高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.5相交弦定理课件北师大版选修41

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第十五页,共41页。
∵AE=2,∴PA=6. 在 Rt△PAE 中, PE= PA2-AE2 = 62-22=4 2, ∴PC=PE+CE =4 2+3 2=7 2, ∵PA2=PD·PC, ∴PD=PPAC2=7622=178 2,
第十六页,共41页。
∴DE=PE-PD
=4 2-187 2=170 2.
第二十七页,共41页。
(3)∵DE2=EF·EC,DE=6,EF=4, ∴EC=9.∵CE∶BE=3∶2,∴BE=6. ∵CE·EB=EF·EP, ∴9×6=4×EP. 解得:EP=227.
第二十八页,共41页。
∴PB=EP-BE=227-6=125,
PC=EP+CE=227+9=425,
又∵AP2=BP·PC=125×425=6745,




(j
(j


d
d
u
u
à
à
n)
n)

2.5 相交弦定理


段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)

第一页,共41页。
1.掌握相交弦定理及其证明过程. 2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.
第二页,共41页。
教材整理 相交弦定理
[基础·初探]
图 1-2-104
第三页,共41页。
第十九页,共41页。
【解】 (1)证明:连接 AB,CE, ∵CA 切⊙O1 于点 A, ∴∠1=∠D. 又∵∠1=∠E, ∴∠D=∠E.又∵∠2=∠3, ∴△APD∽△CPE. ∴PPAC=PPDE, 即 PA·PE=PC·PD.
第二十页,共41页。
(2)∵PA=6,PC=2,PD=12. ∴6×PE=2×12,∴PE=4. 由相交弦定理,得 PE·PB=PA·PC. ∴4PB=6×2,∴PB=3. ∴BD=PD-PB=12-3=9, DE=PD+PE=16. ∵DA 切⊙O2 于点 A, ∴DA2=DB·DE,即 AD2=9×16,∴AD=12.
图 1-2-106
第十一页,共41页。
【证明】 ∵OM=ON,OA=OB, ∴AM=BN,BM=AN, ∴AM·BM=AN·BN, 又∵PM·MQ=AM·BM, PN·NR=AN·BN, ∴PM·MQ=PN·NR.
第十二页,共41页。
相交弦定量(dìngliàng)的综合应用
如图 1-2-107,△ABC 内接于⊙O,P 是△ABC 的高 CE 的延长线上 一点,PC 交⊙O 于 D,若 PA2=PD·PC,AE=2,CE=3 2,cos∠ACB=13,求 BE 的长.
图 1-2-107
第十三页,共41页。
【精彩点拨】 由 PA2=PD·PC 知 PA 是⊙O 的切线,∠ACB 等于∠PAE, 则 PA 可求,在 Rt△APE 中 PE 可求,由切割线定理求出 PD,进而求出 DE,再 由相交弦定理求 BE.
第十四页,共41页。
【自主解答】 由 PA2=PD·PC,知 PA 是⊙O 的切线, ∴∠PAE=∠ACB. ∵PC⊥AB, ∴∠AEP=90°. 又∵cos∠ACB=13, ∴在 Rt△PAE 中, cos∠PAE=APAE=13.
第二十五页,共41页。
【自主解答】 (1)证明:∵DE2=EF·EC, ∴DE∶CE=EF∶ED. ∵∠DEF 是公共角, ∴△DEF∽△CED. ∴∠EDF=∠C. ∵CD∥AP,∴∠C=∠P. ∴∠P=∠EDF.
第二十六页,共41页。
(2)证明:∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA, ∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE=EF∶EA. 即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD,BC 相交于点 E, ∴DE·EA=CE·EB. ∴CE·EB=EF·EP.
第七页,共41页。
[小组合作型] 相交弦定理(dìnglǐ)的简单应用
如图 1-2-105,已知在⊙O 中,P 是弦 AB 的 中点,过点 P 作半径 OA 的垂线分别交⊙O 于 C,D 两点, 垂足是点 E.求证:PC·PD=AE·AO.
【精彩点拨】 由相交弦定理知 PC·PD=AP·PB,
图 1-2-105
图 1-2-112
第三十五页,共41页。
【解析】 延长 CO 交圆于点 E,依题意得,BC= OB2+OC2= 5,BC·CD
=CA·CE,
5×CD=1×3,因此
CD=35
5 .
.
【答案】
35 5
第三十六页,共41页。
3.⊙O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E,若 AE=6 cm,BE=2 cm,CD=7 cm, 那么 CE=______________cm.
∴PA=
6745=152
3 .
第二十九页,共41页。
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理,在与 圆有关的问题中经常用到,这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的 长,而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关 系,这两者的结合,往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题.
第四十页,共41页。
我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
第三十七页,共41页。
【解析】 ∵AB 与 CD 相交于 E, ∴AE·BE=CE·DE. ∵AE=6 cm,BE=2 cm,CD=7 cm, DE=CD-CE=7-CE. ∴6×2=CE(7-CE), 即 CE2-7CE+12=0, ∴CE=3(cm)或 CE=4(cm).
【答案】 3 或 4
第三十八页,共41页。
1.相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切,也经常与垂径定理、射影 定理等相结合进行某些计算与证明.
2.由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径 被弦分成的两条线段的比例中项.
第十页,共41页。
