2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题3【含答案】

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题
一、单选题1．已知，则（ ）
()2
f x x =()1f '
=A ．1B ．-1C ．2D ．-2
【答案】C
【分析】由题，利用基本初等函数的导数公式可求得导函数，代入即可求得结果
()
f x '1x =【详解】由题，故
，
()2f x x
'=()12
f '=故选：C 2．在等比数列中，，，则是（ ）
{}n a 39a =51a =4a A ．1B ．3
C ．
D ．1
±3
±【答案】D
【分析】利用等比中项求解即可.【详解】等比数列中, 因为成等比数列，
{}n a 345,,a a a 且
，，
39
a =51a =所以，
2435493a a a a =⋅=⇒=±故选：D.3．等差数列满足，，则该等差数列的公差（ ）
{}n a 23a =5824a a +=d =A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】根据等差中项公式与通项公式即可求解.【详解】依题意，因为是等差数列，且，，
{}n a 23a =5824a a +=故，解得，
2585273a a a a ++==59a =则
，解得.
5236
a a d -==2d =故选：B.
4．某校开学“迎新”活动中要把2名男生，3名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位
安排一人，其中甲岗位不能安排男生，则安排方法的种数为（ ）A ．72B ．56C ．48D ．36
【答案】A
【分析】先安排甲岗位，剩下的全排即可求解．【详解】先安排甲岗位，剩下的全排，则安排方法共有种，
14
34C A 32472
=⨯=故选：A.
5．（x
6展开式中常数项是（ ）
A ．第4项
B ．24
C C ．C
D ．2
4
6
4
6
【答案】B
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．
【详解】（x 6展开式的通项公式为，令60，求得
3
662
1662r
r r r r r r T C x C x
--+=⋅⋅=⋅⋅32r -=，
4r =可得展开式中常数项是•24，
4
6C 故选：B
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
6．从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成（ ）个三位偶数A ．30B ．24C ．18D ．36
【答案】A
【分析】分个位为0、个位为2或4两种情况讨论得解.
【详解】当个位为0时，先从1,2,3,4中选出两个数字排列在百位和十位，共有种方法；
2
4A 12=当个位为2或4时，先从2, 4中选出1个数字排列在个位，有种方法，再从剩下的3个非0数
12A 字中选一个排在百位，有种方法，最后从剩下的3个数字中选一个排在十位，有种方法，共13A 1
3A 有种方法.
111
233A A A 18
=综合得能组成个三位偶数.121830+=故选：A
7．已知，那么函数在处的瞬时变化率为（ ）
()sin 2f x x =2x π
=
A ．1
B ．0
C ．
D ．2-1
-【答案】C
【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，
()sin 2f x x =()2cos 2f x x '=2cos 22
22f ππ⎛⎫⎛⎫
'=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数在处的瞬时变化率为，
2x π
=
2-故选：C
8．已知等差数列
的前项和为，若，
，则的值为（ ）
{}n a n n S 11S =4
2
4S S =64S S A ．B ．C ．D ．4
3254
94
【答案】C
【分析】利用前项和的性质可求的值.
n n S 6
4S S 【详解】设
，则
2n S an bn
=+，故，故，1
164168a b a b a b +=⎧⎨+=+⎩10a b =⎧⎨=⎩2
n S n =，故选C.
64369164S S ==
【点睛】一般地，如果
为等差数列，为其前项和，则有性质：
{}n a n S n （1）若，则；
,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+m n p q
a a a a +=+（2）
且 ；
()
1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+=
= ()2121n n
S n a -=-（3）且为等差数列；2
n S An Bn =+n S n ⎧⎫
⎨⎩⎭（4）
为等差数列.
232,,,n n n n n S S S S S --
9．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为 ( )A ．
B ．3
C ．±
D ．±3
1313
【答案】B
【分析】由已知条件设出首项与公差，利用等比中项列式求出其关系，表示出第2、3项即可求出公比.
【详解】设等差数列公差为d ，首项为，则
，，，
1a 21a a d =+312a a d =+615a a d =+由等比中项公式：，化简可得：.
()()()2
1
1125a d a d a d +=++12d a =-所以：
，，作比可得公比为：3.
21
a a =-313a a =-故选B.
【点睛】本题考查等差数列的通项以及等比中项，根据题意列出等量关系式，由公比的定义即可求出结果.
