[精品]2017年江西师大附中高考数学三模试卷及解析答案word版(文科)
【江西师大附中】2017届高三上学期11月月考数学(文科)试卷 -答案
）()min f x =(1)1()2a a -=--=+）m n ⊥，(tan m A =，(,2)n b c =，0m n ∴=可得：(tan b A sin sin B c 又A ）S又a 2(a a +-+54+++AEOB O =，．AE 的平行线交CFG 为过点CFOB H 于，连结GH BH PO OB =，解得3311ABCE BCF PO S S GH -梯△形 452． 125(1)([PA PB x x m x ==+-254m λ=，江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且属于A的元素构成，所以用集合表示为A∩B．A={x∈N|y=}={x∈N|7x﹣x2﹣6≥0}={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，其真子集的个数为23﹣1=72．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．5．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得到f（x）=sin（2x﹣）﹣，再根据对称轴的定义即可求出．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，则其对称轴为2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，当k=0时，x=，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=，6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱截去一个三棱锥，剩余一个四棱锥的几何体，可得几何体的体积为：=2．7．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义，即可得出结果．【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为1，点G是边AF的中点，∴=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=1×1×cos120°+1×1×cos60°+×1×1×cos60°+×1×1×cos0°=．9．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．10．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA ⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100，利用|PA|+|PB|≤即可得出|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．∵|AB|==10．∴当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100∴|PA|+|PB|≤=10当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号．∴|PA|+|PB|的最大值为5．11．【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜4912．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e，故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2=25，∴圆心坐标为（2，﹣2），半径r=5，∴圆心到直线3x+4y+17=0的距离d==3则|AB|=2=8．14．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V水+V球=V容，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．器【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，V PC==3πr3又设HP=h，则EH=h∴V水==∵V水+V球=V PC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的体积与小球的体积之比为：=5：4．15．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且，可得b1…•b14=•…•=a15=，代入即可得出答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列且，∴b1b2…b14=•…•=a15==27=128．16．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题，共70分．17．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）利用f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，求解即可．【解答】解：（1）当a=3时，x＜﹣1，不等式可化为﹣3x+1≥6，∴x≤﹣；﹣1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；当x＞3时，3x﹣1≥6，∴x≥，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥1}；（2）∵f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，∴，∴a≤﹣5或a≥3．18．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知可=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=，结合A的范围，进而得到∠A的大小；（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b2+c2=25，联立即可解得b，c的值．【解答】解：（1）∵，=（tanA+tanB，﹣tanB），=（b，2c），∴=0，可得：b（tanA+tanB）﹣2ctanB=0，∴=，可得：cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵S△ABC=bcsinA==3，∴bc=12，①又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣12=13，可得：b2+c2=25，②∴联立①②解得：，或．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．（2）由b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+4==（n+1）2．（2）证明：b n===，∴T n=+++…++=＜=．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．（3）所求几何体的体积为V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在图1中，AB=4，AD=2，则BD=10，又AD2=DO•BD，∴DO=2，OB=8，在图2中，PO=DO=2，PO2+OB2=22+82=68=PB2，∴PO⊥OB，又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE．解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，∴S△ADE=5，S梯形ABCE=S ABCD﹣S△ADE=35，S△BCF=S△ADE=5，设CF∩OB于H，连结GH，则，解得GH=，∴所求几何体的体积为：V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF===．21．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|2=2m2，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=•=m2，则2m2=m2λ，即可求得常数λ．【解答】解：（1）由题意可知：，整理得：x2+2（1﹣p）x+1=0，由抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x﹣y+1=0相切，∴△=0，即4（1﹣p）2﹣4=0，解得：p=2或p=0（舍去），∴抛物线方程为：y2=4x；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）可知：M（1，2），则k OM=2，设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1﹣m，2﹣m），|PM|2=2m2，则，整理得：4x2+4（m﹣1）x+m2=0，由△＞0，即16（m﹣1）2﹣16m2＞0，解得：m＜且m≠0，由韦达定理可知：x1+x2=1﹣m，x1•x2=，由丨PA丨丨PB丨=•=5[x1•x2+（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2]=m2，整理得：2m2=m2λ，解得：λ=，∴存在常数λ=，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立．22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．（2）f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根据函数零点定理验证即可．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0），由f′（x）=0，得x1=1，x2=①当0＜＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；②当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；③当＞1，即a≥2时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，）；④当≤0，即a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．（2）∵f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，当a＞2时，函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，），若x∈（0，），f（x）≤f（1）=﹣a﹣1＜0，无零点，若x∈（，+∞），则f（）＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一个零点，则当a＞2时，f（x）有唯一的零点，当0＜a＜2函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；若x∈（0，1），f（x）≤f（）=a（lna﹣﹣1﹣ln2），有lna＜ln2＜1，则lna﹣﹣1﹣ln2＜0，则f（x）＜0，即f（x）在（0，1）内无零点，若x∈（1，+∞），则＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一个零点，则当0＜a＜2时，f（x）有唯一的零点，综上所述函数f（x）在定义域内有唯一的零点。
江西师大附中高三数学(文科)三模试卷
江西师大附中高三数学（文科）三模试卷命题人：高三数学备课组一．选择题(60分)1．下列关系中错误．．的是（ ）A ． ∅{0}B ．0∈{0}C ．0∈∅D ．0∉∅2．已知,,a b c 满足||||||1,a b c a b c ===+=，则（ ）A ．()a c +∥bB ．()a c b +⊥C ．a c b c >D ．a c b c < 3. 如图所示是一批产品中抽样得到数据的 频率分布直方图，则数据在（4.4，4.6）范 围内的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.64．函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）5.若6260126(1)mx a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且123663a a a a +++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．－3D ．－3或16.圆224450x y x y +--+=上的点到直线32180x y +-=的最大距离与最小距离的差为（ ） A 3 B ．3 C ．33 D ．6 7. 等差数列的前n 项和为n S ，945S =，458a a +=，则7S 的值是（ ） A ．21 B ．22C ．27D ．288. 以下四个命题：①若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ②若一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④若两个平面垂直，则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. 其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天休息（如选定星期一，星期三），其余的五天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率是（ ） A ．27B ．121C ．1441D ．114710．已知函数)(1x fy -=的图象过点)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）A ．)2,1(B ．)1,2(C ．)2,0(D ．)0,2(11．直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆1422=+y x 截得的最大弦长是（ ） A ．4 B ．2 C ．334 D ．不能确定 12．当实数x y 、满足||||1x y +≤时，变量3yu x =+的取值范围是（ ）A ．[3,3]-B ．11[,]33-C ．11[,]23-D ．11[,]32-二．填空题(16分) 13．函数2cos12xy x π=-+([4,8])x ∈的值域是 _________．14．在平面直角坐标系x O y 中已知△ABC 的顶点B 在双曲线22221x y a b-=的左支上，顶点A 、C 为双曲线的左、右焦点，若=-B C A sin sin sin 56，则双曲线的离心率等于_____．15.四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 到相对面的距离分别为H 1、H 2、H 3、H 4，又点P 为四面体内一点，点P 到平面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，则44332211H h H h H h H h +++= ． 16．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]4,0，则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是_________________.三．解答题（74分）17．（12分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4, （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围.18．（12分）在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为：0.9、0.8、0.85，则在一天内 （1）三台设备都需要维护的概率是多少？ （2）恰有一台设备需要维护的概率是多少？ （3）至少有一台设备需要维护的概率是多少？19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0，且35,a a 是方程214450x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112n n S b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =，求数列{}n c 中的最大项，并指出最大项为第几项.20．（12分）已知：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∠A 1AC ＝60°．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1； （2）求二面角A －A 1C －B 1的大小.（3）设O 是线段A 1C 的中点，P 是△ABC 内部及边界上的一动点，使OP//平面A 1BC 1，试指出动点P 的轨迹图形是什么？请说明你的理由.21．（12分）已知过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点．(1)若角∠AOB 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；(2)若P 为抛物线的焦点,过点P 且与l 垂直的直线l '与与抛物线交于C 、D 两点, 设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．求证：直线MN 必过定点.22．（14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点.（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值.参考答案二、填空题（4分×4＝16） 13. []9,3-- 14.6515. 1 16. 0812=-+y x 三．解答题本大题共6个小题，共74分，解答时应写出文字说明，证明步骤或演算步骤。
【江西师范大学附属中学】2017届高三3月月考数学(文科)试卷-答案
