故选D.7．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22＝1，所以函数的值域为(－∞，1]，选C.8．D [解析] 当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f 1100＝lg 1100＝－2，ff 1100＝f (－2)．又y＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故f (－2)＝－f (2)＝－lg2.9．D [解析] x ＝ln π>lne ＝1，0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.10．(－∞，－1)∪(0，33) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 3a <13或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.11．[2，＋∞) [解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．12．(1，＋∞) [解析] 构造函数y ＝f (x )，y ＝－x ＋a ，当这两个函数的图象只有一个交点时，方程f (x )＋x －a ＝0只有一个实数根．如图，当a >1时，两个函数图象只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．13．①②④ [解析] 因为定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，所以①正确；因为g (x )＝x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，且y ＝lg x 为增函数，所以f (x )≥lg2，即②正确，而⑤不正确；因为g (x )＝|x |＋1|x |的递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)，所以f (x )在(－1，0)和(2，＋∞)上是增函数，即④正确，而③不正确．14．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即e －xa ＋a e －x ＝e xa ＋ae x 恒成立．整理，得(a 2－1)(e 2x－1)＝0对任意实数x 恒成立， 故a 2－1＝0.又a >0，所以a ＝1. (2)证明：由(1)知f (x )＝e x＋1ex .在(0，＋∞)上任意取x 1，x 2，设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1，由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0，1－e x 2＋x 1<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由f (x )＝2，得e x ＋1e x ＝2，即e 2x －2e x＋1＝0.所以e x＝1＝e 0.所以x ＝0. 故方程f (x )＝2的根为x ＝0.15．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0，1)(a >1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． 因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求． 【难点突破】16．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。
2014届高考数学一轮复习方案 第9讲 指数函数、对数函数、幂函数课时作业 新人教B版
课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2 3．[2012·四川卷] 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.46．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B．(0，1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，1)8．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2C ．lg2D ．－lg29．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝exa ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2.15．(13分)已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，且函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说课时作业(九)【基础热身】 1．D [解析] f (x )＝32x是R 上的减函数，实数m ，n 满足f (m )>f (n )，故m <n .故选D. 2．B [解析] 由题知f (x )＝log a x ，∵点(a ，a )在其图象上，∴a ＝log a a ，即a a＝a 12，解得a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选B.3．C [解析] 由f (1)＝0可知选C.4.32 [解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.【能力提升】5．C [解析] 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x ，为减函数，y ＝lg x 为增函数，所以B ，D 都对；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．6． D [解析] y ＝x 13在－1≤x ≤1时，有－1≤y ≤1；y ＝12x ，在x ≤0时，有y ≥1，所以A ∩B ＝{1}．故选D.7．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22＝1，所以函数的值域为(－∞，1]，选C.8．D [解析] 当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f 1100＝lg 1100＝－2，ff 1100＝f (－2)．又y＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故f (－2)＝－f (2)＝－lg2.9．D [解析] x ＝ln π>lne ＝1，0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.10．(－∞，－1)∪(0，33) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 3a <13或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.11．[2，＋∞) [解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．12．(1，＋∞) [解析] 构造函数y ＝f (x )，y ＝－x ＋a ，当这两个函数的图象只有一个交点时，方程f (x )＋x －a ＝0只有一个实数根．如图，当a >1时，两个函数图象只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．13．①②④ [解析] 因为定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，所以①正确；因为g (x )＝x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，且y ＝lg x 为增函数，所以f (x )≥lg2，即②正确，而⑤不正确；因为g (x )＝|x |＋1|x |的递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)，所以f (x )在(－1，0)和(2，＋∞)上是增函数，即④正确，而③不正确．14．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即e －xa ＋a e －x ＝e xa ＋ae x 恒成立．整理，得(a 2－1)(e 2x－1)＝0对任意实数x 恒成立， 故a 2－1＝0.又a >0，所以a ＝1. (2)证明：由(1)知f (x )＝e x＋1ex .在(0，＋∞)上任意取x 1，x 2，设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1，由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0，1－e x 2＋x 1<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由f (x )＝2，得e x ＋1e x ＝2，即e 2x －2e x＋1＝0.所以e x＝1＝e 0.所以x ＝0. 故方程f (x )＝2的根为x ＝0.15．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0，1)(a >1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． 因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求． 【难点突破】16．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。
高考数学一轮总复习 第二章 函数 第9讲 指数与指数函数课件
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指数函数的性质及应用 例 3 (1)已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x ＞0 时，1＜bx＜ax，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
[解析] ∵x＞0 时，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0 时，bx＜ax，∴x＞0 时，bax＞1. ∴ba＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选 C.
(3)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究．
12/13/2021
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指数幂的运算
例 1 求值与化简：
2 1 1 1 1 5
(1)
2a
3b
2
6a
2
b
3
3a
6
b
6
；
(2)(1.5)
－
2
当 0<a<1 时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12
≤a<1；当 a＝1 时，y＝12x2 与 y＝1 在[1，2]上有交点
( 122/，13/[12答0)2，1案满] B足条件．综上第可十八页知，共四十，七页。a∈12，
2.
