陕西省咸阳市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(理科)试题 (含答案与解析)_2907

咸阳市2024年高考模拟检测（二）
数学（理科）
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．
1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 的共轭复数的虚部为（
）
A. 12-
B.
72
C.
72i D. 72
-
2. 已知集合1
05x A x x ⎧
⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(
){
}
22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（ ）
A. ()1,4-
B. []1,4-
C. (]1,5-
D. ()4,5
3. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=
（ ）
A.
B.
34
C. 34
-
D. 32
-
4. 已知角α始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（ ） A.
1
5
B. 95
-
C. 75
-
D. 15
-
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ） A. 30
B. 58
C. 60
D. 90
6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
的
A. 5050
B. 4950
C. 166650
D. 171700
7. 已知平面区域Ω
中的点满足
))
110x y x y ⎡
⎤⎡⎤+--
+<⎣⎦⎣
⎦
，若在圆面222x y +≤中任取一点
P ，则该点取自区域Ω的概率为（ ） A
13
B.
14
C. 16
D.
17
8. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72
B. 120
C. 216
D. 240
10. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（ ）
A. B.
.
C. D.
11. 已知点F 为双曲线22
1169x y -
=的右焦点，过点F 的直线l （斜率为k ）交双曲线右支于M ，N 两点，若线段MN 的中垂线交x 轴于一点P ，则
MN PF
=（ ）
A.
54
B.
58 C. 4
5 D. 85 12. 已知函数()222cos
22
x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. ()0,1 C. [)1,-+∞ D. (],1-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49a b
+的最小值为________．
14. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．
15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边
AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．
16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角
D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17. 已知正项数列{}n a 满足()
222
1212
n n n a a a +++⋅⋅⋅+=
，*N n ∈．
（1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；
（2）若2
11n n n c a a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 10
40
50
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．
α 0.100 0050 0.010 0.005 0.001
a χ 2706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差．
19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若
,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．
（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；
（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π
3
．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．
20. 已知两圆1C ：()2
2125x y -+=，2C ：()2
211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，
..
与圆2C 相外切．
（1）求点C 轨迹方程；
（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值． 21. 已知函数()1
e
ln x f x a x a -=-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()ln 1f x x x ≥-+，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,
1sin x t y t αα=⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数()2133f x x x =++-． （1）解不等式()5f x >；
（2）设函数()2
312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．
1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 共轭复数的虚部为（
）
A. 1
2-
B.
72
C.
72i D. 72
-
【答案】D 【解析】
【分析】根据复数除法运算可求得z ，由共轭复数和虚部定义可求得结果.
的的
详解】由()1i 34i z -=+得：()()()()
34i 1i 34i 17i 17
i 1i 1i 1i 222z +++-+=
===-+--+， z ∴的共轭复数17i 22
z =--，则其虚部为7
2-.
故选：D.
2. 已知集合1
05x A x x ⎧
⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(
){
}
22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（ ）
A. ()1,4-
B. []1,4-
C. (]1,5-
D. ()4,5
【答案】B 【解析】
【分析】计算出集合A 、B 后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由
1
05x x +≥-，即()()15050
x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得15x -≤<，故{}15A x x =-≤<， 由(
)2
2log 16y x =-，可得2160x ->，即>4x 或<4x -，故{}
R 44B x x =-≤≤ð， 故(){}
R 14A B x x ⋂=-≤≤ð. 故选：B.
3. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=
（ ）
A.
B.
34
C. 34
-
D. 3
2
-
【答案】C 【解析】
【分析】借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得
【详解】22111131224
44AE EB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-=- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
. 故选：C.
【
4. 已知角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（ ） A.
1
5
B. 95
-
C. 75
-
D. 15
-
【答案】C 【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由二倍角公式代入计算可得. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P -， 所以
sin α=
=
，
cos α==， 所以2sin2cos22sin cos 2cos 1ααααα+=+
-
2
7
2215=⨯+⨯-=-. 故选：C
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ） A. 30 B. 58
C. 60
D. 90
【答案】D 【解析】
【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得. 【详解】由数列{}n a 为等差数列，
故4S 、84S S -、128S S -、1612S S -、2016S S -亦为等差数列， 由42S =，812S =，则8410S S -=，
故12818S S -=，161226S S -=，201634S S -=，
即有1281830S S =+=，16122656S S =+=，12063490S S ==+. 故选：D.