答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1~5．CCBCC6~10．ABBBD11~12．CA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14．
15．
16．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．
17．解：
（1） ，
解得
23．解：
（1）当 时，
由绝对值的几何意义可得
（2）由题意 恒成立
解得 或 ．
解得
存在 ，使 恒成立．
21．解：（1）由于 且 ，则 ，
当 时， ，即 ，
故 ，即 ， ，
因此 ．
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
由于 ，则 ，
故当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增．
因此 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ．
（2）当 时，取 ，则 ，
由于 在 上单调递增，则 ，不合题意，故舍去；
，即：
所以 或 （舍），即
，根据正弦定理可得：
，
经化简得：
（2）
根据余弦定理及题设可得： 解得：
18．解：
（1）
由于 ， ， ，
则频率分布直方图如下图所示，
（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共7种，
江西师大附中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江西师大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，A∩B=∅，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1}B．{（x，y）|y=x﹣1}C．D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}2．若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=（）A．5 B．6 C．7 D．83．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣74．如图，已知等于（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A．B．C． D．7．在△A BC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，，则cosB等于（）A．B．C．D．8．已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n}中的项是（）A．16 B．128 C．32 D．649．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos （2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到10．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（）A．B．C．D．211．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．=．14．设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为．=（）n（n≥2），S n=a1•2+a2•22+…+a n•2n，类比课本15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n﹣1中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n﹣a n•2n+1=．16．等腰△ABC的顶角A=，|BC|=2，以A为圆心，1为半径作圆，PQ为该圆的一条直径，则•的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．18．如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A 到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）点D在边A1C1上且C1D=C1A1，证明在线段BB1上存在点E，使DE∥平面ABC1，并求此时的值．20．已知函数f（x）=lnx+x．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3=5，S10=100．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an+a n•sin2，求数列{b n}的前n项和T n．22．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江西师大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，A∩B=∅，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1}B．{（x，y）|y=x﹣1}C．D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}【考点】交集及其运算．【分析】求出各项中的集合确定出B，根据A与B的交集为空集，判断即可得到结果．【解答】解：选项A中，由4x=22x＜2x+1，得到2x＜x+1，即x＜1，即B={x|x＜1}；选项B中，由B={（x，y）|y=x﹣1}，得到B为点集；选项C中，由y=sinx，﹣≤x≤，得到﹣≤y≤，即B={y|﹣≤y≤}；选项D中，由y=log2（﹣x2+2x+1），得到﹣x2+2x+1＞0，即x2﹣2x﹣1＜0，解得：1﹣＜x＜1+，即B={x|1﹣＜x＜1+}，由集合A中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴A={x|x≥1}，∵A∩B=∅，∴B不可能为{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}，故选：D．2．若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由S7=21求得a4=3，结合a2=﹣1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S7=7a4=21，得a4=3，又a2=﹣1，∴，∴a6=a4+2d=3+2×2=7．故选：C．3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选B4．如图，已知等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】将向量转化成，向量转化成，然后化简整理即可求出所求．【解答】解：∵∴=（）化简整理得=﹣+故选C．5．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出当x＞0时，切线斜率，再利用函数f （x）是偶函数，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．6．已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得，求得，可得向量的夹角的值．【解答】解：又，可得，即．∵||=||=2，∴2×2×2×cos＜，＞+4=0，解得cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，即向量的夹角为，故选：C．7．在△A BC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，，则cosB等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2﹣a2=ac=a2，利用余弦定理即可求得cosB的值．【解答】解：∵若c=2a，，∴则由正弦定理可得：b2﹣a2=ac=a2，即：，∴．故选：A．8．已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n}中的项是（）A．16 B．128 C．32 D．64【考点】数列的函数特性．【分析】数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，可得当n≥2时，=2n﹣1，当n=1时，a1=1．利用a n=•…••a1，即可得出，进而判断出．【解答】解：∵数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，∴当n≥2时，=2n﹣1，当n=1时，a1=1．∴a n=•…••a1=2n﹣1•2n﹣2•…•22•21×1=2（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=．∵只有64=满足通项公式，∴下列数中是数列{a n}中的项是64．故选：D．9．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．10．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（）A．B．C．D．2【考点】等差数列的性质．【分析】利用直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，可得a1=2，d=2，利用等差数列的求和公式求出S n，再用裂项法即可得到结论．【解答】解：∵直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，∴a1=2，2﹣d=0∴d=2∴S n==n2+n∴=，∴数列{}的前10项和为1﹣+﹣+…+=故选：B．11．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，故选：A．12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数恒成立问题．【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=，所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整数k的最大值是4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．=1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简求解即可．【解答】解：．故答案为：1．14．设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（﹣3，2）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断函数的单调性，利用单调性的性质列出不等式，求解即可．【解答】解：f（x）=x3﹣+1，x≥1时函数是增函数，f（1）=1．所以函数f（x）在R上单调递增，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）等价于6﹣x2＞x，解得（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．=（）n（n≥2），S n=a1•2+a2•22+…+a n•2n，类比课本15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n﹣1中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n﹣a n•2n+1=n+1．【考点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合；类比推理．【分析】先对S n=a1•2+a2•22+…+a n•2n两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3S n﹣a n•2n+1的表达式．【解答】解：由S n=a1•2+a2•22+…+a n•2n①得2•s n=a1•22+a2•23+…+a n•2n+1②①+②得：3s n=2a1+22（a1+a2）+23•（a2+a3）+…+2n•（a n+a n）+a n•2n+1﹣1=2a1+22×（）2+23×（）3+…+2n×（）n+a n•2n+1=2+1+1+…+1+2n+1•a n=n+1+2n+1•a n．所以3S n﹣a n•2n+1=n+1．故答案为n+1．16．等腰△ABC的顶角A=，|BC|=2，以A为圆心，1为半径作圆，PQ为该圆的一条直径，则•的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平面向量的三角形法则，将，分别AP，AC，AB对应的向量表示，进行数量积的运算，得到关于夹角θ的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可．【解答】解：如图：由已知==；故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．【考点】正弦定理；平行向量与共线向量．【分析】（1）由可得，结合角A为锐角，即可解得A的值．（2）在△ABC中，已知A，B的三角函数值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值．【解答】解：（1）∵，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），∴（cosA+2sinA）（cosA﹣2sinA）=﹣3sin2A，∴解得：．又∵角A为锐角，∴．（2）在△ABC中，，则．∴，∴，∴由正弦定理得，解得a=5．18．如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A 到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出时，由A到C所用的时间t最少．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=，∴DC=100﹣BD=100﹣50cotθ．∴t（θ）=+2﹣cotθ=+2（θ∈[arctan，））；（2）t′（θ）=，∴θ∈[0，）时，t′（θ）＜0；θ∈（，），t′（θ）＞0∴当时，由A到C所用的时间t最少．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）点D在边A1C1上且C1D=C1A1，证明在线段BB1上存在点E，使DE∥平面ABC1，并求此时的值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直即可；（2）在△AA1C1中利用相似得DF∥AC1，平行四边形AA1B1B中EF∥AB，两组相交直线分别平行可得平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥平面ABC；∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1；又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1，则平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）当时，DE∥平面ABC1在A1A上取点F，使，连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC1，即平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1；20．已知函数f（x）=lnx+x．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程．（2）分离变量，将原方程解的个数转化为直线y=m与函数的交点个数，再求导得函数g（x）的单调性与草图，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵，k=f'（1）=2，∴切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1（2）由题意在区间[1，e2]内有唯一实数解令，x∈[1，e2]，∵，解得x=e，∴函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，在区间[e，e2]上单调递减又g（1）=1，，∴．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3=5，S10=100．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an+a n•sin2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出等差数列的首项及公差，解方程组可得{a n}的通项公式（2）从的取值发现数列{b n}需分奇偶讨论，再结合分组求和可得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，所以a n=2n﹣1．（2）因为当n为奇数时，当n为偶数时，当n为偶数时，T n=（2+23+25+…+22n﹣1）+（1+5+9+…+2n﹣3）=+b n=当n为奇数时，T n=T n﹣1=综上：．22．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则k MA==，k MB=，k MD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），k MA==，同理，k MB=，k MD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．2016年11月16日。
2020届江西省南昌市江西师大附中2017级高三三模考试数学(文)试卷参考答案
3. 2
（2）因为 SABC
1 2
ac
sin
B
1，
所以 ac
4，
……………………6 分 ……………………9 分
又 b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 4 3 2ac 4 3 8 4 3 ，
当且仅当 a c 2 时取等号. 所以 b 的最小值为 8 4 3 6 2 .