10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（ ）A ．94B ．108
C ．123
D ．139
【答案】B
【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求出数列的通项公式，再求出该数列的第15项．【详解】设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，{}n a 则数列满足
，，
{}n a 13
a =11(2)n n a a n n --=- 所以()()112211()()()1213
n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++，(1)(11)(1)
33
22n n n n --+-=
+=+所以
．
1515(151)
31082a ⨯-=
+=故选：B
二、填空题
11．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）【答案】37
【解析】根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有种，12141137++=故答案为：37．
12．已知
，则________．34C C m m =m =【答案】7
【分析】根据组合数性质分析即可.C C r n r
n n -=【详解】因为
，故.C C r n r n n -=347m =+=故答案为：7
13．有个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边5的身高都递减，则不同的排法有____种.（用数字作答）【答案】6
【分析】根据排队问题中的顺序固定问题只选不排，以及分步计数原理计算求解即可．
【详解】最高的学生站在中间，有种排法，
1
1
C 1=再从其余四个同学中任意选取两个，站在最高同学的左边，由于身高从中间到左边递减，所以共有
种不同排法，
24C 6
=最后两名同学站在最高同学的右边，按身高从中间到右边递减，共有种排法，1则个身高均不相等的学生排成一排合影，不同的排法有种，51616⨯⨯=故答案为：6
14．已知
，则
________．
()4
234
012341x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++=【答案】1
-【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】因为
，
()4
234
012341x a a x a x a x a x -=++++令，得，0x =01a =令，得，
1x =012340a a a a a ++++=所以
.
12341a a a a +++=-故答案为：1
-15．已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：
2
()ln (1)f x a x x =--()a ∈R 12,x x ()1
2x x <
①函数有零点； ()f x ②a 的取值范围是；1,2
⎛⎫-+∞ ⎪
⎝⎭③
；
21
x > ④
．
()20
f x >其中所有正确结论的序号是___________．【答案】①④
【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，222()x x a
f x x --'=-
(1)0f =有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，
()0f x '=a 解出
，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结
2x a 21x <合③的解析，可得
，即④正确.
()()210
f x f >=【详解】由已知可得，定义域为，.
()f x ()0,∞+222()2(1)a x x a
f x x x x --'=--=-对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；
2
(1)ln1(110)f a =-=-()f x 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程
12,x x ()0
f x '=12,x x 有两个不同的正数解，
2220x x a --=12,x x 则应满足
，解得，故②错误；
()()121221002Δ242840x x a x x a a ⎧+=>⎪
-⎪
=>⎨⎪
⎪=--⨯⨯-=+>⎩
1
2a -<<对于③，解方程可得，
，所以
2
220x x a --=x
=
=12x x <，由②知，所以，所以，故③错误；
2x =
102a -<<0211a <+<21
1
2x <<对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；
()0
f x ¢>2220x x a --<12x x x <<()f x ()12,x x 解
可得，
或，所以
在
上单调递减，在上单调递减.
()0
f x '<1
0x x <<2x x >()
f x ()10,x ()2,x +∞由③知，所以，故④正确.
21
12x <<()()210f x f >=故答案为：①④.
三、解答题16．已知函数．
()()+1e x
f x x =(1)求函数的单调区间；
()
f x (2)求
在区间上的最大值和最小值．
()
f x [4,0]-【答案】(1)单调增区间为
，单调减区间为()2,-+∞(,2)
-∞-(2)最大值为1，最小值为2
1e
-
【分析】（1）根据题意，求导得到
即可得到其单调区间；
()
f x '（2）根据题意，由（1）中的单调区间即可得到其最值.
【详解】（1），
()e (+1)e (2)e x x x f x x x '=+=+时，，的单调增区间为，
2x >-()0f x '>()f x ()2,-+∞时，，的单调减区间为，
<2x -()0f x '<()f x (,2)-∞-所以函数单调增区间为
，单调减区间为.
()2,-+∞(,2)-∞-（2）由（1）知在上递减，在上递增，()f x [4,2)--(2,0]-当时，有极小值即最小值为
．
2x =-()f x 21
(2)e f -=-
，，.(0)1f =4
3
(4)e f -=-所以最大值为，最小值为(0)1f =2
1
(2)e f -=-
17．在等差数列中，{}n a 246,14.
a a ==(1)求的通项公式；{}n a (2)若
是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和.