(3)( 多 选 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ |2x － 1| ， a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
m
意义相仿，我们规定 a n ＝
1
m
an
(a>0，m，n∈N*，且
n>1).0 的正分数指数幂等于_0___；0 的负分数指数幂
__没__有__(m_é_i y_ǒ_u)_意_．义
高考数学一轮复习课时作业7指数函数
课时提升作业(七)指数函数(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013·北京高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y轴对称,则f(x)=( )A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【思路点拨】把上述变换过程逆过来,求出y=e x关于y轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x关于y轴对称的函数应该是y=e-x,于是f(x)可由y=e-x向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e-(x+1)=e-x-1.2.设a=22.5,b=2.50,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.b=2.50=1,c==2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.3.(2014·金华模拟)已知函数f(x)=则f(f(2015))=( )A. B.- C.1 D.-1【解析】选D.f(2015)=22015-2010=25=32,所以f(f(2015))=f(32)=2cosπ=2cos=-1.4.(2013·丽水模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),.又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.5.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为( )A. B. C.2 D.4【解析】选C.由题意知f(x)在(1,2)上为单调函数,故f(1)+f(2)=log a2+6,即a+log a1+a2+log a2=log a2+6,所以a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).6.(2014·宁波模拟)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A.y=-B.y=lnxC.y=e xD.y=x3+e x-e-x【解析】选D.A中函数y=-,虽为奇函数,但其在定义域上不单调,而B中y=lnx,C中y=e x,均没有奇偶性,只有D中函数定义域为R,令y=f(x)=x3+e x-e-x,则f(-x)=-x3+e-x-e x=-f(x),为奇函数,且y1=x3,y2=e x,y3=-e-x在R上均为增函数.所以y=x3+e x-e-x在R上为增函数,故选D.7.若存在负实数使得方程2x-a=成立,则实数a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(0,+∞)C.(0,2)D.(0,1)【解析】选C.在同一坐标系内分别作出函数y=和y=2x-a的图象知,当a∈(0,2)时符合要求.8.(能力挑战题)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【思路点拨】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f,f转化为[1,+∞)上的函数值.【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).所以f=f,f=f.又f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,所以f>f>f.即f>f>f.【方法技巧】比较函数值大小的方法(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.【加固训练】设函数f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,则( )A.f(-2)>f(-1)B.f(-1)>f(-2)C.f(1)>f(2)D.f(-2)>f(2)【解析】选A.因为f(2)=4,所以a-|2|=4,所以a=,所以f(x)==2|x|,所以f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=2x是增函数,当x<0时,f(x)是减函数,所以f(-2)>f(-1).二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知log a>0,若≤,则实数x的取值范围为.【解析】因为log a>0,所以0<a<1,故由≤得x2+2x-4≥-1.即x2+2x-3≥0,解得:x≥1或x≤-3.答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)10.(2013·台州模拟)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为.【解析】令t=2x,因为0≤x≤2,所以1≤t≤4.又y=22x-1-3·2x+5,所以y=t2-3t+5=(t-3)2+.因为1≤t≤4,所以t=1时,y max=.答案:11.若函数f(x)=x2是奇函数,则常数a的值等于.【思路点拨】把f(x)看成两个函数的积,判断出y=a+的奇偶性,然后求解.【解析】设g(x)=a+,t(x)=x2,因为t(x)=x2为偶函数,而f(x)=x2为奇函数,所以g(x)=a+为奇函数,又因为g(-x)=a+=a+,所以a+=-对定义域内的一切实数都成立,解得a=.答案:12.类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式,对于给定的两个函数,S(x)=,C(x)=,其中a>0且a≠1,下面正确的运算公式是.①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y);④C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y).【解析】因为S(x+y)=,S(x)C(y)+C(x)S(y)=·+·=+===S(x+y),故①正确;同理可推知②也正确,③④不正确.答案:①②三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2014·杭州模拟)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).(1)求h(a).(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由f(x)=,x∈[-1,1]知f(x)∈,令t=f(x)∈.记g(x)=t2-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:①当a≤时,g(x)的最小值h(a)=g=-;②a≥3时,g(x)的最小值h(a)=g(3)=12-6a;③当<a<3时,g(x)的最小值h(a)=g(a)=3-a2.综上所述,h(a)=(2)当a≥3时,h(a)=-6a+12,故m>n>3时,h(a)在[n,m]上为减函数,所以h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].由题意,则⇒两式相减得6n-6m=n2-m2,又m≠n,所以m+n=6,这与m>n>3矛盾,故不存在满足题中条件的m,n的值.14.(2014·嘉兴模拟)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常量且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)试确定f(x).(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·a x得结合a>0且a≠1解得所以f(x)=3·2x.(2)要使+≥m在x∈(-∞,1]时恒成立,只需保证函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.因为函数y=+在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以只需m≤即可.15.(能力挑战题)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,b=1.又f(-1)=-f(1),得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==.因为x1<x2,所以->0,又因为(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)因为t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k). 因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),因为f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3-≥-,所以k<-.。
高考数学一轮复习第二章函数9函数模型及其应用课件新人教A版2
而各有不同
x轴 平行
存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快. ( × )
(2)在区间(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并
远远大于y=xα(α>0)的增长速度. ( √ )
大,最大利润为6 104万元.