2B
2b
sin
A cos(
π 3
B)
得，
2 sin
Asin B cos B
2sin B sin
A
cos(
π 3
B)
，
从而 cos B
cos(
π 3
B)
，
……………………3 分
因为 ABC 为锐角三角形，
所以
B
(0,
π 2
)
，
3
B
(
π 6
,
π 3
)
，所以
B
π 3
B，
从而 B
π 6
，
所以 cos B
2(1 k 2) 3k 2 1
1，
………………11 分
解得 k 2 1，所以 k 1 . 所以直线 l 的方程为 y x 或 y x 2 .
………………12 分
【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.
21．（12 分）
【解析】（1）由已知， f (x) (x 1) 2 x ，
从而 f (x) 2x (x 1) 2x ln 2 2x[(x 1) ln 2 1] ，
所以 CD SB ，即 CD BF .
………………6 分
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2017年江西省南昌市高考数学三模试卷及答案(文科)
2017年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z=（m2﹣1）+mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣∞，1）2．（5分）已知集合A={x∈R|0＜x≤5}，B={x∈R|log2（2﹣x）＜2}，则（∁R B）∩A=（）A．（﹣2，5]B．[﹣2，5]C．（2，5]D．[2，5]3．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之（不超过3%），现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过（）A．6粒 B．7粒 C．8粒 D．9粒4．（5分）已知，若13+23+33+43+…+n3=3025，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．115．（5分）已知，那么是α=kπ+（k∈Z）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线l：y=kx﹣k与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则实数k等于（）A．B．±1 C．D．±28．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2+2（a∈R，b∈R），f'（x）为f（x）的导函数，则f（2016）﹣f（﹣2016）+f'（2017）+f'（﹣2017）=（）A．4034 B．4032 C．4 D．09．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A．B．C．1 D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．16 B．24 C．48 D．7212．（5分）方程sin2πx﹣=0（x∈[﹣2，3]）所有根之和为（）A．B．1 C．2 D．4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=的定义域为．14．（5分）已知向量，若，则m﹣n=．15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值是．16．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+3）=2f（x），当x∈[﹣1，2）时，f（x）=．若存在x∈[﹣4，﹣1），使得不等式t2﹣3t≥4f（x）成立，则实数t的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某超市计划销售某种产品，先试销该产品n天，对这n天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）若已知销售量低于50的天数为23，求n；（Ⅱ）厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计日返利额的平均值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若三角形PAB是边长为2的等边三角形，求三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．20．（12分）如图，已知直线l：y=kx+1（k＞0）关于直线y=x+1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：=1分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1．（Ⅰ）求k•k1的值；（Ⅱ）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=x﹣，g（x）=lnx．（Ⅰ）求函数y=2f（x）﹣5g（x）的单调区间；（Ⅱ）记过函数y=f（x）﹣mg（x）两个极值点A，B的直线的斜率为h（m），问函数y=h（m）+2m﹣2是否存在零点，请说明理由．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C向左平移一个单位，再经过伸缩变换得到曲线C'，设M （x，y）为曲线C'上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．2017年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z=（m2﹣1）+mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣∞，1）【解答】解：z=（m2﹣1）+mi在复平面内对应的点在第二象限，则，解得0＜m＜1．∴实数m的取值范围是（0，1）．故选：C．2．（5分）已知集合A={x∈R|0＜x≤5}，B={x∈R|log2（2﹣x）＜2}，则（∁R B）∩A=（）A．（﹣2，5]B．[﹣2，5]C．（2，5]D．[2，5]【解答】解：∵集合A={x∈R|0＜x≤5}，B={x∈R|log2（2﹣x）＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴C R B={x|x≤﹣2或x≥2}，∴（∁R B）∩A={x|2≤x≤5}=[2，5]．故选：D．3．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之（不超过3%），现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过（）A．6粒 B．7粒 C．8粒 D．9粒【解答】解：由题意得，≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7粒．故选：B．4．（5分）已知，若13+23+33+43+…+n3=3025，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵13+23=（）2=（）2，13+23+33=（）2=（）2，13+23+33+43=（）2=（）2，…∴13+23+33+…+n3=（）2=，∵13+23+33+43+…+n3=3025，∴=3025，∴n2（n+1）2=（2×55）2，∴n（n+1）=110，解得n=10，故选：C．5．（5分）已知，那么是α=kπ+（k∈Z）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵=cosα•cos（﹣α）+sinα•sin（﹣α）=cos2α﹣sin2α=cos2α．∴2α=，解得α=kπ±（k∈Z）．∴是α=kπ+（k∈Z）的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=时，f（﹣）=﹣＜0，排除选项C，D；函数的导数可得：f′（x）==，x∈（0，），f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（，），f′（x）＜0，函数是减函数，所以A正确．B错误．故选：A．7．（5分）已知直线l：y=kx﹣k与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则实数k等于（）A．B．±1 C．D．±2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），直线l：y=kx﹣k过抛物线的焦点，过N做NN′⊥准线x=﹣1，垂足为N′，由抛物线的定义，丨NN′丨=丨NF丨，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，由，则cos∠N′NM==，则tan∠N′NM=±，∴直线l的斜率k=±，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2+2（a∈R，b∈R），f'（x）为f（x）的导函数，则f（2016）﹣f（﹣2016）+f'（2017）+f'（﹣2017）=（）A．4034 B．4032 C．4 D．0【解答】解：根据题意，函数f（x）=acosx+bx2+2，f（﹣x）=acos（﹣x）+b（﹣x）2+2=f（x），则函数f（x）为偶函数，则有f（2016）=f（﹣2016），即f（2016）﹣f（﹣2016）=0，函数f（x）=acosx+bx2+2，则其导数f′（x）=﹣asinx+2bx，又由f′（﹣x）=﹣asin（﹣x）+2b（﹣x）=﹣（﹣asinx+2bx）=﹣f′（x），即函数f′（x）=﹣asinx+2bx为奇函数，则有f'（2017）=﹣f'（﹣2017），即f'（2017）+f'（﹣2017）=0；则f（2016）﹣f（﹣2016）+f'（2017）+f'（﹣2017）=0+0=0；故选：D．9．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，化简得：（）a12+（）a22=4c2，即，又∵，∴，即e1•e2≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故选：B．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．16 B．24 C．48 D．72【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．其中底面ABCD是直角梯形，CD AB，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD．∴该几何体的体积V==4×=24．故选：B．12．（5分）方程sin2πx﹣=0（x∈[﹣2，3]）所有根之和为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：作出y=sin2πx和y=在[﹣2，3]上的函数图象如图所示：由图象可知方程sin2πx﹣=0在[﹣2，3]上有4个根．∵y=sin2πx和y=都关于点（，0）对称，且[﹣2，3]关于点（，0）对称，∴方程的4个根两两关于点（，0）对称，∴方程的4个根的和为=2．故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=的定义域为{x|x≤﹣1或x=0} ．【解答】解：由，解得x≤﹣1或x=0．∴函数f（x）=的定义域为：{x|x≤﹣1或x=0}．故答案为：{x|x≤﹣1或x=0}．14．（5分）已知向量，若，则m﹣n=﹣6．【解答】解：∵，∴由，得m2+n2=20，①，②联立①②，解得m=﹣2，n=4．∴m﹣n=﹣6．故答案为：﹣6．15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值是2．【解答】解：变量x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x﹣y过点A时，z取得最大值，由，可得A（4，2）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值2．