6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 5050
B. 4950
C. 166650
D. 171700
【答案】D 【解析】
【分析】把问题转化成为求数列的和，根据数列求和的方法求解. 【详解】问题转化为：已知{}n a 中，n a n =，
n A 是数列{}n a 的前n 项和，n S 是数列{}n A 的前n 项和.最终求100S .
所以()2111
2
22
n n n A n n +=
=
+， ()
()22210011121001210022S =
++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+11001012015050
262
⨯⨯=⨯+171700=. 故选：D
【点睛】关键点点睛：正整数前n 项的平方和公式：()()2
2
2
2
1
1231216
n n n n +++⋅⋅⋅+=
++要记清，这是求解的一个重点.
7. 已知平面区域Ω中的点满足))
110x y x y ⎡
⎤⎡⎤+--
+<⎣⎦⎣
⎦
，若在圆面222x y +≤中任取一点
P ，则该点取自区域Ω的概率为（ ） A.
13
B.
14
C. 16
D.
17
【答案】B 【解析】
【分析】先求出A 、B 所表示区域的面积，然后代入几何概率公式，计算即可得答案． 【详解】根据题意可得集合22{(,)|2}A x y x y =+≤所表示的区域
即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为2π，
集合
))
}{(,)|110B x y x y x y ⎡
⎤⎡⎤=+--
+<⎣⎦⎣
⎦
，
表示的平面区域即为图中的阴影部分，设,xOA xOB αβ=∠=∠，
所以tan 1,tan 1βα=
=
=-， ()
tan tan tan tan 11tan tan AOB βα
βαβα-∠=-===+⋅，
所以π
4AOB ∠=，所以阴影部分的面积为：21ππ42
S r ==， 根据几何概率的计算公式可得
π
122π4
P ==
， 故选：B ．
8. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数的性质可得43
cos sin ,sin cos ,55
x x θθ=-=-=-=-即可由和差角公式求解.
详解】()3sin 4cos 5sin ,y x x x θ=+=+其中34
cos ,sin ,55
θθ=
=， 当π2π,Z 2x k k θ+=-+∈时，取最小值，此时π
2π,Z 2
x k k θ=--+∈，
故43
cos sin ,sin cos
,55
x x θθ=-=-=-=-
【
故π1314s in cos 62552x x x --⎛⎫+=+=+⨯= ⎪
⎝
⎭， 故选：A
9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72 B. 120 C. 216 D. 240
【答案】C 【解析】
【分析】分两个0之间有一个数字，两个数字和三个数字，结合排列知识进行求解，相加后得到答案. 【详解】从左到右的6个位置分别为,,,,,A B C D E F ，
若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有,A C 或,B D 或,C E 或,D F 四种情况， 在把剩余的4个数进行全排列，此时共有4
44A 96=种，
若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有,A D 或,B E 或,C E 三种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有4
43A 72=种，
若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有,A E 或,B F 两种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有442A 48=种， 综上，可以设置的密码共有967248216++=个. 故选：C
10. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.
【详解】由()
ln ln ln
y x y x
=+-得()2
y x y x xy x
=-=-，
显然1
x≠，所以
2
1
x
y
x
=
-
，
由0
x>，0
y>得1
x>，
所以()()
2
1
1
x
f x x
x
=>
-
，排除AB，
由()
21
12224
11
x
f x x
x x
==-++≥+=
--
，当且仅当2
x=时取等号，可排除D．
故选：C．
11. 已知点F为双曲线
22
1
169
x y
-=的右焦点，过点F的直线l（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段MN的中垂线交x轴于一点P，则
MN
PF
=（）
A.
5
4
B.
5
8
C.
4
5
D.
8
5
【答案】D
【解析】
【分析】设直线MN的方程及M N
、的坐标，利用韦达定理、弦长公式计算即可.