{}n n b a -16b ={}n b n n S 【答案】(1)()
*42N n n -∈(2)
，
()
14242n n b n -=+- 22
242n n S n +=-+【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
d
（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和
{}n n b a -n b 法即可得解.
【详解】（1）设公差为，则，解得，
d 4228
a a d -==4d =则
，所以，
2146
a a =+=12=a 所以；
()*42N n a n n =-∈（2），114b a -=因为是公比为2的等比数列，
{}n n b a -所以，
1
42n n n b a --= 所以，.
()
14242n n b n -=+- 所以..
()()2141222213521n n S n -=+++++++++-⎡⎤⎣⎦
.
()()22
12121224212
42
n n n n n +-+-=
+⨯
=-+-18．已知数列中，， ，其中 ．
{}n a 11a =N n *
∈从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，
{}n a n 21n n S =-12n n a a +=48a =2
12n n n a a a ++=补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设
，求证：数列
是等差数列；
2log n n
b a ={}n b (3)设数列
，求数列的通项公式及前20项和 ．
121
n n n c b b ++=
{}n c 【答案】(1)；
1
2n n a -=(2)证明见解析；(3)
，.
111n n n c =
-+2021【分析】（1）选①，利用与的关系求出即可；选②③，判断等比数列，再利用等比数列定
n a n S n a
义求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用等差数列定义判断作答.n b （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）选①，当时，，当时，，满足上式，
2n ≥11
1222n n n n n n a S S ---=-=-=1n =111a S ==所以数列的通项公式是 .
{}n a 1
2n n a -=选②，依题意，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，
{}n a 所以数列的通项公式是.
{}n a 1
2n n a -=选③，由，，知，，则数列为等比数列，
2
12n n n a a a ++=11a =48a =0
n a ≠{}n a 公比为，有
，解得，
q
34
1
8a q a =
=2q =所以数列的通项公式是.
{}n a 1
2n n a -=（2）由（1）知，，显然，
122log log 21
n n n b a n -===-1(1)1+-=--=n n b b n n 所以数列
是以1为公差的等差数列.
{}n b （3）由（2）知，，
()121111
11
n n n c b b n n n n ++=
==-
++.
122011111(1)()()22310120
1212221c c c =-+-+-+++=-=
+ 19．已知函数.
()ln 1f x x x =-+(1)求函数在点处的切线方程；
()f x (1,(1))f (2)设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.()()g x xf x =()g x 2-【答案】(1)22y x =-(2)证明见解析
【分析】（1）求得，得到，进而求得切线方程；1
()1
f x x '=
+()(1)2,10f f '==（2）求得
，令
，得到
，得出函数
在上
()ln 2g x x x '=+()()ln 2h x g x x x
'==+()0
h x '>()
g x '(0,)+∞单调递增，进而得到存在使得，求得函数的单调性与极小值，
01
(,1)e x ∈()00g x '=()2000
g x x x =--
结合时，函数单调递减，即可求解.
01
(,1)e x ∈()2000
g x x x =--【详解】（1）解：由的定义域为，可得，
()ln 1f x x x =-+(0,)+∞1
()1f x x '=
+则
，即切线斜率为且切点为，
()(1)2,10
f f '==2k =(1,0)所以切线方程为.22y x =-（2）解：由，可得函数
的定义为，
()()2
ln g x xf x x x x x ==-+()
g x (0,)+∞且，
()ln 2g x x x
'=+令
，可得
，所以单调递增，
()()ln 2h x g x x x
'==+()1
20h x x '=
+>()h x 即函数
在上单调递增，
()
g x '(0,)+∞又由，所以存在
使得，()12120,()10e e g g ''=>=-+<01,1e x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭()00g x '=当时，，单调递减；
0(0,)x x ∈()0g x '<()g x 当
时，
，
单调递增，
0(,)
x x ∈+∞()0
g x '>()
g x 所以当
时，函数取得极小值，无极大值，
0x x =()g x 因为，且
，()000ln 20g x x x '=+=()2
2
200000
0011ln 24g x x x x x x x x ⎛
⎫=-+=--=-++
⎪⎝⎭又因为时，函数单调递减，
01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2
000g x x x =--所以
，即，
()()012
g x g >=-2
002x x -->-所以函数存在唯一的极小值点且极小值大于.