故答案为：2；16．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+3）=2f（x），当x∈[﹣1，2）时，f（x）=．若存在x∈[﹣4，﹣1），使得不等式t2﹣3t≥4f（x）成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1]∪[2，+∞）．【解答】解：当x∈[﹣1，2）时，f（x）=．当x∈[﹣1，0）时，f（x）=（x+）2﹣，仅有x=﹣时，取得最小值﹣；当x∈[0，2）时，f（x）=﹣（）|x﹣1|∈[﹣1，﹣]，可得x=1时，取得最小值﹣1；则当x∈[﹣1，2）时，f（x）的最小值为﹣1．当x∈[﹣4，﹣1），x+3∈[﹣1，2），由f（x+3）=2f（x），可得f（x）=f（x+3），由图象左右平移可知，函数的最值不变，可得此时f（x）的最小值为﹣，由存在x∈[﹣4，﹣1），使得不等式t2﹣3t≥4f（x）成立，可得t2﹣3t≥4f（x）的最小值，即为t2﹣3t≥﹣2，解得t≥2或t≤1，故答案为：（﹣∞，1]∪[2，+∞）．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）…①，∴当n≥2时，②①﹣②得，∴．…（5分）又∵当n=1时，，∴a1=4，∴．…（6分）（Ⅱ），…③…④∴∴．…（12分）18．（12分）某超市计划销售某种产品，先试销该产品n天，对这n天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）若已知销售量低于50的天数为23，求n；（Ⅱ）厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计日返利额的平均值．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：日销售量低于50的频率为0.016×10+0.03×10=0.46，∴，解得n=50．…（6分）（Ⅱ）依此方案，日返利额的平均值为：150×0.16+180×0.3+210×0.4+240×0.1+270×0.04=196.8（元）．…（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若三角形PAB是边长为2的等边三角形，求三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，又PC⊂面POC，∴AB⊥PC．…（6分）解：（Ⅱ）∵三角形PAB是边长为2的等边三角形，∴．∵PO⊥面ABCD，PO＞OA=OB=OC，线段PO上取点E，∴EA=EB=EC，E是外接球的球心，设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，，EC2=EO2+OC2，，，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．…（12分）20．（12分）如图，已知直线l：y=kx+1（k＞0）关于直线y=x+1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：=1分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1．（Ⅰ）求k•k1的值；（Ⅱ）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y=x+1对称点为P0（x0，y0），直线l与直线l1的交点为（0，1），∴l：y=kx+1，l1：y=k1x+1．，由，得y+y0=x+x0+2…①，由，得y﹣y0=x0﹣x…②，由①②得：，；（Ⅱ）设点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，∴，．同理：，．．MN：y﹣y M=k MN（x﹣x M），∴，即：．∴当k变化时，直线MN过定点．21．（12分）设函数f（x）=x﹣，g（x）=lnx．（Ⅰ）求函数y=2f（x）﹣5g（x）的单调区间；（Ⅱ）记过函数y=f（x）﹣mg（x）两个极值点A，B的直线的斜率为h（m），问函数y=h（m）+2m﹣2是否存在零点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ），x＞0，求导，令y′=0，解得：x=，或x=2，当y′＞0，解得：0＜x＜，或x＞2，当y′＜0，解得：＜x＜2，…（3分）∴函数y=2f（x）﹣5g（x）在上递增，在上递减，在（2，+∞）上递增．…（5分）（Ⅱ），，设p（x）=x2﹣mx+1，设两个极值点A（x1，y1），B（x2，y2），…（6分）∵函数有两个大于零极值点，∴△=m2﹣4＞0，得m＞2且x1+x2=m，x1x2=1，AB斜率=…（8分），由题意函数存在零点即有解，两根均为正且x1x2=1，…（9分）若x1＜x2，则0＜x1＜1，x2＞1，消元得整理得令，则，∴q（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴q（x）＞q（1）=0，∴函数y=h（m）+2m﹣2没有零点．…（12分）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C向左平移一个单位，再经过伸缩变换得到曲线C'，设M （x，y）为曲线C'上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标．【解答】解：（I）由（θ为参数）得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．…（4分）（Ⅱ）（x﹣1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换，得到曲线C'的直角坐标方程为，设M（2cosα，sinα），则=…（7分）当（k∈Z）时，的最小值为﹣2，此时点M的坐标为或．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，∴f（x）=…（2分）∴f（x）＞4⇔或或…（4分）⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …（5分）综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）…（6分）（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立⇔a+1＞（f（x））min…（7分）由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，∴x=﹣时，（f（x））min=…（8分）a+1＞⇔a＞…（9分）∴实数a的取值范围为（，+∞）…（10分）．。
2017届江西省师大附中高三三模文科数学试题及答案 精品
江西省师大附中2017届高三三模数学（文）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．设复数1z i =--(i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则(1)z z -⋅=A ．10B ．2C ．2D ．1 2．已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则R A B =I ðA ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)0,1(-D ．)0,1[- 3．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为A ．297B ．144C ．99D ．66 4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I，那么l γ⊥B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面β，l αβ=I，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥5．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ．12x π=B ．6x π= C ．3x π= D ．12x π=-6．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k7．下列命题正确的个数是①命题“231,xxRx>+∈∃”的否定是“xxRx31,2≤+∈∀”；②“函数axaxxf22sincos)(-=的最小正周期为π”是“1=a”的必要不充分条件；③axxx≥+22在]2,1[∈x上恒成立maxmin2)()2(axxx≥+⇔在]2,1[∈x上恒成立；④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅ba”.A ．1 B．2 C．3 D．48．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是21,FF，过1F作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为A．2 B．3 C．5 D．69．设函数)(xf的定义域为R，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=1,1,1)31()(xxxxfx，且对任意的Rx∈都有)1()1(-=+xfxf，若在区间]5,1[-上函数mmxxfxg--=)()(恰有6个不同零点，则实数m的取值范围是A．11(,]46B．11(,]34C．1(0,]5D．1(0,]610．如图所示，正四棱柱1111DCBAABCD-中，1,21==ABAA，M，N分别在BCAD,1上移动，始终保持MN∥平面11DDCC，设yMNxBN==,，则函数)(xfy=的图象大致是A． B． C． D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．将参加夏令营的100名学生编号为001， 002，⋅⋅⋅，100.先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是 .12．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是 .14．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非．零实数．．．,x y ，使得AO xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，且21x y +=，则cos BAC ∠= .15．观察下列等式：Λ,39323322320319317316,123113103837,13231=+++++=+++=+，则当m n <且N n m ∈,时，=-+-+++++313323323313m m n n Λ . （最后结果用,m n 表示）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，且2,1=+=c b a ，O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.3821)(=A f ，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组)15,14[，…，第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）设n m ,表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 ]18,17[)14,13[,Y ∈n m ，求事件“1>-n m ”的概率.18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，ο60=∠AFE ，且平面⊥ABCD 平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点． （1）求证：EG ∥平面ABF ； （2）求三棱锥AEG B -的体积； （3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，t a =1，且121,n n a S n N *+=+∈. （1）当实数t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的结论下，设31log n n b a +=，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，证明94n T <．