-18考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能
用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如
出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.
2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以
先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
(7)分段函数模型:y= 2 (),∈2 ,
3 (),∈3 .
(8)对勾函数模型:y=x+(a>0).
-5知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年
的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(
)
+
A. 2
C.
(+1)(+1)-1
2014高考数学一轮汇总训练《指数与指数函数》理 新人教A版
第六节 指数与指数函数[备考方向要明了]的意主要以选择题或填空题的形式考查指数函[归纳·知识整合]1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0，n 为偶数；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． [探究] 1.na n＝a 成立的条件是什么？提示：当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，a ≥0. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：am n -＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质[探究] 2．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝dx的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1，所以，c >d >1>a >b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x|(a >0，a ≠1)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 之间有何关系？提示：y ＝a x与y ＝|a x|是同一个函数的不同表现形式；函数y ＝a |x |与y ＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同；y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．－10 C ．9D ．7解析：选D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.2．化简a 3b 23ab 2a 14b 1243ba(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2bD.a b解析：选D 原式＝a 3b 2a 13b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 13＝11082332733a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝54332733·ab a b ＝ab －1＝a b . 3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象． 4．(教材习题改编)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案：3[例1] 求值与化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3213-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________；(2)a35b 2·35b34a 3＝________；(3)4133223384a a b a b-+÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ·3a ＝________.[自主解答] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214＋⎝⎛⎭⎫213×3126－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋4×27＝110. (2)a35b 2·35b 34a 3＝a33212-·b321510-＝a 54＝a 4a .(3)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m＝m m 3－8n 3m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3m －2n m 2＋2mn ＋4n 2m 2＋2mn ＋4n 2m －2n ＝m 3＝a .[答案] (1)110 (2)a 4a (3)a ———————————————————指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．121121332···a b a b ---⎛⎫ ⎪； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝111133221566·a b a b a b--＝＝a111326---·b115236+-＝1a.(2)原式＝－52a 16-b －3÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312＝－54a 16-·b －3÷⎝⎛⎭⎫a 13b 32-＝－54a 12-·b 32-.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.[例2] (1)已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． [自主解答] (1)由已知并结合图象可知0<a <1，b <－1.对于函数g (x )＝a x＋b ，它一定是单调递减的．且当x ＝0时g (0)＝a 0＋b ＝1＋b <0，即图象与y 轴交点在负半轴上．(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1]若将本例(2)中“|y |＝2x＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解：曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．———————————————————指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.2．(2012·四川高考)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， ∴函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)， 结合图象可知选C.3．(2013·盐城模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x1，y 2＝3x2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得，3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32[例3] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [自主解答] (1)当a ＝－1时， f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0. ——————————————————— 利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．4．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x(a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12＝16，即a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或a ＝3.1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个应用——指数函数单调性的应用(1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解指数不等式形如a x>a b的不等式，借助于函数y＝a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论，而形如a x>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式． 3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究．(3)对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.创新交汇—指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·浙江高考)设a＞0，b＞0( )A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b[解析] ∵a>0，b>0，∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．∴a>b.[答案] A[名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式．(2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想．2．解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题． (2)构造函数，并利用其单调性解决问题． [变式训练]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ， f x >K .取函数f (x )＝a－|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝a－|x |(a >1)的图象为右图中实线部分，y ＝K ＝1a的图象为右图中虚线部分，由图象知f K (x )在(1，＋∞)上为减函数.1．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，∴－x3x＝－－x3x 2＝－－x .2．(2012·天津高考)已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选A ∵a ＝212，b ＝2，c ＝log 54， ∵1<b <2,0<c <1，∴a >b >c . 3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选C ∵x 2≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2≤1，即值域是(0,1]． 4．(2013·广州模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b b a >b ，则f (x )＝2x ⊕2－x的图象是( )解析：选C x ≥0时，2x≥1≥2－x>0；x <0时，0<2x <1<2－x .∴f (x )＝2x ⊕2－x＝⎩⎨⎧2－x，x ≥0，2x，x <0.5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.6．(2013·四平模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)解析：选B 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx始终与函数y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：令x －1＝0，即x ＝1，则f (1)＝5. ∴图象恒过定点P (1,5)．答案：(1,5)8．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．解析：由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，y ＝3x是增函数，可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x 是减函数，故当x ＝－1时函数有最大值143.答案：1439．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设f (x )＝2x，g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________．解析：因为函数f (x )＝2x与g (x )＝2x 的图象相交于点A (1,2)，B (2,4)，由图可知，[m ，n ]⊆[1,2]，故|m －n |max ＝2－1＝1. 答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋y g x －y 的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e－2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y) ＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )， ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，∴g x ＋y g x －y ＝3.11．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解：y ＝lg (3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3.∴M ＝{x |x <1，或x >3}．f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.∴y ＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知： 当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，43， 当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)， ∴当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x－3x＝0， ∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x ＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2. ∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为 3t ⎝⎛⎭⎪⎫32t－132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )解析：选A 先通过平移变换作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象，再作关于直线y ＝x 对称的图象即可．2．已知x 12＋x12-＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x32-－3的值．解：∵x 12＋x12-＝3，∴x ＋x －1＝7.∴x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝72－2＝47. 又x 32＋x32-＝(x 12＋x12-)3－3(x 12＋x12-)＝27－9＝18.∴原式＝47－218－3＝3.3．比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.解：(1)考察函数y ＝1.7x，因为1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在R 上是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)考察函数y ＝0.8x ，因为0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x在R 上是减函数．因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(3)1.70.3,0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，因此在这两个数中间找一个量．由指数函数的性质可知1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1. 4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。
2014高考数学一轮复习课件_2.5指数与指数函数
形结合求解．
【尝试解答】
(1)由f(x)＝|2x－1|
2x－1，x≥0， ＝ 可作出函数的 1－2x，x＜0.