【详解】设双曲线方程
22
22
1
x y
a b
-=，焦距2c，显然4,3,5
a b c
===，
不妨设MN的方程为：()()()
1122
,,,
y k x c M x y N x y
=-、，
MN 的中点为Q ，则1212,2
2x x y y Q ++⎛⎫
⎪⎝⎭，
联立双曲线方程()
22
2222222222222
120x y b a k x ca k x a c k a b a b y kx ck ⎧-
=⎪⇒-+--=⎨⎪=-⎩
， 所以2222222121222222223,,4ca k a c k a b x x x x k a k b a k b +⎛⎫
+==-≠± ⎪--⎝⎭，
则
2121222222y y x x ckb k c a k b
++⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，
()
22222
21ab k MN a k b +==-，
易知222222
222,ca k cb k Q a k b a k b ⎛⎫
⎪--⎝⎭
， 则222222222
1:PQ ca k cb k
l y x k a k b a k b ⎛⎫=--+
⎪--⎝⎭， 令222232
222
2222220P cb k ca k c k y x a k b a k b a k b =⇒=+=---， 则()
2232
22
2222
1cb k c k PF c a k b a k b
+=-=-- 所以
28
5
MN a PF
c =
=. 故选：D
12. 已知函数()2
2
2cos 22
x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. ()0,1
C. [)1,-+∞
D.
(],1-∞
【答案】A
【解析】
【分析】对a 分类讨论，通过二阶求导得出函数()f x 的单调性，得出0x =是函数()f x 的唯一极小值点的条件.
【详解】因为()2
222cos
cos 1222
x a a
f x x x x =+=++，所以()sin f x x ax -'=+， 令()()sin
g x f x x ax ==-+'，()cos g x x a -'=+， 当1a ≥时，()cos 0g x x a '=-+≥，故()g x 单调递增， 又()00g =，故当0x >时()0g x >，当0x <时()0g x <， 所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故0x =是函数()f x 的唯一极小值点，符合题意； 当1a <时，()010g a =-'+<，
故一定存在0m >，使得()g x 在()0,m 单调递减， 此时0x =不是函数()f x 的极小值点，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞， 故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是通过二阶求导，得出函数()f x 的单调性，对a 分类讨论得出结果.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49
a b
+的最小值为________． 【答案】54
【解析】
【分析】根据平均数得到方程，求出20a b +=，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得0244612141110
820
a b +++++++=++，
解得20a b +=， 由于612a b <<<，
故()491491941549132020204a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当
94a b
b a =，8,12a b ==时，等号成立. 故答案为：5
4
14. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．
1##1-+ 【解析】
【分析】将点P 到y 轴的距离转化为到准线的距离，再转化为到焦点的距离，利用两点之间线段最短来求解.
【详解】由已知得点P 到抛物线准线的距离为1d +，又抛物线焦点()1,0F ，
则
111111
PA d PA d PA PF AF +=++-=+-≥-=
-=.
1.
15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边
AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．
【答案】【解析】
【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换先得B ，再根据平面向量的线性运算及数量积公式、三角形面积公式计算即可.
【详解】易知(),,0,π,πA B C A B C ∈++=，sin 0C >，
由正弦定理可知：()sin sin cos sin sin A B C C B B C =+=+
sin cos sin cos tan B C C B B =+⇒=
π6B =，
又点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，
所以22222242642cos BD BA BC BD BA BC BA BC c a ac B =+⇒=++⋅==++
， 由()
2
222162cos AC BC BA a c ac B =-⇒=+- ，
cos 12ac B ac =⇒=1
sin 2
ABC S ac B =
=△.
故答案为：16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角
D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．
【解析】
【分析】依题意可得90BAC ∠=︒，球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上，
同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，即可得到1260O OO ∠=︒，求出22,OO O D ，从而求出三棱锥D ABC -的外接球的半径为R ，即可得到外接球的体积.
【详解】解：如图，∵4,3,5AB AC BC ===，即222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒. ∴球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上， 同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心O . ∵二面角D BC A --的大小为120︒， 易知1260O OO ∠=︒，2190OO O ∠=︒，
1211133O O O D ===
，2125tan 306OO O O ∴=⋅︒==，
212233O D O D === ， ∴三棱锥D ABC -
的外接球的半径为R OD ====∴三棱锥D ABC -
的外接球的体积为3
344ππ33V R ==⨯=.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17. 已知正项数列{}n a 满足()
222
1212
n n n a a a +++⋅⋅⋅+=
，*N n ∈． （1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；
（2）若2
11n n n c a a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
【答案】（1）数列{}n b 是单调递减数列，证明见解析
（2）
1
n
n + 【解析】
【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，()222
12112
n n n a a a --++⋅⋅⋅+=
，两式相减求得2
n a n =，得
到n b =10n n b b +-
<，即可得证；
（2
）由n a =，可得()111
11
n c n n n n ==-++，结合裂项求和，即可求解.