20．（本小题满分13分）已知函数2()2ln 1f x x x a x =-++有两个极值点21,x x ，且21x x <． （1）求实数a 的取值范围，并讨论)(x f 的单调性； （2）证明:.42ln 21)(2->x f21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于B A ,两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断 AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．频率组距0.320.38江西师大附中三模文科数学试题答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C C D A D B B D C二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11. 7 12.34π 13. )2,4(- 14.3215.22n m - 三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.解：(1)由直方图知，成绩在)16,14[内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人）所以该班成绩良好的人数为27人. ┉┉┉┉3分（2）由直方图知，成绩在)14,13[的人数为306.050=⨯人，设为z y x ,,；成绩在)18,17[的人数为408.050=⨯人，设为.,,,D C B A若)14,13[,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；5分若)18,17[,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况┉7分 若n m ,分别在)14,13[和)18,17[内时，共有12种情况. ┉┉┉9分所以基本事件总数为21种.记事件“1>-n m ”为事件E ,则事件E 所包含的基本事件个数有12种. ┉┉10分 ∴.742112)(==E P 即事件“1>-n m ”的概率为47. …………12分 18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连FM ,∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且AD GM 21=，又∵FE ∥AD 21，∴ GM ∥FE 且FE GM =． ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM ．又∵⊄EG 平面ABF ，FM ⊂平面ABF ∴ EG ∥平面ABF ．…4分 （2）作AD EN ⊥于N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面 AFED=AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥ABG E -的高．∵ 在AEF ∆中，AF=FE ， ∠AFE=60º， ∴ AEF ∆是正三角形． ∴ ∠AEF=60º，由EF//AD 知∠EAD=60º，∴ EN=AE ∙sin60º．∴11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --∆==⋅=⨯⨯⨯=．………………8分（3）平面BAE ⊥平面DCE ．证明如下：∵ 四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥AE ．∵ 四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且60AFE ∠=°， ∴ =120FAD ∠°． 又在AED ∆中，EA=2， AD=4，60EAD ∠=°，由余弦定理，得ED=．∴222AD ED EA =+， ∴ ED ⊥AE ． 又∵ ED ∩CD=D ，∴ AE ⊥平面DCE ，又AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE ． 12分 19.解：（1）方法1：由题意得112121(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥，两式相减得1112)23(2)n n n n n n n a a S S a a a n +-+-=-=⇒=≥（……………………………2分 所以当2n ≥时，{}n a 是以3为公比的等比数列． 要使*n N ∈时，{}n a 是等比数列，则只需212131a t t a t+==⇒= ……………………4分方法2：由题意，1a t =，212121a S t =+=+，3212212()12(31)163a S a a t t =+=++=++=+ 若{}n a 为等比数列，则22213(21)(63)a a a t t t =⇒+=+⇒22244163210t t t t t t ++=+⇒--= 解得1t =或12t =-（12t =-时，20a =，不合题意，舍去），1t =时，3q =，13n n a -=，1131(31)213132n n n n n n S S a +-==-⇒+==-符合题意．.1=∴t………………4分（2）由（1）得知13n n a -=，31log n n b a n +==…6分111()33n n n n b n n a --==⋅……7分2311111123()4()()3333n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯L ①23111111112()3()(1)()()333333n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ② ①-②得2312111111()()()()333333n n n T n -=+++++-⨯L 11()13()1313nn n -=-⨯- ∴99319()()44234nn T n =-+<．. ………………………12分 20.解：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x x f +-='22)(2，且0)(='x f 有两个不同的根21,x x ，0222=+-∴a x x 的判别式084>-=∆a 即21<a ，且.00.22112211121>>-+=--=a x ax a x ，故又，).21,0(∈∴a (4)分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当.因此()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+.…………6分(2)由(1)可知()22212121122,2,1x x x x a a x x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ，其中. (9)分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h∴42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫ ⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在.即42ln 21)(2->x f . 13分21.解：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b = (2)分又b ==224,3a b ==， ∴椭圆的方程为22143y x +=…………6分(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++············· 8分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ ··· 9分 34OA OBk k ⋅=-,121234y y x x =-, 121234y y x x =-,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++ 22243m k -=,。
【江西师范大学附属中学】2017届高三3月月考数学(文科)试卷
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且22cos 3sin 2BB =，3a c = （1）分别求角B 和tanC 的值； （2）若1b =，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：空气污染指数 （单位：3/g m μ）[]0,50(]50,100(]100,150(]150,200监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本小题满分12分）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，112AD AA A D ===，H 为AD 中点，且1A H BD ⊥． （1）证明1AB AA ⊥； 离．（2）求点C 到平面1A BD 的距0.0010.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008频率组距空气污染指数 （μg/m 3）50100 150 20020．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33，联接椭圆四个顶点的四边形面积为26．（1）求椭圆C 的方程；（2）A B 、是椭圆的左右顶点，(,)P P P x y 是椭圆上任意一点，椭圆在P 点处的切线与过A B 、且与x 轴垂直的直线分别交于C D 、两点，直线AD BC 、交于(,)Q Q Q x y ，是否存在实数λ，使P Q x x λ=恒成立，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x b x =-+，其中,a b ∈R 且2a >，若e(2)ln 212f =-+，()f x 在(1,(1))f 处切线的斜率为e 1--． （1）求函数()f x 的解析式及其单调区间；（2）若实数,c d 满足cd λ=，且()()f c f d <对于任意c d >恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()4sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数．以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2(sin cos )3C k ρθθ-=：，k 为实数． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线2C 上，从点P 向1C 作切线，切线长的最小值为22，求实数k 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()ln(29)f x x x a =-++-． （1）当3a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．。
江西省2017届高三第三次联考测试文数试题 含答案
2017届江西省高三第三次联考测试卷文科数学 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1。
设集合{}1 2 3 4U =，，，,集合{}2540A x N xx =∈-+<,则UC A 等于( )A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，， 2.已知()2 a i b i a b R i +=+∈，，其中i 为虚数单位，则a b +等于（ ) A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 3.在等差数列{}na 中，已知386aa +=，则2163aa +的值为( )A 。
