求二次函数解析式的例题及其答案

2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》
专题突破训练（附答案）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标；
（3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且OH＝GK，作直线AG．①点G的坐标是；
②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点M（0，），点N
为平面内一点，若四边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C 作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．
（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B （5，0），与y轴交于点C，D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为﹣5，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BP、DP．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BDP的面积取得最大值时，求点P的坐标和△BDP面积的最大值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）沿着射线BD平移，使得新抛物线经过点D．新抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，M是新抛物线上一动点，N是坐标平面上一点，当以点E、G、M、N为顶点的四边形是矩形时，请直接写出所有满足条件的点N的横坐标．
5．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”的形状为（不必写出证明过程）；
（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+mx（m＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．
（1）求m的值及该抛物线的对称轴；
（2）已知该抛物线上有一点D（x，y）（x＞0，y＞0），使得S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．
①是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△BNG相似？若存在，求出点N的坐标，若
不存在，请说明理由；
②过点P作PD⊥BC于点D，当△PDG≌△BNG时，求n的值．
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．
①点E在直线OB1上运动，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、B、E、F为
顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，请直接写出点N的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；
（3）如图2，将抛物线C1先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线C2，点M为抛物线C2上一动点，点N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．
（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．
11．综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为．
（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．
②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶
点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知抛物线的顶点为D（1，4），
令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，
设点E的横坐标为m，则E（m，﹣2m+6），F（m，0），
∴EF＝﹣2m+6，OF＝m，
∴△OEF面积＝•EF•OF＝（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，△OEF面积的最大值为．
此时E（，3）；
（3）①设点G的横坐标为n，则G（n，﹣n2+2n+3），K（n，﹣2n+6），H（n，0），
∴OH＝n，GK＝﹣2n+6﹣（﹣n2+2n+3）＝n2﹣4n+3，
∵OH＝GK，
∴n＝（n2﹣4n+3），解得n＝或n＝（舍），
∴G（，﹣）．
②若四边形MPNQ是菱形，则△MPQ是等腰三角形，且MP＝MQ，
取PQ的中点N，则PQ⊥MN，
由上可知，A（﹣1，0），G（，﹣）．
∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣．
∵PQ⊥AG，PQ⊥MN，
∴MN∥AG，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+．
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+2t+3），直线PQ的解析式为：y＝2x+b，则2t+b＝﹣t2+2t+3，解得b＝﹣t2+3，
∴直线PQ的解析式为：y＝2x﹣t2+3，
令2x﹣t2+3＝﹣x﹣，解得x＝．
∴Q（，﹣），
∴PQ的中点N（，），
∵直线MN的解析式为：y＝﹣x+．
∴﹣•+＝，解得t＝2或t＝，
∴P（2，3）或P（，）．
∴MP的长为＝或＝．
故菱形的长为：或．
2．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），点A（﹣1，0），∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2，
∵抛物线交x轴于点A和点B，
∴当y＝0时，x2+x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0）；
（2）存在最大值，
由题知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴，
∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝2﹣1＝1，
∴，
设直线BC的解析式为y＝gx+r（g≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入，
得，
解得，
∴直线BC得解析式为y＝﹣x+2，
设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，有最大值为2，此时E点的坐标为（2，3）；
（3）存在点M和点N使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设直线DE的解析式为y＝sx+d，将D（0，1），E（2，3）代入，
得，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝x+1，
设M（n，n+1），
∵B（4，0），D（0，1），
∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，BD2＝42+12＝17，
∵以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，
故分以下两种情况：
①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如下图）
或MN＝BM＝BD（如下图），
∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，
即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，
解得n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，
∴M（，）或M'（﹣，）或M''（3，4）；
②如下图，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），
∵四边形BMDN是菱形，
∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，
∴QD2+QM2＝DM2，
∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，
解得n＝，
∴M'''（，），
综上，符合条件的M点的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．
3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），
∴得，
∴解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）如图1，
设满足条件的点在抛物线上：
①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．则F（t，4），CF＝t，，
根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，
即，
∴，
解得t1＝0（舍去），t2＝3，
∴；
②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝﹣s2+s+4﹣4＝﹣s2+s，
根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，
即，
∴，
解得s1＝0（舍去），s2＝1．
∴，
所以，点E的坐标为或；