图象如图．因此函数f(x)在(－∞， 0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上 递增．
(2)在同一坐标系中分别作出
函数f(x)、f(x＋1)的图象，
如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得x0＝ 2 2 log2 ，两图象相交，从图象可见，当x＜log2 时，f(x)＞f(x 3 3 ＋1)； 2 当x＝log2 时，f(x)＝f(x＋1)； 3 2 当x＞log2 时，f(x)＜f(x＋1)． 3
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都 要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞
0时的情况．
ax－1 已知函数f(x)＝ x (a＞0且a≠1)． a ＋1 (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性．
(2，－2)
3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2 －1)x在定义域内是
减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】
(－ 2，－1)∪(1， 2)
4 ． (2013· 广 州 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 g(x) ＝ 2x ， 且 有
【答案】
A
易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受 阻． (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目 作答，造成误解．
一轮复习课时训练§2.4：指数与指数函数
第二章§4：指数与指数函数(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(827)23＋(－1)3372964的值为 A ．0 B ．89 C ．43 D ．292．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，则f(x)＝2x ⊕2－x 的图象是3．若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有A ．f(2)<f(3)<g(0)B ．g(0)<f(3)<f(2)C ．f(2)<g(0)<f(3)D ．g(0)<f(2)<f(3)4．关于函数f(x)＝2x －2－x (x ∈R)有下列三个结论：①f(x)的值域为R ；②f(x)是R 上的增函数；③对x ∈R ，f(－x)＋f(x)＝0成立，其中所有正确的序号为A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 5．已知函数y ＝22x＋x ＋a 的定义域为[1,2]，则实数a 的取值范围是 A ．[－6，－3] B ．[3,6]C ．(－∞，－6)∪(－3，＋∞)D ．(－∞，3)∪(6，＋∞)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．函数y ＝(12)－x 2＋2x 的单调递增区间为________． 7．函数f(x)＝1＋22x －1的奇偶性是________． 8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝b·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)，(1)试确定f(x)；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．10．（本小题满分18分，（1）小问５分，（2）小问６分，（３）小问７分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1. (1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于x 的方程f(x)＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：(827)23＋(－1)3372964＝[(23)3]23－13(94)3＝49－49＝0. 答案：A2．解析：x ≥0时，2x ≥1≥2－x ＞0，x ＜0时，0＜2x ＜1＜2－x . ∴f(x)＝2x ⊕2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ≥02x x ＜0. 答案：C3．解析：∵f(x)－g(x)＝e x 且f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，∴f(－x)－g(－x)＝e －x ，即－f(x)－g(x)＝e －x，解得f(x)＝e x －e －x 2，g(x)＝－e x ＋e －x2.易得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(3)>f(2)>f(0)＝0且g(0)＝－1，∴g(0)<f(2)<f(3)．答案：D4．解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x 在R 上为减函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上是增函数．∴②正确．又当x →＋∞时，2x →＋∞，2－x →0.∴2x －2－x →＋∞，当x →－∞时，2x →0,2－x →＋∞，∴2x －2－x →－∞，∴f(x)的值域为R.∴①正确． 又f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0.∴③正确． 答案：D 5．解析：函数y ＝22x ＋x ＋a的定义域为[1,2]时，即2x ＋x ＋a ≠0在x ∈[1,2]上恒成立， ∴a ＝－2x －x 在x ∈[1,2]上无解．设g(x)＝－2x －x ，则g(x)在x ∈[1,2]上为单调减函数，g(x)∈[－6，－3]．∴a ＜－6或a ＞－3.答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：设t ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)t ，又y ＝(12)t 在定义域上为减函数． ∴当原函数递增时，t ＝－x 2＋2x 递减，又－x 2＋2x ≥0，∴0≤x ≤2.∴t ＝－x 2＋2x 的递减区间[1,2]．∴原函数递增区间为[1,2]．答案：[1,2]7．解析：f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，f(x)＝1＋22x －1＝2x ＋12x －1，∴f(－x)＝2－x ＋12－x －1＝2x ＋11－2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：奇函数8．解析：设x ＝2a ，则x ∈(1,2)，依题意M ＝2a ＋21－a ＝2a ＋22a ＝x ＋2x ，易知函数y ＝x ＋2x在(1，2)上是减函数，在(2，2)上是增函数，∴22≤M ＜3.答案：[22，3)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ ba ＝6ba 3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－3(舍去)， ∴f(x)＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，得m ≤(12)x ＋(13)x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．设g(x)＝(12)x ＋(13)x ，则g(x)在(－∞，1]上递减， ∴g(x)min ＝g(1)＝13＋12＝56. ∴所求m 的范围为(－∞，56]． 10. （本小题满分18分（1）小问５分，（2）小问６分，（３）小问７分）解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1. 又f(0)＝0，∴可得函数f(x)的表达式为分段函数， 即f(x)＝⎩⎨⎧－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)0， x ＝02x4x ＋1， x ∈(0，1).(2)f(x)在(0,1)上是减函数．当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1.设0＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)－f(x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1). ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 2－2x 1＞0,2x 1＋x 2－1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0,1)上单调递减．(3)∵当x ∈(0,1)时，f(x)是减函数，∴f(x)∈(25，12)．同理x ∈(－1,0)时，f(x)∈(－12，－25)，又f(0)＝0，故当－12＜λ＜－25或25＜λ＜12或λ＝0时，f(x)＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。
(湖南专用)高考数学一轮复习 第二章函数2.4指数与指数函数课时作业 理