24 B.18 C 。
16 D.124.设01a b <<<，则下列不等式成立的是( ） A ．33ab > B ．11a b< C.1ba> D ．()lg 0b a -<5。
已知函数()2af x x x=+,则“02a <<”是“函数()f x 在()1 +∞，上为增函数”的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6。
运行如图所示框图的相应程序，若输入 a b ，的值分别为4log 3和3log 4，则输出M 的值是（ )A ．0B ．1 C.3 D ．1-7。
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．24B ．48C 。
54D ．728.在ABC △中，角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，,若 2 2 3 30c b C ===︒，，，则角B 等于( ）A ．30︒B ．60︒C 。
30︒或60︒D ．60︒或120︒ 9。
已知函数()13log 02 0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，若()12f a >,则实数a 的取值范围是( ）A ．30 3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．(]1 0-， C.31 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．()31 00 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，10.如图,12F F ，是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12C C ，在第一象限的公共点,若121F FF A=，则2C 的离心率是( )A 。
2017年江西师大附中高考数学三模试卷与解析word(文科)
2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=210．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F 1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．【解答】解：由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，则=．故选：B．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：已知甲班6名同学成绩的平均数为82，即80+（﹣3﹣8+1+x+6+10）=82，即（6+x）=2，则6+x=12，x=6，乙班6名同学成绩的中位数为77，若y=0，则中位数为=76，不满足条件．若y＞0，则中位数为（70+y+82）=77，即152+y=154，则y=2，则x﹣y=6﹣2=4，故选：C．4．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，∴sinθ=﹣2cosθ，∴==．故选：C．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要【解答】解：若m=﹣2，则两直线方程为﹣6x﹣8=0，和﹣3x+1=0，即x=﹣，和x=，则直线1∥l2，若m≠﹣2，则两直线方程为y=x+和y=﹣x﹣，若直线1∥l2，则=﹣，即m﹣4=﹣2（m﹣1）=﹣2m+2，得3m=6，m=2，此时直线方程为y=﹣x和y=﹣x﹣，满足直线l1∥l2，即“m=﹣2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π【解答】解：由已知三视图得到几何体是正方体截去一个圆台，其中正方体棱长为6，圆台上底面半径为1，下底面半径为3，所以体积为：=216﹣26π；故选：B．7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步【解答】解：设海岛高度为AB，前后表分别为CD，EF，由题意可知CD=EF=5，DG=123，DF=1000，FH=127，由△ABG∽△CDG得，由△ABH∽△EFH得，∴，解得BD=30750，∴AB=1255．∴AB=4里55步．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=2【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），故有A=2，2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=2kπ+，k∈N*①．∵函数的图象相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，=2，∴ω=，φ的最小正值为，f（x）=2sin（+），故当x=2时，f（x）=，故排除A；当x=3时，f（x）=0，故排除B；在区间（2，3）上，x+∈（，π），函数f（x）单调递减，故排除C；f（2017）=2sin（+）=2sin（504π++）=2sin=2，故D正确，故选：D．10．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算并输出S的值；且S=﹣+﹣+﹣…+=﹣×（1﹣）+×2×（﹣）﹣×3×（﹣）+×4×（﹣）+…+×10×（﹣）=×[﹣1+（+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）﹣]=×（﹣）=﹣．故选：A．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE 长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D （0，2），E（2，1），P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，=（x，y），=（2，﹣1），所以=2x﹣y=z，则y=2x﹣z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以，解得z=2，所以的取值范围是[2﹣，2+]；故选：D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得右焦点F2（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由F2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由F2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由，可得3（c﹣）=﹣c，即为﹣+4c=，由e=，可得﹣+4=，即有2e4﹣5e2+3=0，解得e2=或1（舍去），即为e=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为54．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，∴=a3•a11，即=（a1+2）（a1+10），解得：a1=﹣1．∴S12=﹣12+=54．故答案为：54．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是16．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=7x﹣2y过点B时，z取得最大值，由，可得B（4，6）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：7×4﹣2×6=16．故答案为：16．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．【解答】解：如图，取BC中点F，连接AF，DF，∵△ABC与△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；∴BC⊥平面ADF，BC⊂平面BCD；∴平面BCD⊥平面ADF，过A作AH⊥DF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，即线段AH的长是点A到平面BCD的距离；∴当AF⊥面BCD时，四面体ABCD的体积最大，设O为四面体ABCD外接球的球心，O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．∴OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，且O1F=O2F=OO1=OO2=2×sin60°×=，，∴四面体ABCD外接球的半径R=外接球的表面积为4πR2=故答案为：16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x，∴f′（x）=3（a﹣1）x2+2bx﹣2，∴x1，x2是方程3（a﹣1）x2+2bx﹣2=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=，∵a≥2，b＞0，∴两根一正一负，∴|x 1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，⇒（2﹣4x1x2=8∴∵a﹣1≥1，b＞0故b2=18（a﹣1）2﹣6（a﹣1）≥18﹣6=12，⇒b≥2故答案为：．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∵C∈（0，π），∴．（2）∵，∴ab=24，又c2=a2+b2﹣2abcosC，得a2+b2=52，解之得或．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下；计算，则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作A1，A2，A3，乙班抽取了2人，记作B1，B2，从中任意抽取3人，有A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B210种情形，其中至少有2人来自甲班的有7种情形，则至少有2人来自甲班的概率为P=．19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AO的中点O，连结OB，BD，OP，∵△PAD，△ABD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，AD⊥平面POB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB，∵M，N分别是BC，PC的中点，∴MN∥PB，∴AD⊥MN，又△BCD是等边三角形，M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴AD⊥DM，又DM∩MN=M，∴AD⊥平面MND．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵△PAD，△ABD是边长为4的等边三角形，∴OP=OB=2，PB=2，PA=AB=4，∴cos∠PAB==，∴sin∠PAB=．==2，∴S△PAB==4，V P﹣ABC=V C﹣PAB，又S△ABC设C到平面PAB的距离为h，则=，解得h=．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线方程为y=x﹣1，∴它过x轴上（1，0）点，∴椭圆C的一个焦点为（1，0）即c=1又∵，∴，∴椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为y=k（x+4），联立，∴，∵，∴，∴，∴，∴存在常数．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且，令f'（x）＞0⇒0＜x＜e，f'（x）＜0⇒x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．