人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)

【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直定义 线面垂直 性质定理 面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下： 在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平 面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【规律方法】 应用面面垂直证明线面垂直应注意的问题 (1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利 用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定 理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： ①两个平面垂直； ②直线必须在其中一个平面内； ③直线必须垂直于它们的交线． (2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用 转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
【基础自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( × )
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线
在第一个平面内．( √ ) (3)平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则平面 α⊥平面 γ.( × )
(2)顶点式2 f (x) a(x h) k(a 0) ;
(3)零点式1 2 f (x) a(x x )(x x )(a 0) .
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1.元素与集合的关系
UxAxCA
,UxCAxA
.
2.德摩根公式
( ) ; ( ) CU A B CU A CUB CU A B CU A α，β，若 α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使
n⊥β，则应增加的条件是( )
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α
答案 B
解析 根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线 m，n 和平面
α，β，若 α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件 n⊥m，才能使 n⊥β.
3．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝ 90°，将△ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成几何体 A－BCD， 则在几何体 A－BCD 中，下列结论正确的是( )
2．做一做
(1)在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD，
且 AB＝BC，AD＝CD，则 BD 与 CC1( )
A．平行
B．共面
C．垂直
D．不垂直
(2)如图所示，平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈平面 α，AB⊥l， 垂足为 B，C∈平面 β，若 AB＝3，BC＝4，则 AC＝________.
8.6.3 平面与平面垂直(二)
【课标要求】
知识点
【知识导学】
平面与平面垂直的性质定理
【新知拓展】
平面与平面垂直的其他性质与结论 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个 平面的直线在第一个平面内．即 α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另 一个平面．即 α⊥β，γ∥β⇒γ⊥α.
【随堂达标】
1．若 α⊥β，α∩β＝l，点 P∈α，P∉l，则下列命题中正确的为( )
①过点 P 垂直于 l 的平面垂直于 β；
②过点 P 垂直于 l 的直线垂直于 β；
③过点 P 垂直于 α 的直线平行于 β；
④过点 P 垂直于 β 的直线在 α 内．
A．①③
B．②④
C．①②④
D．①③④
答案 D 解析 当过点 P 垂直于 l 的直线不在 α 内时，l 与 β 不垂直， 故②不正确；①③④正确．
励志
1、当世界给草籽重压时，它总会用自己的方法破土 而出。
2、既然人生的幕布已经拉开，就一定要积极的演出； 既然脚步已经跨出，风雨坎坷也不能退步；既然我已把希 望播在这里，就一定要坚持到胜利的谢幕……
3、我们可以失望，但不能盲目。 4、自己选择的路、就要把它走完。 5、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。 6、原以为“得不到”和“已失去”是最珍贵的，可…原 来把握眼前才是最重要的。 7、我不去想是否能够成功，既然选择了远方，便只 顾风雨兼程！ 8、我走得很慢，但我从不后退！ 9、志在山顶的人，不会念山腰的风景. 10、不要轻易用过去来衡量生活的幸与不幸！每个人 的一生都是可以绽放美丽的——只要你珍惜。
一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角
形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意
应用转化思想解决问题．
【跟踪训练 2】 如图，A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝ 2， 等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的结论．
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个 平面或在另一个平面内．即 α⊥β，b⊥β⇒b∥α 或 b⊂α. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于 第三个平面，即 α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即 α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ， β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n.
[证明] (1)如图，连接 PG，BD，
∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD 是正三角形， ∵G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， BG⊂平面 ABCD，∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD，由 PAD 为正三角形， G 为 AD 的中点，∴PG⊥AD. 又 PG∩BG＝G，∴AD⊥平面 PBG，∴AD⊥PB.
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD. 证明：①当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC＝BC，AD＝BD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE. 又因为 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又因为 DE，CE 为相交直线，所以 AB⊥平面 CDE. 由 CD⊂平面 CDE，得 AB⊥CD. 综上所述，总有 AB⊥CD.
解 (1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，
因为△ADB 是等边三角形，所以 DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时， 因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC， 又 CE⊂平面 ABC，所以 DE⊥CE. 由已知可得 DE＝ 3，EC＝1. 在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
card(A B) card(B C) card(C A) card(A B C) .
5．集合1 2 { , , , } n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1 个；非空子
集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2 个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2 f (x) ax bx c(a 0) ;
1.元素与集合的关系
UxAxCA
,UxCAxA
.
2.德摩根公式
( ) ; ( ) CU A B CU A CUB CU A B CU A CUB .
3.包含关系
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
4．如图，在三棱锥 P－ABC 内，侧面 PAC⊥底面 ABC，且∠PAC＝90°， PA＝1，AB＝2，则 PB＝________.
答案 5 解析 因为侧面 PAC⊥底面 ABC，交线为 AC，∠PAC＝90°(即 PA⊥AC)， 所以 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AB，所以 PB＝ PA2＋AB2＝ 1＋4＝ 5.
【跟踪训练 1】 如图，在三棱锥 V－ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边三角形， AC⊥BC 且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点．
(1)求证：VB∥平面 MOC； (2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB； (3)求三棱锥 V－ABC 的体积．
解 (1)证明：∵O，M 分别为 AB，VA 的中点，∴OM∥VB. ∵VB⊄平面 MOC，OM⊂平面 MOC，∴VB∥平面 MOC. (2)证明：∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，∴OC⊥AB. 又平面 VAB⊥平面 ABC，且平面 VAB∩平面 ABC＝AB， OC⊂平面 ABC，∴OC⊥平面 VAB. ∵OC⊂平面 MOC，∴平面 MOC⊥平面 VAB.
A．平面 ABD⊥平面 ABC C．平面 ABC⊥平面 BDC
B．平面 ADC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC
答案 D 解析 由已知得 BA⊥AD，CD⊥BD，又平面 ABD⊥平面 BCD， ∴CD⊥平面 ABD，从而 CD⊥AB，故 AB⊥平面 ADC.又 AB⊂平 面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ADC.
(3)在等腰直角△ACB 中，AC＝BC＝ 2，
∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝ 43AB2＝ 3.
∵OC⊥平面 VAB，
∴V 三棱锥 C－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1× 3＝ 33，
∴V
＝V 三棱锥 V－ABC
＝ 三棱锥 C－VAB
3 3.
题型二 线面垂直与面面垂直的综合应用 例 2 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，且其所在平面垂直于底面 ABCD.
5．如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，E，F 分别为 AC，BC 边的中点．
(1)求证：EF∥平面 PAB； (2)若平面 PAC⊥平面 ABC，且 PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面 PEF ⊥平面 PBC.
证明 (1)∵E，F 分别为 AC，BC 边的中点，∴EF∥AB. 又 EF⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，∴EF∥平面 PAB. (2)∵PA＝PC，E 为 AC 的中点，∴PE⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC, PE⊂平面 PAC， ∴PE⊥平面 ABC，∴PE⊥BC. 又 F 为 BC 的中点，∴EF∥AB. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC⊥EF. ∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面 PEF. ∵BC⊂平面 PBC，∴平面 PEF⊥平面 PBC.