选修2-1数学课后习题答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答
第一章 常用逻辑用语
1．1命题及其关系
练习（P4）
1、略.
2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.
3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.
（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.
（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.
练习（P6）
1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题. 否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题. 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.
2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.
否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.
逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
练习（P8）
证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--
()()2()23
22310
a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=
所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.
习题1.1 A 组（P8）
1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.
2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题. 否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.
逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.
（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.
否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.
逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.
3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点
的距离相等.
逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不
相等. 这是真命题.
逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线
上. 这是真命题.
（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.
逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.
否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.
逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.
4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.
习题1.1 B 组（P8）
证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.
此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.
1．2充分条件与必要条件
练习（P10）
1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.
2、（1）. 3（1）.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.
练习（P12）
1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；
（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；
（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.
2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；
（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.
习题1.2 A 组（P12）
1、略.
2、（1）假； （2）真； （3）真.
3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；
（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.
4、充要条件是222a b r +=.
习题1.2 B 组（P13）
1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.
2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=.
所以222()()()0a b a c b c -+-+-=
所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.
即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.
（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==
所以222()()()0a b a c b c -+-+-=
所以2220a b c ab ac bc ++---=
所以222a b c ab ac bc ++=++
1．3简单的逻辑联结词
练习（P18）
1、（1）真； （2）假.
2、（1）真； （2）假.
3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；
（3）1≠-，真命题.
习题1.3 A 组（P18）
1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；
（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.
3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；
（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；
（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.
习题1.3 B 组（P18）
（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；
（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；
（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；
（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.
1．4全称量词与存在量词
练习（P23）
1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.
练习（P26）
1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；
（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.
2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；
（3）所有实数的绝对值都是正数.
习题1.4 A 组（P26）
1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.
3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；
（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.
习题1.4 B 组（P27）
（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；
（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；
（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；
（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.
第一章 复习参考题A 组（P30）
1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等. 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；
否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.
2、略.
3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.
5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；
（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；
（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.
6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；
（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.
第一章 复习参考题B 组（P31）
1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.
2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；
（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C
==.
新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答
第二章 圆锥曲线与方程
2．1曲线与方程
练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.
2、3218,2525
a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .
（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -=
=-- 所以，122
CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2
t y x --=
-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -. 由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22
t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42
t y -=， 得422
x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)
此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①
由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.
习题2.1 A 组（P37）
1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；
点(2,3)B -不在此曲线上
2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12
c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.
4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).
由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.
所以，13y y x x
⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠
当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.
解方程组 222230650
x
y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533
x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，
利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，
即2230x y x +-=. 其他同解法一.
习题2.1 B 组（P37）
1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为
1x y a b +=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以
341a b += 因此，430ab a b --=
由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.
2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E
， F ，则4AE =，2CF =.
ME =，MF =.
连接MA ，MC ，因为MA MC =，
则有，2222
AE ME CF MF +=+
所以，22
(3)(3)1641010
x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.
2．2椭圆
练习（P42）
1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.
2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或22
13616
y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.
（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.
由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.
所以，1AF B ∆的周长420a ==.
（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.
4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得
直线AM 的斜率 1AM y k x =
+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM
y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211
y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠
因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.
练习（P48）
1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .
点12,F F 就是椭圆的两个焦点.
这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F =
所以，2OF c =. 同样有1OF c =.
2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；
（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.
3、（1）2213632x y +=； （2）22
12516
y x +=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22
110064
y x +=.
5、（1）椭圆22
936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，
12>，所以，椭圆22
11612
x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；
（2）椭圆22
936x y +=的离心率是3，椭圆22
1610x y +=的离心率是5，
因为35>22
1610
x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.
6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737
--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）
1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，
点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是22
12516
y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或22
14940
y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；
（2）不等式x -≤，101033
y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.
4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =
，
焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，
(0,2)；
（2）长轴长218a =，短轴长26b =
，离心率e =，
焦点坐标分别是(0,-
，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).
5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或22
1819
y x +=； （3）221259x y +=，或22
1259
y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.
因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112
P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154
x +=
，解得x = 所以，点P
的坐标是(1)±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.
所以，QO QA QO QP OP r +=+==.
又因为点A 在圆内，所以OA OP < 根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.
8、解：设这组平行线的方程为32
y x m =+. 把32
y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--
（1）由0∆>
，得m -<< 当这组直线在y
轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.
（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .
则 1223
x x m x +==-.
（第7题）
因为点M 在直线32y x m =+上，与3
m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条
直线上.
9、22
22
13.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.
习题2.2 B 组（P50）
1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，
则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023
y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以220
04x y += ……②. 将①代入②，得点M 的轨迹方程为2
2449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .
分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=
配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=
当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=
12= ……③
化简方程③.
