湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题答案

x0
3 y0 3
，
直线
A2C
的方程为
y
y0 x0
3
x
3
，令
x 0，∴
N
0,
x0
3
y0 3
，………（8
分）
∴直线 TN 的倾斜角为 ，斜率为 tan
x0
3 y0 3 1
x0
3
y0 3
，直线
TM
的倾斜角为
2
，斜率为
3 y0
ta
n
2
1 tan
x0 1
3 3 y0 x0 3
∴ QM PM ，∴ QM MC1 PM MC1 r 4 QC1 2 2 ，……（2 分）
2021 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 4页
由椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 C1, Q 为焦点的椭圆，其中 2a r 4 ， 2c QC1 2 2 ，
大致图象如图所示：
令
f
x
t
，则二次方程
2t 2
t
m
0
有两个实数根 t1, t2
，∴
1 8m
0
m
1 8
；
当m
1 8
时， t1
t2
1 4
，2
f
2
x
f
x m
0
仅有三个不等实根，不符题意，舍；
当
m
1 8
时，不妨设 t1
t2
，则 t1
t2
1 2
, t1
t2
m 2
, t1
1, 0 ,t2
0,
1 e
，
当 m0时，即 m
1
f
x min
，∵
f
(x)
在
1 4
,
1 3
上单调递减，在
1 3
,1
上单调递增，
∴
f
xmin
f
1 3
5 27
，此时 m无解；…………………………………（11
分）
综上所述，实数 m的取值范围为 0 m 2 .………………………………………（12 分）
19．（12 分）【解析】（1）选条件①②，
8
4k
2
4
1 k2 3
16 1 4k2
2
3
0 恒成立.…………………………（8 分）
1 设原点 O 到直线 l 的距离为 h ，由 | OA |2
1 | OB |2
| OA |2 | OB |2 | OA |2| OB |2
| AB |2 | OA |2| OB |2
及
OA
OB
AB
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
上，∴
y12 a2
y
2 2
a 2
x12 b2
x
2 2
b2
1, 两式相减得
1,
x12 x22 b2
y12 y22 a2
，又∵ k AB kOP
y1 y2 x1 x2
y1 y2 x1 x2
y12
y
2 2
x12 x22
a2 b2
3 ，
∴ a 2 3b 2 ，则椭圆 C 的离心率 e
c2 a2
1
b2 a2
2 6. 33
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）【解析】（1）由题意知:1000.001 0.002 0.0026 0.0026 a 0.0004 1，解得
a 0.0014 ；………………………………………………………………………（2 分）
∴数学期望 E X 1 2 2 5 +3 2 2 ………………………………………（12 分）
9 99
21．（12 分）【解析】（1）圆 C1 : x 2 2 y 2 16 ，圆心 C1( 2, 0) ，半径 r 4 ，
∵ C1Q 2 2 4 ，∴点 Q 在圆 C1 内，又由点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上，
选条件①③，
b
a
3, 3
4,
a2 3,
解得 b2 1,
∴双曲线 的方程为 x2 y2 1 ；（4 分） 3
（2）设 Bx0, y0 ,Cx0, y0 ,x0
0, y0
0 ， OTN
,OMT
，∴
x02 3
y02
1,
则直线
A2B 的方程为
y
x0
y0
3
x
3
，令
x 0，∴
M
0,
18．（12 分）【解析】（1）由题意得 f (x) 的定义域为 R ， f ( x) 3 x 2 2ax b a ，
∵函数 f x x x2 ax b a 在 x 1 时取得极大值 1，
f (1) 3 3a b 0,
a 1,
∴
f
(1)
2a
b
1
1,
，解得
b
0,
, ) 上单调递增，………（7
分）
当 m0时，即 m
1
f
x max ，∵
f
(
x)
在
1 4
,
1 3
上单调递减，在
1 3
,1
上单调递增，
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∴ f xmax f 1 1，∴ 0 m 2 ；…………………………………………（9 分）
x2
2ln
a 2
，即证
a 2
x1 x2
e2
．
由 g(x) 0 ，得 ex1
a 2
x1 ， ex2
a 2
x2
，两式相减得：
a 2
e x1 e x2 x1 x2
，代入 a 2
x1 x2
e 2 ，即
ex1 ex2
∴ a 1, b 0 ；………………（5 分）
经检验知， a 1, b 0 符合题意.……………………………………………………（6 分）
（2）由（1）知，令
f
( x)
3x2
2x 1
x
1 3x 1
0, 得 x 1或 x
1 3
，
∴
f
(x)
在 ( , 1)
上单调递增， ( 1,
1) 3
上单调递减， ( 1 3
（2）
f
(x)
x
2
ex
1 2
ax2
ax
x
2
ex
1 2
ax
x
2
x
2
ex
1 2
ax
，
x 2 是函数 f (x) 的一个零点，不妨设 x3 2 ，……………………………………（6 分）
设
g
x
ex
1 2
ax
，则
x1
，
x2
是函数
g
x
ex
1 2
ax
的两个零点，
要证
x1
x2 2
x3
ln
ae 2
，只需证 x1
中位数位于[300,400)中，可设为 x ，则
0.001100 0.002 100 0.0026 ( x 300) 0.5 ，解得 x 377 .……………………（5 分） （2）样本中年收入位于[100,200)万元的企业100 0.001 200 20 家，年收入位于[200,300)万元的 企业100 0.002 200 40 家，…………………………………（7 分） “小微企业”减税政策前缴纳税款为： 20 150 25%+40 250 25%=3250 万元， “小微企业”减税政策后缴纳税款为： 20 150 20%+40 250 20%=2600 万元， ∴样本中企业享受减税政策后可以少缴纳 3250 2600 650 万元企业所得税.（10 分）
且
x1
x1
x2
x2
4km 1 2k2
2m2 1 2k
4
2
,
,
………………………………………………（6
分）
∵以 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O ，则 OA OB ，∴ x1x2 y1 y2 0 ，
即 x1x2 kx1 mkx2 m 0 ，整理得 3m2 4 1 k 2 ，代入上述（ ）中，得
∴ tan x0
3 .………（10 分）
3 y0
∵
x02 3
y02
1 ，∴ x02 3 3y02 ，∴
x0
3 3 y0
x0
3 y0 3
tan
tan
，
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∴ OTN OMT .……………………………………………………………………（12 分）
2 9
，
PX
2 P m 1,n 1 P m 2,n 0
C12C11C12C11 C32C32
C22C
2 2
C
C2 2
33
5
，
9
PX
3
P m
2,n
1
C22C12C11 C32C32
2 9
，
∴ X 的分布列为
X
1
2
3
2
5
2
P
9
9
9
…………………………………………………………………………………………（10 分）
h
得
|
1 OA
|2
1 | OB |2
1 h2
，而 h
| m | ，∴ 1 1 1 k2 3 .