【小问1详解】
解：因为()()222
121N 2
n n n a a a n *
+++⋅⋅⋅+=
∈，
当1n =时，2
11a =；
当2n ≥时，()
222
12112
n n n a a a --++⋅⋅⋅+=
， 两式相减得：()()
()2
11222
n n n n n a n n +-=
-=≥， 又因为1n =时，2
2
11n a a ==， 因为0n a >
，所以n a =
，则1n n n b a a +=-=
又因为
1n n b b +-=
-
0=
=
<
所以数列{}
n b 是单调递减数列． 【小问2详解】
解：由n a =，可得()2
11111
11n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪
++⎝⎭
则12311111111223341n n S c c c c n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-
+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
n
n n =-
=++． 18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 10
40
50
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
a χ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差． 【答案】（1）没有 （2）分布列见解析；期望为()12
5E X =
，方差()2875
D X =
【解析】
【分析】（1）由公式计算出2χ，对照临界表中的数据，即可得出答案；
（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 的分布列，再由数学期望和方差公式即可求出X 的数学期望和方差． 【小问1详解】
将表中的数据带入，得到：
()()()()
22
2
()50(217823) 4.5 6.63525251040n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，
所以没有99%的把握认为学生选择历史与性别有关． 【小问2详解】
由题意知，X 的可能取值为1,2,3，
则()()()21123
2828
8333
101010C C 1C C 7C 71,2,3C 15C 15C 15
P X P X P X ⨯⨯=========，
所以分布列为：
X 1
2 3
P
115 715 715
则数学期望()177121231515155
E X =⨯
+⨯+⨯=， 方差()2
2
2
1211271272812351551551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若
,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．
（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；
（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π
3
．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析
（2）存在；4AP =- 【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据线面垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角即可求解. 【小问1详解】
证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，
因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥， 所以42
AE BF
MN CD +=
==，//MN BF ,进而MN CD ∥， 即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，
在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥， 又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．
由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ． 因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ， 又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ． 【小问2详解】
如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则()(
))
0,0,5,0,2,4,E D F
．
设点()0,0,P t
，则)
()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =
--=-=--
．
设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =
．
由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即()111110,
240,y z y t z --=-+-=⎪
⎩ 令12z =
，则114,y t x =-=
，即14,2n t ⎫
=-⎪⎭
， 220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即222220,
20,y z y z --=-+=⎪
⎩取22z =
，则)
22n = ， 由
121212
π1cos ,cos
32n n n n n n ⋅====
，
28290t t +
-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05
t ≤≤，所以4t =
-，
当4t =-时，二面角P DF E -
-所成角为锐角，即存在点P 满足，此时
4AP =-．
20. 已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，与圆2C 相外切．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值．
【答案】（1）22
198x y +=
（2）64π81
【解析】
【分析】（1）借助圆与圆的位置关系及椭圆定义计算即可得；
（2）设出直线方程，联立直线与圆锥曲线的方程，得到与y 有关韦达定理；表示出PQN V 的面积，计算出PQN V 的周长，借助等面积法可表示出PQN V 的内切圆的半径，利用换元法结合对勾函数性质可得半径的最大值即可得内切圆面积的最大值.
【小问1详解】
设点(),C x y 为所求曲线轨迹上任意一点，动圆C 半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =+， 即有121262CC CC C C +=>=，
由椭圆的定义知，点C 是以()1,0-，()1,0为焦点，3a =的椭圆，
则2
918b =-=，所以点C 的轨迹方程为22
198x y +=； 【小问2详解】
由题意知，直线PQ 的斜率不为0，
设直线方程为1x my =-，点()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立22
1981x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，可得()228916640m y my +--=， ()()()222Δ1646489230410m m m =-+⨯⨯+=+>， 则1221689m y y m +=+，1226489
y y m =-+，
12
1
2
PNQ
S MN y y
=-==
，
又PNQ
V的周长l为4312
⨯=，
所以PNQ
V
的内切圆半径
2S
r
l
===
令t=，则1
t≥，设函数()
1
8
f t t
t
=+，
由对勾函数的性质可得函数()
f t在1
t≥时单调递增，故()9
f t≥，
则
8
9
r≤，此时PNQ
V的内切圆面积的最大值2
max
64
ππ
81
S r
==．
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标()
11
,x y，()
22
,x y；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12
x x
+、
12
x x（或
12
y y
+、
12
y y）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数()1e ln
x
f x a x a
-
=-+.