（2）∵，∴，当x＞e时，，∵a≥0，∴﹣a（x﹣e）≤0，∴h'（x）＜0，当0＜x＜e时，，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴．（3）∵m＞n＞0，m n=n m，∴nlnm=mlnn，∴即f（m）=f（n）．由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则1＜n＜e＜m，要证mn＞e2，即证，即证，即证，即证，由于1＜n＜e，0＜lnn＜1，即证e2lnn＜2n2﹣n2lnn．令G（x）=e2lnx﹣2x2+x2lnx（1＜x＜e），=，∵1＜x＜e，∴G'（x）＞0恒成立，∴G（x）在（1，e）递增，∴G（x）＜G（e）=0在x∈（1，e）恒成立，∴原不等式成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为为参数），∴消去t，得直线l的普通方程为：，∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴圆C的直角坐标方程为．（2）把直线l的参数方程代入中，整理，得5t2+12t+6=0设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵△＞0，∴同号）∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，则原不等式可化为或或，解得x≤﹣3或x≥2，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；（2）因为f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，则|x+a|+|x+2|≥|x﹣2|在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即|x+a|≥|x﹣2|﹣|x+2|=﹣（x﹣2）+x+2=4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即x+a≤﹣4或x+a≥4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即a≤（﹣4﹣x）min=﹣2或a≥（4﹣x）max=8，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[8，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
江西师大附中高三三模试卷数学文
A . 3B .-3 6.函数f (x)cosx .3 sin x, x2 2 A .,B .33C . -1D . -7— C .-,0 D .-,03 36A . 24B . 28C . 48D .72uur uuu r&过点P （2, 1）的直线与抛物线y 8x 交于A 、B 两点， 且PA PB 0 ,则此直线的方程为（ )江西省师大附中2010届高三三模试卷数学（文）审题人：高三数学（文）组 审核 苑娜娜 2010.5C . 115D . 95A .①③B .①④C . ②③D .②④4.已知 cos tan5 0 且 tan，贝Usin ( )121255A .-B y 2cos xC .D .513135.把函数f （x ） x—的图象按向量a （2,1）平移后得到函数 g （x ）的图象，又g （x ）的反函数为g 1（x ），则 ①p 或q”为真命题; 那么下列结论中正确的是（②p 或q”为假命题; ③非p 或非q”为真命题; ④非p 或非q”为假命题. x 2命题人：高三数学（文）组 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1.已知全集U = R ,集合A= x yJ 1 l x 1|| , B= y y影部分表示的集合为（ ）A .B . [0, 1)C . [0, 2]D . (1,2]3 .如果命题p 且q”为真命题, 、选择题：本大题共 要求的•lg x,x2•若a n 为等差数列,a 3 4忌 19，则数列 a .的前10项和为（则图示中阴)g 1(1)() 7.从5名学生中选出 ,0的减区间是（）3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每人不同的参赛方案共有（ ）种.1科，若学生甲不能参加物理竞赛，则A . x 4y 20 B . 4x y 7 0 C . x 8y 60 D . 8x y 15 0值为( )A .3二、填空题：本大题共 4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13 .某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2:3: 4，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中 A 产品有10件，那么此样本容量 n __________________ . 14 .已知平面向量a 1,2 ,b 1,1 ,若a a b ，则实数 的值为 ___________________________ .x y 015 .在平面直角坐标系中，不等式组 x y 4 0表示的平面区域为 M , M 的边界所围成图形的外接圆面 x a积是36 ，那么实数a 的值为 __________________ .16 .四面体 ABCD 中，有如下命题：①若 AC 丄BD , AB 丄CD 贝U AD 丄BC ;②若E 、F 、G 分别是 BC 、AB 、CD 的中点，则/ FEG 的大小等于异面直线 AC 与BD 所成角的大小；③若点 O 是四面体ABCD 外接 球的球心，则O 在平面ABD 上的射影是△ ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形， 则四面体ABCD 是正四面体•其中正确命题的序号是 ________________________ (填上所有正确命题的序号) •9. 某外商到一开发区投资增加2万美元，每年销售蔬菜收入A . 5B . 610. 如右图，直角三角形 ABCO 表面上，若OC 与三角形 ( ) A . 59 25万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费6万美元，以后每年支出30万美元，则该外商经营( )年所获的平均利润最大•C . 7D . 8 的边 AC = 3, BC = 4,ACB 90°,ABC 所在平面成30°的角，则球O 的表 50C .型311.若n 为函数f(x)x 12的最小值, 则二项式 2(x 2 n-) x的展开式中的常数项是 A . 12 12.已知双曲线( ) B . 2x E ： 2 C . 2688 240 2y2 1(a0,b 0)的离心率为 5376e ，左、右两焦点分别为 F i 、F 2，焦距为2c ，抛物线a bC 以F 2为顶点，F 1为焦点，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点， 若a PF 2 c PR 11a 2,则e 的D . 2顶点在球 面积为三、解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.17. （本小题12分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tan A tan B ^_c . tan A tan B c（1）求角A;urn iur（2）若BA AC 6,求a的最小值.18. （本小题12分）2010年上海世博会园区共有A、B、C、D、E五个展区，5月1日开幕后，观众如潮，截止5月20日已有500多万人参观了世博会园区，统计结果表明：其中90%的人参观了A区，50%的人参观了B区，60%的人参观了C区，……•据此规律，现有甲、乙、丙、丁4人去世博会园区参观，且假设4人参观是相互独立的，试求：（1 ）这4人中恰有两人参观了A展区的概率；（2）这4人中恰有两人参观了A、B、C展区中的两个的概率（精确到0.0001）.（参考数据：462 2116 , 482 2304 , 522 2704 , 542 2916 ）19. （本小题12分）如右图，已知ABCD为正方形，AE 平面ABCD ,AD DF 2AE 2.（1）求证：平面BEF 平面BDF ;2）求点A到平面BEF的距离；3）求平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小CB20. (本小题12分) 已知函数f(x) ax3 bx c为R上的奇函数，且当x=1 时，有极小值-1 ;函数1 3 3 3g(x) -x ^x t -(t R,t 0)(1)求函数f (x)的解析式；(2)若对于任意x [ —2, 2],恒有f (x) g(x)，求t的取值范围.21 .(本小题12分)椭圆C的中心在原点O,焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为—2，直线I与y轴2 交于点P(0,m)，又与椭圆C交于相异两点A、B且AP PB.(1)求椭圆方程；uun uun uur(2)若OA OB 4OP，求m的取值范围.22.(本小题14分) 已知函数f (x) x22x.(〔)数列｛a n｝满足:a1 1,a n 1 f (a n),求数列｛a n｝的通项公式；(2)已知数列｛b n｝满足b t 0,b n 1 f (b n)(n N*)，求数列｛b n｝的通项公式；(3)在(2)的条件下，设C n ^^」,数列｛C n｝的前n项和为3,若不等式S对所有的正整数n恒b n 1成立，求的取值范围•高三三模数学（文）答案一、 选择题： DCBDA CCBAC DD 二、 填空题：13.45; 14.5 ; 15.4;16.①③；三、 解答题：本大题共 6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.”tan A tanB be si nAcosB sin BcosA sinB sinC 17•解:(1)tan A tanB c sin AcosB sin BcosA sinCsi nAcosB sin B cos A sin B si nCsin(A B) si nC 0 sin (A B) sinC2cosAs in Bsin BsinB 0 1 2 cosAA (0, ) A23(2)BA AC6bc cos60 6bc 122 ,2a b2c 2bccosA 2 ,2a b2c bc 3bc 36当且仅当b c2-3 时，a6minsin AcosB sin BcosA sinB sin(A B)18•解：（1）PC 2（存令20.0486486 10000答：这4人中恰有两人参观了 A 展区的概率为0.0486.（2）先求某个人参观了 A 、B 、C 展区中的两个的概率为:954956 156 4810 10 10 10 10 10 10 10 10 100 则这4人中恰有两人参观了 A 、B 、C 展区中的两个的概率为:P 2 248 2 48 25°新答：这4人中恰有两人参观了0.3738A 、B 、C 展区中的两个的概率约为 0.3738.19 •解：(1)连AC 交BD 于O,取BF 的中点G ,连EG1 1OG 〃一DF ,AE 〃一 DF OG//AE2 2四边形AOGE 是平行四边形 AO//EGDF AO 又AO BDAO 平面 BDF EG 平面 BDF EG 平面 BEF 平面 BEF 平面 BDFO 到平面BEF 的距离就是 A 到平面BEF 的距离DF 平面ABCD⑵由（1）知AO// EGAO//平面 BEFV6平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为 arccos ——320 .