1 k2
| OA|2 | OB |2 m2 4
………………………………………………………………………………………………（11 分）
②当直线 l
的斜率不存在时，设
A x1,
y1 ，则 kOA
1，则
x12
22．（12 分）【解析】（1） f (x) x 1e x ax a (x 1)(e x a) ，……………（1 分）
当 e a 0 时，令 f (x) 0 ，得 x1 1， x2 ln a ， f x 在 , ln a 上单调递增，在
ln a,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，……………………………（2 分）
2021 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
A
B
D
8．
【解析】求导知函数
f
x
x
2
ln x
x
2x ,x
1, 0
x
0
在 , 1 上单调
递增，在 1，0 上单调递减，在 0, e 上单调递增，e, 上单调递减，
b2
a2
c2
2 ，∴点 M
的轨迹方程 C2 为
x2 4
y2 2
1；……（4
分）
（2）①当直线 l 的斜率存在时，设直线 AB : y kx m ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
x2 2y2
联立
y
kx
m
4,
得
1 2k2
x2 4kmx 2m2 4 0 ，
由题意， 16k2m2 4 1 2k2 2m2 4 8 4k2 m2 2 0 （ ）
注：其它解答均可参照给分. 20．（12 分）【解析】（1）补充完整的 2×2 列联表如下：
愿意生育二孩
不愿意生育二孩 合计
女性
30
20
50
男性
35
15
50
合计
65
35
100
…………………………………………………………………………………（2 分）
K 2 100 35 20 30 152 1.099 6.635 ，…………………………（5 分）
y12
，代入椭圆方程得
x12
4 3
，
∴ | OA |2 | OB |2 8 3
1 ∴ | OA |2
1 | OB
|2
3 4
.
综上，
|
1 OA |2
|
1 OB
|2
是定值，定值为
3 4
.……………………………………………（12
分）
2021 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 5页
4
15．
9
50
（第一空 2 分，第二空 3 分）
3
16． 6 3
16．【解析】∵ OP
OA
OB
0
，∴ O
是 ABP
的重心，设点
A
x1,
y1
，
B
x2 ,
y2
，则点
2021 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 1页
P
x1 x2 , y1 y2
，∵ A, B 在椭圆 C :
65 35 50 50
∴不能有 99%的把握认为是否“愿意生育二孩”与性别有关. ……………………（6 分）
（2）设参加座谈会的男性中支持生育二孩的人数为 m ，女性中支持生育二孩的人数为 n ，则
X m n ， X 的可能取值为 1，2，3.
∴PX
1
P m
1, n
0
C12C11C22 C32C32
∴ t2
1 2
t1, t1
1 e
1 2
,
1 2
,
m
2t1
t2
2t12
t1
在
1 e
1 2
,
1 2
上单调递增，
∴实数 m
的取值范围为
2+e e2
,
0
，故选
D.
二、多项选择题.
题号
9
10
11
12
答案
AB
BD
CD
ABD
三、填空题.
13． y 2
14． 3 2i （仅供参考，答案合理均可给分）
综上所述，当 a e 时， f x 在 R 上单调递增；
当 e a 0 时， f x 在 , ln a 和 1, 上单调递增，在 ln a,1 上单调递减；
当 a e 时， f x 在 ,1 和 ln a, 上单调递增，在 1, ln a 上单调递减.
……………………………………………………………………………………………（5 分）
当 a e 时，令 f (x) 0 ，得 x1 1， x2 ln a ， f x 在 ,1 上单调递增，在 1, ln a
上单调递减，在 ln a, 上单调递增，……………………………（3 分）
当 a e 时，令 f (x) 0 ，得 x1 1 x2 ln a ， f x 在 R 上单调递增，……（4 分）
2c 2 a2 b2 4, a2 3,
2a 2 3,
解得 b2 1,
∴双曲线 的方程为 x2 y2 1 ；…………（4 分） 3
2a 2 3,
a2 3,
选条件②③，
b
3 , 解得 b2 1,
a 3
∴双曲线 的方程为 x2 y2 1 ；……（4 分） 3