先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x + ……④
将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤
将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 22
13627
x y += ……⑥
由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，
（第4
12= ……①
由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.
并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a = 所以236927b
=-=.
于是，动圆圆心的轨迹方程为22
13627
x y +
=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫
==⎨⎬⎩
⎭
由此得
1
2
= 将上式两边平方，并化简，得 2
2
3448x y +=，即22
11612
x y +
= 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点， ,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；
933
(4,),(4,),(4,)424R S T '''.
直线ER 的方程是33y x =-；
直线GR '的方程是3
316
y x =-
+. 联立这两个方程，解得 3245
,1717x y ==.
所以，点L 的坐标是3245
(,)1717.
同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621
(,)2525
.
由作图可见，可以设椭圆的方程为22
221x y m n
+=(0,0)m n >> ……①
把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得
22114m =，22
11
3n =
. 所以经过点,L M 的椭圆方程为22
1169
x y +
=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121
()()11625925⨯+⨯=，
所以，点N 在22
1169
x y +
=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆22
1169x y +
=上. 2．3双曲线 练习（P55）
1、（1）221169x y -
=. （2）22
13y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上
所以，可设它的标准方程为22
221y x a b -=(0,0)a b >>
将点(2,5)-代入方程，得22
2541a b
-=，即2222
4250a b a b +-= 又 2236a b +=
解方程组 2222
22
4250
36
a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得4250
36mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩
解得 20
16m n =⎧⎨=⎩
，或459m n =⎧⎨=-⎩
第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==
所求双曲线的标准方程为
22
12016
y x -=
解法二：根据双曲线的定义，有2a =.
所以，a =
又6c =，所以2362016b =-=
由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为
22
12016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.
3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）
1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；
焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4
e =
. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；
焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；
焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；
焦点坐标为；离心率5
e =
2、（1）221169x y -
=； （2）2213628y x -=. 3、22
135x y -= 4、22
11818
x y -
=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25
(,3)4
习题2.3 A 组（P61）
1、把方程化为标准方程，得
22
16416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.
2、（1）
2212016x y -=. （2）22
12575
x y -=
3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53
e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54
e =
； 4、（1）
2212516x y -=. （2）22
1916y x -=
（3）解：因为c
e a
=
=，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22
221y x a a -=.
将(5,3)-代入上面的两个方程，得 222591a a -=，或2
2925
1a a
-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.
所以，所求的双曲线方程为22
11616x y -
=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.
根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.
6、22
188x y -
=. 习题2.3 B 组（P62）
1、22
1169
x y -
= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，
因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.
使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.
又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.
因此，所求双曲线的方程为
22
1260100229900
x y -=. 3、22
221x y a b
-=
4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .
设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-
把1y kx k =+-代入双曲线的方程2
2
12
y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①
所以，122(1)
22x x k k x k +-=
=
- 由题意，得2
(1)
12k k k -=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.
根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.
所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.
2．4抛物线 练习（P67）
1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.
2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程1
8
y =-；
（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程5
8x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；
3、（1）a ，2
p
a -. （2
）
，(6,-
提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，
所以 39x +=，6x =
，y =±练习（P72）
1、（1）2
16
5
y x =； （2）220x y =；
（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-
与抛物线的方程2
4y x =联立 22
4y x y x =-⎧⎨=⎩
解得
1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y
，则AB =
=
=. 4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.
将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =
，即y =±. 因为
22AB y ==⨯== 所以，3a =
因此，直线AB 的方程为3x =.
习题2.4 A 组（P73）
1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程1
2y =-；
（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程3
16y =；
（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程1
8x =；
（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程3
2x =-.
2、（1）28y x =-； （2
）
，或(4,-
3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2
p
x =-
. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32
p
x =
. 将32
p
x =
代入22y px =
中，得y =. 因此，点M
的坐标为3()2p
，3(,)2
p
.
4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）
5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM
所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为
1)y x =-
与抛物线2
4y x =
联立，得2
1)142
y x y x ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩
将1代入2得，231030x x -+=，解得，11
3
x =，23x = 把11
3
x =
，23x =分别代入①得
1y =
，2y = 由第5
题图知1(,3不合题意，所以点M
的坐标为.
因此，4FM ==
6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得
3x =± 则
321y =±=± 因为
OB k =
，OA k = 所以
15
195
OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥
7、这条抛物线的方程是2
17.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，
设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =
因此，抛物线方程为2
2x y =- ……①
水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-
，x =
这时水面宽为 m.
习题2.2 B 组（P74）
1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .
根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212
y px =
. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8
p
的抛物线.
2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
（第
8
则 2112y px =，2
2
22y px =. 又OA OB =，所以 2222
1122x y x y +=+
即2212
12220x x px px -+-=，22
1212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒
，所以
11tan30y x =︒=
. 因为2
112y x p
=
，所以1y =
，因此12AB y ==.