[再练一题] 1.如图 1-2-106,已知 AB 是⊙O 的直径,OM=ON,P 是⊙O 上的点,PM, PN 的延长线分别交⊙O 于 Q,R.求证:PM·MQ=PN·NR.
第二十一页,共41页。
[探究共研型]
相交弦定理、切割线定理、切线(qiēxiàn)长定理的 关系
探究 1 相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系?
【提示】 相交弦定理中两弦的交点在圆内,若两弦的交点从圆内移到圆 外便得到切割线定理的推论.若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理, 最后两条割线都变成切线便得到切线长定理,这些变化充分体现了运动变化的 思想.
又 P 为 AB 的中点,∴PC·PD=AP2.在 Rt△PAO 中再使用射影定理即可.
第八页,共41页。
【证明】 连接 OP, ∵P 为 AB 的中点, ∴OP⊥AB,AP=PB. ∵PE⊥OA, ∴AP2=AE·AO. ∵PD·PC=PA·PB=AP2, ∴PD·PC=AE·AO.
第九页,共41页。
[再练一题] 2.如图 1-2-108 所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线,交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线分别交⊙O1,⊙O2 于点 D,E, DE 与 AC 相交于点 P.
(1)求证:PA·PE=PC·PD; 图 1-2-108 (2)当 AD 与⊙O2 相切且 PA=6,PC=2,PD=12 时,求 AD 的长.
【解】 设 AP=x,则 BP=8-x, 由相交弦定理得 x(8-x)=3×4, ∴x=2 或 6, 即 AP=2 或 AP=6.
第六页,共41页。
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 2: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 3: ______________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________
【解析】 由切割线定理的推论知 PB·PD=PC·PA,故选项 D 正确. 【答案】 D
第三十四页,共41页。
2.如图 1-2-112,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的 中点,连接 BC 并延长交圆 O 于点 D,则 CD=________.
【导学号:96990034】
则弦 CD 的长为( )
【导学号:96990033】
A.6 cm
B.7.5 cm
C.8 cm
D.8.5 cm
【解析】 利用相交弦定理,得 PA·PB=PC·PD,即 3×5=2.5×PD,所以
PD=6 cm.所以 PD+PC=CD=8.5 cm.
【答案】 D
第五页,共41页。
2.圆内两条弦 AB 和 CD 相交于 P 点,AB=8,AB 把 CD 分成长为 3 和 4 两 部分,求 AP.
因此,在实际应用中,见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理;见到两条 割线要想到割线定理;见到切线和割线要想到切割线定理.
第三十页,共41页。
[再练一题] 3.如图 1-2-110 所示,已知:从圆外一点 P,作切线 PA.A 为切点,从 PA 的 中点 B 作割线 BCD,交圆于 C,D,连接 PC,PD,分别交圆于 E,F.求证:EF∥PA.
(1)文字叙述 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等. (2)图形表示 如图 1-2-104,弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P,则有:PA·PB=PC·PD .
第四页,共41页。
1.在⊙O 中,弦 AB 和 CD 相交于点 P,PA=3 cm,PB=5 cm,PC=2.5 cm,
∵AE·BE=DE·CE,
∴BE=DEA·ECE
10 =7
2×3 2
2=370.
第十七页,共41页。
1.解答本题时应注意所求与已知的关系,通过所求明确已知转化的方向,从 而求得结论.
2.在实际应用中,见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理,见到切线和割 线时要想到切割线定理及推论.
第十八页,共41页。
第二十二页,共41页。
探究 2 应用相交弦定理应注意什么? 【提示】 相交弦定理中要求是两条相交弦,对于多条弦相交且不交于同 一点时,要两条两条的利用定理方可.
第二十三页,共41页。
如图 1-2-109 所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线, 弦 CD∥AP,AD,BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC.
(1)求证:∠P=∠EDF;
(2)求证:CE·EB=EF·EP;
图 1-2-109
(3)若 CE∶BE=3∶2,DE=6,EF=4,求 PA 的长.
第二十四页,共41页。
【精彩点拨】 本题考查切割线定理、相交弦定理.以及相似三角形的判定 与性质与切线长定理的综合应用.解答本题需要分清各个定理的适用条件,并会 合理利用.
第三十二页,共41页。
[构建·体系]
第三十三页,共41页。
1.如图 1-2-111 所示,⊙O 的两条弦 AB,CD 相交于点 E,AC 和立的是( )
A.PC·CA=PB·BD
B.CE·AE=BE·ED
C.CE·CD=BE·BA
D.PB·PD=PC·PA
图 1-2-111
图 1-2-110
第三十一页,共41页。
【证明】 ∵PBA 是圆的切线,BCD 是圆的割线. ∴BA2=BC·BD. 又∵B 为 PA 中点,∴PB=BA. 即 PB2=BC·BD,BPDB=BPCB. 又∵∠PBC=∠DBP, ∴△BPC∽△BDP,∠BPC=∠D. 又∵∠E=∠D,∴∠BPC=∠E,EF∥PA.
4.如图 1-2-113 所示,A 为⊙O 上一点,⊙A 和⊙O 相交于 C,D,两圆的连 心线交⊙A 于 E,F,交⊙O 于 A,B,交 CD 于 G.
求证:AG·BG=EG·FG.
图 1-2-113
第三十九页,共41页。
【证明】 由相交弦定理得 AG·BG=CG·GD,CG·GD=EG·FG, ∴AG·BG=EG·FG.
相关文档
最新文档