2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：(高考22题)12+4分项练4含答案

12＋4分项练4函数与导数
1．已知函数y＝xf′(x）的图象如下图所示(其中f′（x）是函数f（x)的导函数)，下列四个图象中y＝f（x）的图象大致是()
答案 C
解析由函数y＝xf′（x）的图象可知，
当x<－1时，xf′（x)〈0，f′（x)〉0,此时f（x)单调递增；
当－1〈x〈0时，xf′(x）>0，f′(x)<0，此时f(x）单调递减；
当0<x<1时,xf′（x）〈0,f′(x）〈0，此时f(x）单调递减;
当x>1时，xf′(x)〉0，f′（x）>0,此时f(x)单调递增．
故符合f（x)的图象大致为C。

2．(2017届吉林省实验中学二模）若函数f（x）＝错误!－错误!x2＋x在区间(1,2）上单调递减,则实数a的取值范围为()
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D．[2,＋∞)
答案 B
解析若函数f（x)＝错误!－错误!x2＋x在区间(1，2)上单调递减，则f′(x）＝x2－ax＋1≤0在［1,2］上恒成立，即a≥x＋错误!在［1，2]上恒成立,而错误!max＝2＋错误!＝错误!，即a≥错误!，故选B.
3．（2017届山西省太原市模拟）已知函数f（x)＝错误!e x＋错误!x2－x，若存在实数m使得不等式f（m)≤2n2－n
成立，则实数n的取值范围为()
A.错误!∪[1，＋∞)
B．（－∞，－1］∪错误!
C。

错误!∪错误!
D。

错误!∪［0,＋∞)
答案 A
解析对函数求导可得，
f′(x)＝错误!·e x＋错误!×2x－1，
∴f′(1）＝f′(1）＋f(0）－1，得f(0）＝1，
且f(0）＝错误!＝1，
∴f′(1）＝e,f（x）＝e x＋错误!x2－x，
f′（x)＝e x＋x－1,(f′(x))′＝e x＋1>0，
则函数f′(x)单调递增，而f′(0)＝0，
故f（x）min＝f（0）＝1，
由存在性的条件可得关于实数n的不等式2n2－n≥1，
解得n∈错误!∪[1，＋∞)．故选A。

4．(2017·山西省实验中学模拟)若点P是曲线y＝错误!x2－2ln x上任意一点,则点P到直线y＝
x－错误!的距离的最小值为（)
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案 C
解析点P是曲线y＝错误!x2－2ln x上任意一点，
所以当曲线在点P的切线与直线y＝x－错误!平行时,点P到直线y＝x－错误!的距离最小，直线y＝x－错误!的斜率为1，由y′＝3x－错误!＝1，解得x＝1或x＝－错误!(舍)．
所以曲线与直线的切点为P错误!.
点P到直线y＝x－错误!的距离最小值是错误!＝错误!。

故选C。

5．（2017届江西省南昌市三模）已知函数f′(x)是函数f（x）的导函数,f(1）＝错误!,对任意实数都有f（x）－f′(x)>0，则不等式f（x）<e x－2的解集为()
A．（－∞，e) B．(1，＋∞)
C．(1，e）D．（e，＋∞）
答案 B
解析 设g （x )＝错误!⇒g ′（x ）＝错误!〈0⇒g （x )在R 上是减函数，f （x )〈e x －2⇒错误!〈错误!⇒错误!<错误!⇒g （x )<g （1）⇒x >1，故选B 。

6．对于三次函数f (x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0),给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x ）是f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f （x 0))为函数y ＝f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f （x )＝
错误!x 3－错误!x 2＋3x －错误!，请你根据这一发现判断函数f (x )＝错误!x 3－错误!x 2＋3x －错误!的对称中心为（ ）
A 。

错误! B.错误!
C.错误! D 。

错误!
答案 A
解析 依题意，得f ′（x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x ）＝2x －1，
由f ″(x ）＝0,即2x －1＝0，得x ＝错误!，
又f 错误!＝1，∴函数f （x )＝错误!x 3－错误!x 2＋3x －错误!的对称中心为错误!.
7．（2017届陕西省西安市铁一中学模拟)已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x ），且当x ∈(0，＋∞）时，xf ′(x )－f （x )＝x ，若f (e ）＝e ，则f （x ）>0的解集为（ )
A ．（－∞，－e)∪(0,e ）
B ．（－e,0）∪（e ，＋∞）
C ．（－∞，－1）∪（0，1)
D ．(－1，0)∪（1，＋∞)
答案 D
解析 因为当x >0时，xf ′(x ）－f (x ）＝x ,
所以错误!＝错误!，即错误!′＝错误!，
所以f (x )＝x （ln x ＋c )，由f （e)＝e,解得c ＝0,
所以f (x ）＝x ln x (x >0)．
因为函数f (x ）为奇函数，所以f (x )＝x ln|x ｜，
由于f （x )>0，即x ln|x |〉0，
得⎩⎨⎧ x 〉0，ln x >0
或错误! 解得x >1或－1<x 〈0，故选D 。

8．（2017·安徽省蚌埠市质检)已知函数f （x ）＝x 错误!，曲线y ＝f （x ）上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ）
A 。

（－e 2,＋∞）
B 。

（－e 2，0）
C 。

错误! D.错误!。