课时作业7 指数与指数函数一、选择题1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，x ∈[－1，0 ，4x ，x ∈[0，1]，则f (log 43)等于( )．A.13 B ．3 C.14D ．4 2．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( )．A ．－112B ．0C ．2D ．10 3．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )．4．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ， b ，c 的大小关系为( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 6．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )．A ．2－22＜m ＜2＋2 2B ．m ＜2C ．m ＜2＋2 2D ．m ≥2＋2 27．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x .若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013等于( )．A ．2 013B ． 2C ．12D ．－2 二、填空题8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________．9．已知f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是__________． 10．(2013届湖南长沙一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2，x ≤0，2x －3，x >0，则使得f (x )＞1的x 的取值范围是__________．三、解答题11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．12．已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．B 解析：∵0＜log 43＜1，∴f (log 43)＝4log 34＝3.2．C 解析：设t ＝2x ，∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1.∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2，∴函数f (x )的最小值为2.3．B 解析：y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥0，a －x ，x <0. 当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a ＞1)的图象相同；当x ＜0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图象关于y 轴对称，由此判断B 正确．4．A 解析：∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2,1.6＞1.38＞1.2，y ＝2x 为R 上的增函数，∴a ＞b ＞c .5．B 解析：利用对称性，三点到直线x ＝1距离越远函数值越大．6．C 解析：(方法一)令t ＝3x ，则问题转化为函数g (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，m 2≤1，1－m ＋1＋m ≥0，解得m ＜2＋2 2.(方法二)令t ＝3x，问题转化为m ＜t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)， 即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小， 又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2 ≥2(t －1)2t －1＋2＝2＋22， 所以m ＜2＋2 2.7．C 解析：设2＋x ＝t ，∴x ＝t －2.∴f (t )＝f [2－(t －2)]＝f (4－t )＝f (t －4)．∴f (x )的周期为4.∴a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12. 二、填空题8．m ＜n 解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减，由f (m )＞f (n )得m ＜n .9．12 解析：f (1)＝a ＋a －1＝3，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝a 0＋a 0＋a 1＋a －1＋a 2＋a －2＝2＋3＋(a ＋a －1)2－2＝12.10．(－2,0]∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，3x ＋2>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x －3>1， 得－2＜x ≤0或x ＞2.三、解答题11．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}．f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值． 12．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2， 即22x －2×2x －1＝0，解得2x ＝1± 2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)．∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册9指数函数、对数函数、幂函数(附详细解析)
课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 2 3．[2012·四川卷] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}6．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1) 7．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg2 B ．－1lg2C ．lg2D ．－lg28．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x <y <z B ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x9．[2012·效实中学模拟] 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 110．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 12．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若关于x 的函数y ＝2f 2(x )＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f (x )＝2.15．(13分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，且函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．课时作业(九)【基础热身】1．D [解析] f (x )＝32x 是R 上的减函数，实数m ，n 满足f (m )>f (n )，故m <n .故选D. 2．B [解析] 由题知f (x )＝log a x ，∵点(a ，a )在其图象上，∴a ＝log a a ，即a a ＝a 12，解得a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选B. 3．C [解析] 由f (1)＝0可知选C. 4.32 [解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32. 【能力提升】5．D [解析] y ＝x 13在－1≤x ≤1时，有－1≤y ≤1；y ＝12x ，在x ≤0时，有y ≥1，所以A ∩B ＝{1}．故选D.6．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22＝1，所以函数的值域为(－∞，1]，选C.7．D [解析] 当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f 1100＝lg 1100＝－2，ff 1100＝f (－2)．又y ＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故f (－2)＝－f (2)＝－lg2.8．D [解析] x ＝ln π>lne ＝1，0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.9．A [解析] 由题可知，x 1，x 2，x 3分别是函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1与y ＝－x 交点的横坐标．在同一坐标系中作出它们的图象，可知：x 1<0<x 2<1<x 3.10．(－∞，－1)∪(0，33) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 3a <13或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1. 11．[2，＋∞) [解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)． 12．－32<b <－2 [解析] f (x )的图象如图所示． 令t ＝f (x )，记函数g (t )＝2t 2＋2bt ＋1，从题意知，g (t )＝0在(0，1)上有两个不同的根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<－b 2<1，Δ＝4b 2－8>0，g （1）＝3＋2b >0，解得－32<b <－ 2.13．①②④ [解析] 因为定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，所以①正确；因为g (x )＝x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，且y ＝lg x 为增函数，所以f (x )≥lg2，即②正确，而⑤不正确；因为g (x )＝|x |＋1|x |的递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)，所以f (x )在(－1，0)和(2，＋∞)上是增函数，即④正确，而③不正确．