3、解：设点M 的坐标为(,)x y
由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM y
k x x =
≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1
BM y
k x x =≠-.
由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y
x x x -=≠±+-，化简，得
2(1)(1)x y x =--≠±
第二章 复习参考题A 组（P80）
1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.
因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22
221(0)x y a b a
+=>>.
则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，
22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =
所以 b ==用计算器算得 7722b ≈
因此，卫星的轨道方程是
22
22
177837722x y +=. （第1
2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221
22
2
R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
因此卫星轨道的离心率21
12
2c r r e a R r r -=
=++. 3、（1）D ； （2）B .
4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.
（2）当090α︒<<︒时，方程化成2
2
11cos y x α
+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.
（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x
轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=
得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=- 令 0∆<
，解得k >
k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k
的取值范围为2k >
，或2
k <- 6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2p
p -
设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .
因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.
所以，2
PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.
7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.
直线FA 的方程为
)2
p
y x =
-
与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=
解方程，得 12)y p =，22)y p =-
把12)y p =代入)2p y x =
-，得 17
(2x p =+.
把22)y p =-代入)2p y x =
-，得 27
(2
x p =-.
所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27
((2))2
A p p -.
根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17
((,2))2B p p +-+，
27
((,2))2
B p p --
所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.
把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.
1265m
x x +=-，2123610m x x += ……①
由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②
把①代入②，解得 m =
所以，直线l 的方程为2y x =±
9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .
并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.
把12y kx k =+-代入双曲线的方程2
2
12
y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……①
所以，122(12)
22x x k k x k +-=
=- 由题意，得2
(12)
22k k k -=-，解得4k =
当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=
根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.
10、解：设点C 的坐标为(,)x y .
由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5
AC y
k x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5
BC y
k x x =≠- 由题意，得AC BC
k k m =. 所以，(5)55
y y
m x x x ⨯=≠±+-
化简得，
22
1(5)2525x y x m
-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点
(5,0),(5,0)-；
当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；
11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.
点P 到直线3y x =+的距离
d =
=
=
当2y =时，d
. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).
12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱
顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.
设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-
因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 2
42(4)p =--
解得 24p =-
为24x y =-.
（第12题）
设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -
把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.
第二章 复习参考题B 组（P81）
1、12243PF F S ∆=
2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.
把x c =-代入椭圆方程，解得 2
b y a =±. 所以，点P 的坐标是2(,)b
c a -
直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2b
k a =-.
由题意，得
2b b
ac a =，所以，b c =，2a c =. 由已知及1F A a c =+，得 105a c +=所以 (12)105c += 5c =所以，10a =，5b =因此，椭圆的方程为22
1105
x y +
=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .
由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.
由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①
由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54
p = 当54p =
时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54
p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.
对于抛物线，有
176352922922
p
=+=， 所以，4584p =，29168p =.
对于双曲线，有2080
529
c a c a +=⎧⎨-=⎩
解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.
所以，所求双曲线的方程是
22
1601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，
双曲线的方程是
22
1601400.31100320
x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y
由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1
AM y
k x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1
BM y
k x x =
≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以
2(1)11
y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±
所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.
6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；
（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成
22
131
x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；
③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.
7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.
证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .
由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.
所以，AB AF BF AD BE =+=+.
设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .
显然MC ∥x 轴，
所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11
()22
MC AD BE AB =+=.
因此，点C 在以AB 为直径的圆上.
又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：
对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.
新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答
第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）
1、略.
2、略.
3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）
1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .
2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12
x y ==. 3
练习（P92） 1、B .
2、解：因为AC AB AD AA ''=++，
所以2
2()AC AB AD AA ''=++
222
2222()4352(0107.5)85
AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=
所以85AC '=3、解：因为AC α⊥
所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.
所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.
2
CD CD CD =⋅
2
2
2
222
()(
)CA AB BD CA AB BD CA AB BD
a b c =++⋅++=++=++
所以CD .
练习（P94）
1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面， 于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.
2、共面
2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；
BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-
CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+
（2）1111
()2222
OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++.
练习（P97）
1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.
2、略.
3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1
(1,,0)2M ，(0,1,0)C
所以，1(1,1,1)
DB =，1
(1,,0)2
CM =-.
所以，111110
cos ,3DB CM DB CM DB CM
-
+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）
1、解：如图，（1）AB BC AC +=；
（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；
（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11
()33AB AD AA AC AG ''++==.
向量,,,AC AC AM AG '如图所示
.
（第1
2、A .
3、解：2
2()AC AB AD AA ''=+
+
222
2222()15372(535737222
98AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+
所以，13.3AC '≈.