()
g x 2-20．已知()ln f x x ax a
=-+(1)若
在处取到极值，求的值；
()
f x 1x =a (2)若存在使得
，求的范围；
0(0,)x ∈+∞0()0
f x >a (3)直接写出零点的个数，结论不要求证明.()f x 【答案】(1)1(2)
()()
11,∪,-∞+∞(3)且有一个零点;且有两个零点
1a =0a ≤0a >1a ≠
【分析】（1）由题可得
，即可得a ，但要注意检验；分，两种情况讨论单()10f '=0a ≤0a >()f x 调性，结合可得答案；（3）由（2）分析可得答案；()10
f =【详解】（1）的定义域为，
，，所以，又时，()f x (0,)+∞()1f x a x '=-()110f a '=-=1a =1a =，，得在上单调递增，在上单调递减，即在
()ln 1f x x x =-+()11f x x '=-()f x ()0,1()1,+∞()f x 处取到极大值. 故.1x =1a =（2）注意到
，又时，恒成立，于是在单调递增；则存()10f =0a ≤()10f x a x '=->()f x ()0,∞+在使得；01x >0()0
f x >当时，令：，得.0a >()10f x a x '=-=1x a =当时，，当时，，
10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>1()x a ∈+∞()0f x '<于是可以得到函数在上单调递增，在单调递减.则有极大值点()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()a +∞()f x 1a
.若，可得在单调递减，于是，则
满足题意；11a <()f x 1(,1)a 1()(1)0f f a >=01x a =若，则，则此时不存在相应的；
11a =()max 1()(1)0f x f f a ===0x 若，可得在单调递增，于是.则满足题意.11a >()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()(1)0f f a >=01x a =综上：的范围是；
a ()()11,∪,-∞+∞（3）且有一个零点；且有两个零点1a =0a ≤0a >1a ≠21．已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项
，，在{}中都存在一n a n a m a n a n a 项，使得，则称数列{}具有性质P ．
i a i m n a a a =n a (1)已知，判断数列{}，{}是否具有性质P ；
()3,321,2,n n a n b n n ==+= n a n b (2)若数列{}具有性质P ，证明：{}的各项均为整数；
n a n a (3)若，求具有性质P 的数列{}的个数．
120a =n a 【答案】(1)数列具有性质，数列不具有性质{}n a P {}n b P
(2)证明见解析
(3)12个
【分析】（1）根据数列{}具有性质P 的定义即可求解；
n a （2）设数列的公差为，由题意，存在
使得，同理，存在使得，两式{}n a d i a 1i n n a a a +=j a 2j n n a a a +=相减，根据等差数列的定义即可得证；
（3）由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数，首先证明为正整数，其次证明{}n a d d 为的约数，从而即可求解.
d 11(1)a a -【详解】（1）解：因为，所以，
3n a n =()3333mn m n =⨯所以对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得， n a m a n a n a 3i mn a a =i m n a a a =所以数列具有性质，
{}n a P 因为，所以取，则，
32n b n =+1,2n m ==5840m n a a =⨯=因为，
403131=⨯+所以不存在一项，
40i a =所以数列不具有性质；
{}n b P （2）证明：设数列的公差为，
{}n a d 因为数列具有性质，所以存在
使得，同理，存在使得，{}n a P i a 1i n n a a a +=j a 2j n n a a a +=两式相减，得，即，
21()j i n n n a a a a a ++-=-()n j i d a d -⋅=⋅因为，所以，
0d ≠n a j i =-所以的各项均为整数．
{}n a （3）解：由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数，{}n a d 首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，d d {}n a {}n a 1a 由题设，中存在某项，且，所以，{}n a 0k a <1||||k a a >11k k a a a +>从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；
i 1i k k a a a +≠{}n a P 其次证明为的约数，
d 11(1)a a -由得，，
i m n a a a =111(1)[(1)][(1)]a i d a m d a n d +-=+-+-
所以，
111(1)1(2)(1)(1)a a i m n a m n d d --=++-+--所以为整数，即为的约数，
11(1)
a a d -d 11(1)a a -由为正整数，所以为的正约数，
d d 2019⨯因为，所以的正约数共有个，
201922519⨯=⨯⨯⨯2019⨯32212⨯⨯=对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，202019⨯P 所以具有性质的数列共有个．
P {}n a 12【点睛】关键点点睛：解决本题（3）问需结合（2）的结论，得的各项均为整数，所以为整{}n a d 数，进而证明为正整数，然后再证明为的约数，这里牢牢抓住性质P 的定义及等差数d d 11(1)a a -列的通项公式是解题的关键.。