14．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a ex 恒成立． 整理，得(a 2－1)(e 2x －1)＝0对任意实数x 恒成立，故a 2－1＝0.又a >0，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ＋1e x .在(0，＋∞)上任意取x 1，x 2，设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1， 由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0，1－e x 2＋x 1<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f (x )＝2，得e x ＋1e x ＝2，即e 2x －2e x ＋1＝0. 所以e x ＝1＝e 0.所以x ＝0.故方程f (x )＝2的根为x ＝0.15．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则 Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1)．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x，x ∈[0，1)(a >1)， 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．【难点突破】16．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。
高考数学 第二章 第四节 指数函数课时作业 理 新人教A
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第二章第四节指数函数课时作业理新人教A版一、选择题1.函数y=错误!未找到引用源。
(a>1)的图象的大致形状是( )2.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=(错误!未找到引用源。
)x在x∈[0,4]上解的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.(2013·潮州模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )4.函数y=(错误!未找到引用源。
的值域为( )(A)[错误!未找到引用源。
,+∞) (B)(-∞,错误!未找到引用源。
](C)(0,错误!未找到引用源。
] (D)(0,2]5.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)= ( )(A)5 (B)7 (C)9 (D)116.若函数f(x)=(a+错误!未找到引用源。
)cosx是奇函数,则常数a的值等于( )(A)-1 (B)1 (C)-错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
7.(2013·汕头模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,必成立的是( )(A)a<0,b<0,c<0 (B)a<0,b≥0,c>0(C)2-a<2c(D)2a+2c<28.(能力挑战题)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )(A)f(错误!未找到引用源。
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2014届高三数学一轮复习提分训练题《指数与指数函数》Word版含解析
指数与指数函数一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析：y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x x ，a －x x ＜当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确．答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x 2x x ，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，∴f (9)＋f (0)＝3.答案：D3．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 (数形结合法)如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1＜x －2＜0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2. 答案 B4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A.答案 A5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：(a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a－2b ＝6， ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b －2＝4. 又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.答案：D6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如右图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )< 1，a <0，c >0.∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a.∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1.∴2a ＋2c <2.答案：D7．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )． A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1}解析 由f (x )＝2x1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x ， 由于(2x ＋1)在R 上单调递增，所以－11＋2x 在R 上单调递增，所以f (x )为增函数，由于2x ＞0，当x →－∞，2x →0，∴f (x )＞－12，当x →＋∞，11＋2x →0， ∴f (x )＜12，∴－12＜f (x )＜12， ∴y ＝[f (x )]＝{0，－1}．答案 B二、填空题8．814×42＋(32×3)6＝________. 解析：原式＝234×214＋⎝⎛⎭⎫213×3126＝2＋22×33＝2＋4×27＝110. 答案：1109．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 (数形结合法)由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 解析：函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，∴ (12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)12．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n .答案：m >n三、解答题13．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…)(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋y g x －y 的值． 解析 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e－2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y )]－[e x －y ＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4 ①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8，② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，∴g x ＋y g x －y＝3. 14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13)x 在 (－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围(－∞，56] 15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.16．若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．解析 ∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x －1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1， ∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}． (3)∵x ≠0，∴2x －1＞－1.∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12. 即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．。
高考数学一轮复习 2.4 指数与指数函数课时规范练习 苏教版必修1