（1）讨论()
f x的单调性；
（2）若()ln1
f x x x
≥-+，求a的取值范围.
【答案】（1）()
f x在()
,1ln a
∞
--上单调递减，()
f x在()
1ln,a∞
-+上单调递增（2）[)
1,+∞
【解析】
为
【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式结合定义域即可求解单调区间；
（2）()ln 1f x x x ≥-+即ln 1ln e ln 1e ln a x x a x x +-++-≥+，令()e x
g x x =+，利用单调性得ln 1ln a x x ≥+-，再构造函数()1ln h x x x =+-，利用导数研究函数最值即可求解.
【小问1详解】
因为()1e ln x f x a x a -=-+，定义域为R ，所以()1e 1x f x a -'=-，
因为0a >，令()1e 10x f x a -'=-=，解得1ln x a =-，
当1ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减；
当1ln x a >-时()0f x '>，则()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增；
综上：()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减，()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增.
【小问2详解】
因为()1e ln x f x a x a -=-+，
所以()ln 1f x x x ≥-+等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-≥+=+，
令()e x
g x x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥， 显然()g x 为单调增函数，所以所求不等式等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln 1ln a x x ≥+-，
令()1ln h x x x =+-，则()111x h x x x
-=-='， 在()0,1上，()0h x '>，()h x 单调递增，在()1,∞+上，()0h x '<，()h x 单调递减，
所以()max ()10h x h ==，所以ln 0≥a ，所以1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数在函数中的应用，关键是第二问题中涉及不等式恒成立问题，需将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．
【答案】（1）()2214x y -+=，sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用公式把极坐标方程转化为直角坐标方程；消去参数t ，可把直线的参数方程化成一般方程. （2）把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，表示出ABC 的面积，结合基本（均值）不等式可求最大值.
【小问1详解】
∵曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=，
∴曲线C 的直角坐标方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=， 又∵直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩
（t 为参数）， ∴直线l 的一般方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=．
【小问2详解】
将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）带入()2214x y -+=中， 得到()()22cos 1sin 14t t αα-++=，
化简可以得到：2204t t πα⎛
⎫+--= ⎪⎝⎭
，
则124t t πα⎛
⎫+=-- ⎪⎝⎭
，1220t t =-<，
1212AB t t t t =+=-==
===
圆心C 到直线l 的距离d ==，
则13sin 21sin 2222
ABC S AB d αα-++=⋅⋅=≤= ， 当且仅当3sin 21sin 2αα-=+，即sin 21α=时取等号．
所以ABC 面积的最大值为2．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数()2133f x x x =++-．
（1）解不等式()5f x >；
（2）设函数()2
312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围． 【答案】（1）3|5x x ⎧
<-⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭
（2）73,12⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，然后列不等式求解；
（2）通过观察图象可得()()f x g x =在[)1,+∞上无解，然后转化为()2min 372m x x <--，利用二次函数
的性质求最值即可.
【小问1详解】
()125,2121334,1252,1x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=--<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
， 若()5f x >，即12255x x ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩或11245
x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或1525x x ≥⎧⎨->⎩， 解之得35x <-或75
x >， 则原不等式的解集为3|5x x ⎧<-
⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭
； 【小问2详解】 的
函数()2
312g x x x m =-++， 若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，即()()f x g x =在[)1,+∞上无解，
可得：231252x x m x -++=-无解，即23720x x m ---=在[)1,+∞上无解， 即()2min 372m x x <--，[)1,x ∞∈+， 因为函数227733723612y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭， 当[)1,x ∞∈+时，min 7312y =-
， 所以7312m <-，即m 的取值范围为73,12∞⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．。