4、（1）2
1cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=
； （2）21
cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；
（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11
()22GF AC a ==；
（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11
()22EF BD a ==；
（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11
()22
FG AC a ==；
（6）11
()22
GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅
2111
()222111
424
111
cos120cos60cos6042414
DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=
5、（1）60︒； （2）略.
6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.
7、（1）9； （2）(14,3,3)-.
8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103
x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-
设AB 的中点为M ，119
()(,,2)222OM OA OB =+=-，
所以，点M 的坐标为19
(,,2)22
-，(AB =-
10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.
则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1
(1,1,)2
N .
1(1,1,)2CM =-，11
(1,1,)2D N =-
所以2312CM ==，213
12
D N ==
11
1114cos ,994
CM D N --
<>=
=- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2
π
因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为1
9
.
11、31(,,3)22
-
习题3.1 B 组（P99）
1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥
∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.
∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.
2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.
∴ 12EF AB =
，1
2
HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.
1122EF EH AB OC ⋅=⋅11
()()44
OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅
∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥
∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.
3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD
证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，
建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、
y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.
∵ BD α⊥.
∴ BD i ⊥，BD j ⊥.
∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.
∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.
∴ BD ∥OA .
3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）
1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .
2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）
2247u v u v
⋅=-
，α与β相交，交角的余弦等于2247
.
练习（P107）
1、证明：设正方形的棱长为1.
11D F DF DD =-，AE BE BA =-.
因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111
()()00022
D F A
E D
F DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .
2、解：2
2()CD CD CA AB BD ==++
222
222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒= ∴68CD =
（第3
练习（P111）
1、证明：1
()()2
MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅
222211
()22
111
cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++
-⋅=+︒+︒-︒=
∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.
2、解：2
22222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）
22222cos d l m n mn θ=--，所以
AA d '=3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标
系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11
(,1,)22
O .
∵ 11
(,1,)(1,0,1)022
DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥
习题3.2 A 组（P111）
1、解：设正方形的棱长为1
（1）1
()()2
MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+
=
，212MN CD '⋅== 1
1
2cos 12
θ==，60θ=︒.
（2）1
()2
MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=
，21MN AD ⋅
=
= 1
cos 2θ==，45θ=︒.
2、证明：设正方体的棱长为1
因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.
因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .
3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.
4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1
AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1
AC EF ⊥.
因此，1
AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1
因为1111
()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，2
11(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3
θ=-.
因此1
DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos α=
. 5、解：（1）2
22211111
()()22222
DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++
-=++ 11
(111111)42=+
+-+-= 所以，2
DE =
（2）11111
()()22222
AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，3AE AO ⋅
=
1
cos 3θ===
，sin 3θ=
点O 到平面ABC
的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .
以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、
z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：
(0,0,0)O ，2D ，1(0,,0)2B ，3
(0,,0)2
C ，
(0,0,)2A .
∴3((4DO DA ⋅=-
⋅=，18DO DA
⋅=，cos 2
θ=. ∴ AD 与平面
BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)()022
BC DA ⋅=⋅-
-=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒. （3）设平面ABD 的法向量为
(,,1)x y ，
则1(,,1)(,,1)(0,,022
x y AB x y ⋅=⋅=，
(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =
，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.
(0,0,1)1⋅=
，cos θ=
=
因此，二面角A BD C --
的余弦cos cos()απθ=-=. 7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.
因为AB ∥α，所以
123412
x y z
-+==-. 因为226AB α=
=26. 解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.
8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，
(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222
a a h
E -.
（1）22
2233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE
-
-⋅-<>=
=+. （2）22
3(,,)(,,)02222
a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-
=，222h a = 222222
641
cos ,10123
h a a BE DE h a a --<>===-+ 9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111
(,,)222
O -，
1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1
(0,0,)2
M .
因为10OM AA ⋅
=，10
OM BD ⋅=， 所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2
OM =
=. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，
(,,)D x y z .
因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.
由24BD ==
，25CD == 解得12z =
，x =
1
cos 2
BD AC BD AC
θ⋅=
=
⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.
11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，
(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3
(2,,4)2
D ，(0,3,)P z .
由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，9
3
8tan 38
PB OB θ===.
12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离
1MP =，点N 到二面角
的棱的距离1NQ =
，QM PN ==
PQ =
2
2
cos 2PQ MN
PQ MN
θ⋅====
⋅， 45θ=︒. 习题 3.2 B 组（P113）
1、解：1
2222
ABC S ∆=⨯⨯=，
()224502AD BE AB BD
BE ⋅=+⋅=︒+=，
20
2cos AD BE AD AD θ⋅==
，20AD =，204BD ==. 18
4233
ABCD V =⨯⨯
=
2、解：（1
）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，
(1,1,0)F
，,0,1)M
，
,0)N . 2
22
1)1MN a =-=-+
，MN =（2
）2211()22a a -+=-
+，当2
a =时，MN 的长最小.。