高考数学一轮复习 2.4 指数与指数函数课时规范练习 苏教版必修1一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有________个．2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x的图象，则f (x ) ＝__________.3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________.4．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则a 的值为________． 5．(2010·安徽改编)设a ＝5253)(，b ＝5352)(，c ＝5252)(，则a ，b ，c 的大小关系是____________． 6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.7．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.8．函数f (x )＝322-+x x a ＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.9．设函数f (x )＝a －|x | (a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．10．若函数f (x )满足：对于任意x 1，x 2>0，都有f (x 1)>0，f (x 2)>0，且f (x 1)＋f (x 2)<f (x 1＋x 2)成立，则称函数f (x )具有性质M .给出下列四个函数：①y ＝x 3，②y ＝log 2(x ＋1)，③y ＝2x－1，④y ＝sin x . 其中具有性质M 的函数是__________．(填序号)二、解答题(本大题共3小题，共50分)11．(16分)(1)计算：22110.5332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]89----+÷⨯÷0.06250.25； (2)化简：41233322338(4a a ba b a --÷⨯+a ·3a 25a ·3a (式中字母都是正数)． 12.(17分)已知对任意x ∈R ，不等式222411()22x mx m x x -+++>恒成立，求实数m 的取值 范围． 13．(17分)已知函数f (x )＝21(0)21(1)x c cx x c c x -+<<⎧⎪⎨⎪+≤<⎩满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 答案 1.0 2.2x －2＋2 3.－1 4.±1 5.a >c >b 6.④ 7.5±12 8.9 9.f (－2)>f (1) 10.①③ 11．解 (1)原式＝22113324849100042625[()()()50]()27981010000-+÷⨯÷＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.(2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a a a a b b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅＝51116333111336(2)2aa a ab a b a -⨯⨯-＝12233.a a a a ⨯⨯=12．解 由题知：不等式222411()()22x xx mx m +-++>对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立．∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立．∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0.∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.13．解 (1)依题意0<c <1，∴c 2<c ，∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 0<x <122－4x ＋1 12≤x <1，由f (x )>28＋1得当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58.综上可知，24<x<58，∴f(x)>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|24<x<58.。
高中数学一轮复习基本初等函数：第2节 指数函数
第2节 指数函数【基础知识】1．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1； x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数2．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x 轴是函数图像的渐近线．当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图像越靠近y 轴，递减的速度越快．3．画指数函数xy a ＝的图像，应抓住三个关键点：()(1)0,1a ，、、11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 4．熟记指数函数11y=10,y=2,y=,y=102xxxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系．【规律技巧】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y a a a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【典例讲解】 例1、 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 【答案】 (1) D【解析】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间． 【解析】依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)． 【探究提高】(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．【变式探究】 (1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )【答案】A【解析】y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________.【答案】1【解析】由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1.【针对训练】1、已知函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值. 【答案】22、设a =2535⎛⎫ ⎪⎝⎭, b =3525⎛⎫⎪⎝⎭, c =2525⎛⎫⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是( ) (A) a c b >> (B) a b c >> (C) c a b >> (D) b c a >>【答案】A 3、求函数221()2x xy -+=的值域及单调区间.【答案】B4、如图，过原点O 的直线与函数y 2x＝的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y 4x＝的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________．【答案】()1,25、已知xx910390⨯≤－＋，求函数y ＝114x -⎛⎫⎪⎝⎭－412x⎛⎫⎪⎝⎭＋2的最大值和最小值．【答案】y max ＝2.y min ＝1【练习巩固】1.若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______. 22.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C3.设0<x ，且x x a b <<1，则（ ） A ．10<<<a b B ．10<<<b a C ．a b <<1 D ．b a <<1 【答案】B4.指数函数()(1)xf x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．2a > C ．01a << D ．12a << 【答案】B5.若点(,81)a 在函数3x y =的图象上，则tan6a π的值为（ ） A ．3- B ．33- C ．D ．【答案】A6. 函数221y=2x x -++⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.。
版高考数学一轮总复习2.3指数与指数函数课件
=22a-2a+2=
2a
1 2
2
+
7 4
,因为a<0,所以0<2a<1,所以22a+2b=
2a
1 2
2
+
7 4
∈
7 4
,
2
.所以D错误,故选A.
答案 A
例2
(2021山西应县一中开学考试,18)已知函数f(x)=
1 3
ax2 4 x3
.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值为3,求实数a的值.
A项,当x=0时, f(x)=0,无最大值,所以A正确;
B项,函数y=f(x)的图象与直线y=1只有一个公共点,所以B错误;
C项,由a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b)可知,a<0<c<1,且2c-1<1-2a,所以2a+2c<2,所以 C错误;
对于D,由图可知f(a)=f(b)<1,且a<0,b>0,故1-2a=2b-1,所以2b=2-2a,所以22a+2b
图象
定义域 值域 性质
考点二 指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
R (0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是单调增函数
当x>0时,0<y<1; 当0时,y>1
在(-∞,+∞)上是单调减函数
y=ax(a>0,且a≠1)与y=
的图象关1a 于x y轴对称.
系如图所示,其中0<c<d<1<a<b.