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′＝P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∴∠P′M′C＝45°，
设点P′（m，﹣m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∴m＝﹣m2+2m，
∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）＝4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，
∵∠OCB＝45°，
∴∠NCQ＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
∴PQ＝CQ，
设点P（n，﹣n2+n+4），
∴CQ＝n，OQ＝n+4，
∴n+4＝﹣n2+n+4，
∴n＝0（舍），
∴此种情况不存在．
综上，菱形的边长为4﹣4．
4．解：（1）由题意得，
，
解之得，
，
∴抛物线的函数表达式是：y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图1，
∵抛物线的对称轴是x＝＝2，
∴D（2，﹣5），
∵B（5，0），
∴直线BD的解析式是：y＝x﹣，
过点P作PQ∥BD，
∴可设PQ的解析式是：y＝x+b，
由﹣x2+4x+5＝x+b得，
x2﹣x+（b﹣5）＝0，
∵△BPD面积最大，
∴方程由两个相等实数根，
∴（x﹣）2＝0
∴x＝，
当x＝时，y＝﹣（）2+5＝，
∴P（，），
如图2，
∵B（5，0），
∴直线PB的解析式是：y＝﹣x，
∴当x＝2时，y＝，
∴DE＝﹣（﹣5）＝，
∴S△BDP＝×（5﹣）＝，
即△BDP的最大面积是；
（3）∵B（5，0），D（2，﹣5），
∴y＝﹣（x﹣2）2+9平移后的关系式是y＝﹣（x+1）2+4，∴﹣（x+1）2+4＝0，
∴x＝1或x＝﹣3，
∴点E（﹣3，0），G（0，3），
如图3，
当点M落在抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点（﹣1，4）时，∠EGM＝90°，
根据MN∥EG，MN＝EG可得N（﹣4，1），
∴NE的解析式是y＝﹣x﹣3，
由﹣（x+1）2+4＝﹣x﹣3得，
x＝2或x＝﹣3（舍去），
∴M′（2，﹣5），
∴N′（5，﹣2），
当EG是对角线时，
设点M1（m，﹣m2﹣2m+3），
由M1E2+M1G2＝EG2得，
（x+3）2+（﹣x2﹣2x+3）2+x2+（﹣x2﹣2x）2＝32+32，
∴x1＝﹣3，x2＝0，x3＝，x4＝，
∴N1横坐标是：﹣3﹣＝，
N2横坐标是：﹣3﹣＝，
综上所述点N的横坐标是：﹣4或5或或．
5．解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．
则b＝2．
（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO＝AB，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB＝60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．
∴＝•（m＞0）．
∴m＝2．
∴A（，3），B（2，0）．
∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，
则，
解得．
故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．
6．解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：
∴﹣16+12+m＝0，
解得：m＝4，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函数对称轴为直线x＝；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4），
即OC＝4，
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∵S△ABD＝S△ABC，点D（x，y）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，
∴﹣x2+3x+4＝4，
解得：x＝0或3，
∴只有（3，4）符合题意．
∴点D的坐标为（3，4）；
（3）存在，理由：
①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，
∵A（4，0），AB＝5，
∴点Q′的坐标为（4，5）；
②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，
∴点Q的坐标为（，﹣），
故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．
7．解：（1）在y＝x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；
（2）设B点坐标为（x，0），
①当AC＝BC时，
，
解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，
∴B点坐标为（3，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，
，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
②当AB＝BC时，
，
解得：x＝，
∴B点坐标为（，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
③当AB＝AC时，
，
解得：x＝2或x＝﹣8，
∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），
i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，
综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；
（3）存在，理由如下：
当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，
此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
①当MN为正方形一边时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），
由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），
∴|2k|＝﹣k2+4，
解得：k＝±或k＝±6，
∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），
②当MN为正方形对角线时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），
∴||＝﹣×（）2+4，
解得：k＝，
∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．8．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
∵点N（n，0），
∴P（n，n2﹣2n﹣3），G（n，n﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，
当点N在y轴右侧，△BNG∽△CPG时，如图：
∵PN⊥x轴，
∴∠BNG＝∠CPG＝90°，
∴PN＝OC＝3，
∴n2﹣2n﹣3＝﹣3，解得：n＝2或0（与C重合，舍去），∴n＝2，
∴点N的坐标为（2，0）；
当点N在y轴右侧，△BNG∽△PCG时，如图：
∵△BNG∽△PCG，
∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，，
∴CG＝n，PG＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，NG＝3﹣n，BG ＝＝（3﹣n），
∴，解得：n＝1，
∴点N的坐标为（1，0）；
当点N在y轴左侧，△BNG∽△PCG时，如图：
∵△BNG∽△PCG，
∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，
∴CG＝|n|＝﹣n，PG＝（n2﹣2n﹣3）﹣（n﹣3）＝n2﹣3n，∴PG＝CG，即n2﹣3n＝×（﹣n），解得：n＝0或1（舍去），
综上所述，点N的坐标为（2，0）或（1，0）；
②当点N在y轴右侧时，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴NB＝3﹣n＝NG，
∴BG＝（3﹣n），
∵△PDG≌△BNG，
∴PG＝BG＝（3﹣n），
∴PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），
∴点P的坐标为（n，（n﹣3）（1+）），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍去）或n＝，
∴n＝；
当点N在y轴左侧时，
同理可得：n＝﹣，
综上所述，n＝±；
（3）①存在，理由如下：
AB为矩形的边时，如图：
设OC的中点为R（0，﹣），
由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，
则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，
此时函数的表达式为y＝x，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（3，）或（﹣1，﹣），
∴F（﹣1，）或（3，﹣）；
AB为矩形的对角线时，如图：连接EF交AB于G，作EH⊥x轴于H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，GB＝GE＝2，OG＝1，
∵直线OB1的表达式为y＝x，
∴OH＝2EH，
∵EH⊥x轴，四边形AFBE是矩形，
∴∠AHE＝∠BHE＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠BEH，
∴△AEH∽△EBH，
∴，即，
解得：EH＝或，
∴OH＝或，
∴OK＝OH﹣OG﹣OG＝或OK＝OH+1+1＝，
∴F（，）或（，）；
综上所述：存在，点F的坐标为（﹣1，）或（3，﹣）或（，）或（，）；
②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，
∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，
∵直线NN1的过点N（n，0），
故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，
联立①②并解得，
故点H的坐标为（，），
∵点H是NN1的中点，
由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），
将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，解得n＝，
故点N的坐标为（，0）或（，0）．9．解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x+8；
（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为直线x＝2，
令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，
∴x＝﹣4或x＝8，
∴C（8，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
过点E作EH⊥x轴交CD于点H，
设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），
∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，
∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，
∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，
此时E（3，），
连接BE，交对称轴于点F，连接CF，
∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，
∴BF＝CF，
∴CF+EF＝BF+EF≥BE，
当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，
∴BE＝＝；
（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：
平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），
∵四边形DMCN为菱形，
∴DC与MN为对角线，
∴，
∵CN＝CM，
∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，
∴x＝8+2或x＝8﹣2，
∴N（8+2，10+2）或N（8﹣2，10﹣2）．
10．解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为，
令y＝0，得，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）存在，
设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
如图1，设直线AD与y轴交于点E，
令x＝0，得y＝1，
∴OA＝OE＝1，
∴∠DAB＝45°，
过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，
过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，
延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，
延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，
延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，
延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，
则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，
∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），
直线AD的解析式是y＝x+1，
设平移后的抛物线解析式为，
结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，
将点（11，0）代入，
得，
解得t＝﹣48，
当抛物线与AD边有唯一公共点时，
是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，
将y＝x+1与联立方程组，
，
化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，
∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，
解得，
∴t的取值范围．
11．解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，
得c＝4，
将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，
得﹣16﹣4b+4＝0，
解得b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
由（1）得，直线AC的解析式为y＝x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
作点C关于直线x＝﹣的对称点G，则点G（﹣3，4）在抛物线上，∴OG＝＝5，
连接OG交直线x＝﹣于点H，连接CH、EG，则CE＝GE，CH＝GH，∴GE+OE＝CE+OE，
∵GE+OE≥OG，
∴CE+OE≥OG，
∴当点E与点H重合时，CE+OE＝CH+OH＝GH+OH＝OG＝5，此时CE+OE的值最小，∴CE+OE的最小值为5，
故答案为：5．
（3）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），
∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，
∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；8．
②存在，
如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，
当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴CB＝＝，
∵DF与BC互相垂直平分，
∴I为BC的中点，
∴I（，2），CI＝CB＝，
∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，
∴△ICR∽△OCB，
∴＝，
∴CR＝＝＝，
∴OR＝4﹣＝，
∴R（0，），
设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，
解得k＝，
∴直线DF的解析式为y＝x+，
由得，
∴F（，），
∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，
∴D（，）；
如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，
∵BD与CF互相垂直平分，
∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠JAB＝∠JBA＝45°，
∴JB＝JA，
∴JD＝JA，
∴∠JAD＝∠JDA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝1+4＝5，
∴D（﹣4，5）；
如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，∴CF＝CB＝，
作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，
∴∠LFC＝∠LCF＝45°，
∴LC＝LF，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FL∥OA，DF∥BC，
∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，
∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，
∴△DKF≌△COB（AAS），
∴KF＝OB＝1，KD＝OC，
∵QK＝OL，
∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，
∴D（，）；
如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，
作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，
∵∠LCF＝∠OCA＝45°，
∴∠LCF＝∠LFC＝45°，
∴LF＝LC，
∵CF＝CB＝，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FK∥OC，FD∥CB，
∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，
∴∠DFK＝∠BCO，
∵DF＝BC，
∴△DFK≌△BCO（AAS），
∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，
∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，
∴D（，），
综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．。