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课时作业(九)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2；－342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 2．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－x C ．y ＝ (12)x －1D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x 的值域是正实数， ∴y ＝(13)1－x 的值域是正实数．3．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A ．(－∞，－12)∪(0，12] B ．[－12，0)∪(012] C ．[－12，12]D ．[－12，0)∪[12，＋∞) 答案 B解析 ①当a >1时，a 2≤2⇒1<a ≤2；②当0<a <1时，a －2≤2⇒2≤a <1，则g (a )＝log 2a 的值域为g (a )∈[－12，0)∪(0，12]，故选B.4．函数y ＝0.3|x |(x ∈R )的值域是( )A ．R ＋B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}答案 D解析 y ＝0.3|x |∈(0,1]，故选D.5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1<x －2<0,1<(12)x －2<2. 7．若函数f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于 ( )A ．－1B ．1C 12 D.12答案 D8．(2013·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.9．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (2，－1)∪(1，2)解析 函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1.10．函数y ＝a x －2 009＋2 010(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________． 答案 (2 009,2 011)11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 －2解析 ∵îíìa 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－3，∴îíìa ＝2，b ＝－4.∴a ＋b ＝－2. 12．将按从大到小的顺序排列应该是________．答案解析由y＝2x是增函数，∴；由是增函数，∴，即有.13．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．答案[2，＋∞)解析f(1)＝a2＝19，a＝13，f(x)＝îïíïì(13)2x－4，x≥2，(13)4－2x，x<2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．14．是否存在实数a，使函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案a＝3或a 1 3解析令t＝a x，则y＝t2＋2t－1.(1)当a>1时，∵x∈[－1,1]，∴a x∈[1，a]，即t∈[1，a]．∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2在[1a，a]上是增函数(对称轴t＝－1<1a)．∴当t＝a时，y max＝(a＋1)2－2＝14. ∴a＝3或a＝－5.∵a>1，∴a＝3.(2)当0<a<1时，t∈[a，1 a]．∵y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上是增函数，∴y max＝(1a＋1)2－2＝14.∴a 13或a＝－15.∵0<a<1，∴a＝13.综上，a＝3或a 1 3.15．已知函数f (x )＝－2x2x ＋1.(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； (2)若x ∈[1,2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝a2＋f (x )，且当x ∈[1,2]时g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝＝.(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为[－45，－23]．(3)当x ∈[1,2]时，g (x )∈[a 2－45，a 2－23]． ∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立， a －4≥0，∴a 8.16．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 答案 (1)奇函数 (2)在R 上是增函数 (3)(－∞，－1] 解析 (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa －1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0.y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数．所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．1．函数y ＝4－2x 的定义域是( )A ．(0,2]B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 B解析 由4－2x ≥0，得x ≤2.2．(2010·重庆)函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C3．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B4．已知函数f (x )＝îíìx －1，x >0，2|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k的取值范围为() A．(－1,2] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．(0,1] D．[1，＋∞)答案 A解析在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝－2x＋k的图像，数形结合即可．5．已知函数y＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x的取值范围是() A．[2,4] B．(－∞，0]C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析y＝(2x)2－3×2x＋3＝(2x 32)234∈[1,7]，∴(2x－32)2∈[14，254]．∴2x－32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x∈(－∞，0]∪[1,2]．6．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.答案④解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图像如图中实线所示．又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图像知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a.∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.7．已知f(x)＝a x(a>1)，g(x)＝b x(b>1)，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1>x2，则a、b的大小关系是________．答案a<b解析x1＝log a2>x2＝log b2>0，∴log2a<log2b.∴a<b.8．若0<a<1,0<b<1，且<1，则x的取值范围是________．答案(3,4)解析log b(x－3)>0，∴0<x－3<1，∴3<x<4.9．若函数y＝2－x＋1＋m的图像不经过第一象限，则m的取值范围是________．答案m≤－210．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(12)＋f(1)＋f(32)＋f(2)＋f(52)＝______.答案 2解析由题意知f(x)为奇函数且为周期函数，周期为2.∴f(32)＝f(－12)＝－f(12)，f(52)＝f(12)，f(2)＝f(0)．∴所求为f(12)＋f(1)＝－1＋1＝ 2.11．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．答案m＜n解析∵05－12＜1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又由f(m)＞f(n)，∴结合图像得m＜n.9．对于函数f(x)＝a－22＋1(a∈R)，是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在求出a的值，若不存在请说明理由．解析若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．∵a22－x＋1＝－a＋22x＋1，∴2a 22x ＋1＋22－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x 1＋2x ＝2(1＋2x )2x ＋1＝2.∴a ＝1.12．函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解析 由题意可知，x ≤1时，1＋2x ＋4x a3>0， 即1＋2x ＋4x a >0.∴a >－[(1)x ＋(1)x ]在x ∈(－∞，1]上恒成立． ∵(14)x 、(12)x 均为减函数， ∴－[(14)x ＋(12)x ]为增函数． ∴当x ≤1时，－[(14)x ＋(12)x ]≤－34. ∴a 的取值范围为(－34，＋∞)．13．(2011·上海理)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，èçæø÷ö3x >－a 2b ，则x >log 1.5èçæø÷ö－a ；当a >0，b <0时，èçæø÷ö32x <－a 2b ，则x <log 1.5èçæø÷ö－a 2b .14．已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，哪些不可能成立？ 答案 ③④解析 在同一坐标系内，作出函数y ＝(12)x 和y ＝(13)x 的图像(如图)如图：a >b >0时，(12)a ＝(13)b 可能成立． a <b <0时，(12)a ＝(13)b 可能成立． a ＝b ＝0时，(12)a ＝(13)b 显然成立． 0<a <b 时，显然(12)a >(13)b . b <a <0时，显然(12)a <(13)b .综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立．。