解：(1)由 f( x)f(x) c 01由f (1) 3a b 0a - 2f(1) a b1b2经检验在x=1时，f(x)有极小值—1,仃 \ 1 3 3• •• f (x) x x2 2(2)设 h(x)f (x) g(x) x 3 3x令 h (x) 3x 23 0得x 1 或x1•f (x ) ” 3x2 23 2t 亍则 h (x) 3x 3,，令 h (x) 3x 23 0得 1 x 1所以h(x)在区间［—2, — 1］及［1 , 2］上的增函数，在区间过O 作OH BF 于H 平面BEF 平面BDF OH 平面BEFOH OB BOH ~ BFDOHDF BF(3)设平面BEF 与平面BCD 所成的角为即点A 到平面BEF 的距离为COSS ABDSBEF［—1, 1］上的减函数,h(x)min minh(2),h(1) h(1) 2 t 3使对于任意X[-2, 2], 恒有f(x)g(x)，则h(1)23 t - t解得t 3或t 1t(,3) (0,1)21 •解：（1）设椭圆C的方程为 2 y22 X 2a b242 c,2■ 21( a b 0)ca b c c 2 a2a 1,bc ■ 2椭圆C的方程为y2 2x21- ... 分2(2 )由AP PB得0P0A(OB OP)即(1)OP OA OB 当0、A、B不共线时， 1 4, 3 , m 0设l与椭圆C交点为A（x i, yj B（X2, y2）kx m代入2x y2 1 得(k22)x2 2kmx则x1AP (2km)24(k22)( m21) 4(k2 2m2m2 1k23PB2) 2m22 km2朴2 k2 2X1 X2为3x2X1X22X23X22消去x2得3（x1x2 )2 4x1x2即4k 2m2 2m2k2 2 0 m2— , 4k2m242m2k2m2 4 时,k222 2m；14m22代入①得帶2m2m2 1当o、1 1丄或丄2 2A、B共线时，分.101，此时m 01综上所述m （ ^）1（丁）01222 •解：(I) f (x) 2x 2,a n 1 2a n 2 a. 1 2 2© 2) ｛a n 2｝为等比数列，a n n 12 (a1 2)2 n 1a n 3 2 2(n )由已知得b n 0 , 2b n 1 1 (b n 1),……吩lg(b n 1 1) 2lg( b n 1),•••又lg(b 1) lg(t 1) 0,所以｛ig( b n 1)｝的公比为2的等比数列,2“ 1(t 1)2 1(川) Q b k 1 b：2b k, b k b k 1 b kS n Qt S nb k 1b k 1C1 C2 0, tS1又不等式(b k 2)1b k 1Cn1,b kk 1,2,b2 b3) 1 1 1)b n b n 1 t (t 1)1 S n在n N上是增函数1 t 1(t 1)2 1 t2 2t,S n对所有的正整数n恒成立,t 1t2 2t一t 1故的取值范围是(，-------- ---- )t2 2t。
2020届江西师大附中2017级高三上学期期中考试数学(文)试卷及解析
2020届江西师大附中2017级高三上学期期中考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的准考证号.姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答题无效.3.考试结束后,监考员将试题卷.答题卡一并收回.参考公式：在线性回归方程y a bx =+中, 棱锥体积公式1221n i ii n i i x y nx y b x nx=-=-=-∑∑, 13V Sh =, a y bx =-. 其中S 为底面积,h 为高.第Ⅰ卷（选择题部分,共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =,{}1,0,1,2A =-,{}232B x R x x =∈=-,则()U A B =（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 【答案】B【解析】 求出B 中方程的解,确定集合B ,根据全集U Z =求出B 的补集,找出A 与B 补集的交集即可．【详解】解：由B 中的方程变形得：(1)(2)0x x --=,解得：1x =或2x =,即{}1,2B =,全集U Z =,{}1,0,1,2A =-{}|1,2,U B x x x x Z ∴=≠≠∈,则(){}1,0U A B =-,故选：B ．2.已知复数()()()212z a a i a R =-+-∈,则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】复数2(1)(2)z a a i =-+-为纯虚数,则210a -=且20a -≠,解得1a =±, 所以“1a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．故选A ．3.已知向量(0,2a =-,()1,3b =,则向量a 在b 上的投影为（ ）A. 3-B. D. 3 【答案】A【解析】 设向量a 与b 的夹角为θ,求得cos a b a b θ⋅= 的值,只根据向量a 在b 上的投影为cos a θ,计算求得结果．【详解】解：由题意可得23a =,(212b =+=,(016a b =⨯+--,设向量a 与b 的夹角为θ,。
优质金卷：江西省江西师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试文数试题(解析版)
1．C 【解析】因为集合{}230{|0A x x x x x =->=<或()()3},03,x >=-∞⋃+∞，()(){|2}{|22}2,2,2,0B x x x x A B =<=-<<=-∴⋂=-，故选C.2．B 【解析】因为复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1--，所以121i,2i z z =-=-+，()()()()212i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z z -++-+--====----+ ，故选B. 3．C 【解析】由727781808690826x ++++++=，可得6x =，由7082772y ++=，得2y =，624x y ∴-=-=，故选C.6．B 【解析】由三视图知，该几何体是一个正方体挖去一个圆台，正方体棱长为6 ，圆台上下底面半径为1 和3 ，高为6 ，所以几何体体积为()31691316216263ππ-++⨯⨯=- ，故选B.7．A 【解析】设()()1ln 1,'x g x x x g x x-=--= ， ()g x 在()0,1 上递减，在()1,+∞ 上递增， ()f x ∴在()0,1上递增，在上递减()1,+∞，故排除,B C ，当()1000f e > ，排除D ，故选A. 8．A 【解析】如图，由题意5BC DE == 步，设AH h = 步， 123,127BF DG == ，5123123,5h HF h HF == ，同理1275h HG = ，由题意， ()()1271231000HG HD ---= ，即 12712341000,125555h hh --== （步）4= 里125 步，故选A.9．D 【解析】由24T = ，得()28,,244T f x sin x πππωϕω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭， ()12f = ，可得4πϕ= ， ()20,f A ≠ 错； ()3f 不是最大值也不是最小值， B 错； ()f x 在()2,3 上递减， C 错；()201722017244f sin ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭ ，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下 几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分 当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个 框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到 达到输出条件即可.11．D 【解析】以C 为原点建立如图所示的坐标系，则()()()2,2,0,2,1,0A D E -- ，设()cos ,P sin θθ ，()()1,2,cos 2,2DE AP sin θθ=--=+- ， ()()·222AP DE sin sin θθθϕ=-+=+ ，·22AP DE ⎡∴∈+⎣ ，故选D.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算运算、以及最值问题，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边 形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与 箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．本题解答的关键是将向量问题 转化为解析几何问题，利用三角函数的有界性进行解答.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有 关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、 虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题 应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值. 13．54【解析】{}n a 为等差数列，其公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项， 25311·a a a ∴= ，即 ()()()21114210a a a +=++ ，解得11212111,121542a S ⨯=-∴=-+⨯= ，故答案为54 . 14．16【解析】作出不等式组对应的可行域如图所示：故当目标函数72z x y =-进过点()4,6A 时，取得最大值，且最大值为472616⨯-⨯= ，故答案为16 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般 步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的 最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．203π【解析】当平面ABC 与平面BCD 垂直时，四面体有最大面积，因为四面体A BCD - 外接球 的球心O 到平面ABC 和平面BCD 的投影恰好为ABC ∆ 外接圆的圆心E 与BCD ∆的外接圆的圆心F ，如图所示：OENF ∴ 为正方形， 13OF EN AN FD ====， R OD = ， 所以2225R ,3OF DF =+= 外接球的表面积为22043R ππ= ，故答案为203π.17．【解析】试题分析：(1)由23ABC AC CB S ∆⋅=根据平面向量数量积公式结合三角形面积公式可得tan C = 进而可得结果；(2) 12,24AC CB ab ⋅=∴=，再应用余弦定理可得结果.试题解析: (1)233ABC AC CB S ∆⋅=, ()1cos sin 32ab C ab C π∴-=tan C ∴=()20,,3C C ππ∈∴=. (2)12,24AC CB ab ⋅=∴=,又2222cos c a b ab C =+-,得2252a b +=,解之得4{6a b ==或6{4a b == 18．【解析】试题分析：(1)根据所给数据可得列联表，将表中数据代入公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，得2K的值，与2.706比较即可得结论；(2) 分层抽样甲班抽取了3人，记作123,,A A A ,乙班抽取了2人,记作12,B B ，从中任意抽取3人共有10 种方法，符合题意的共有7 种，由古典概型概率公式可得结果.试题解析:（1）()2212030403020243.43 2.706606050707K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 则有90﹪的把握认为学生成绩优良与班级有关.19．【解析】试题分析：(1)先证明AD ⊥平面POB ，由中位线定理可得//MN PB ，可证四边形OBMD 是平行四边形，于是得//DM OB ，再由面面平行的判定定理可得平面//DMN 平面POB ，进而得结论；(2)根据“等 积变换”,由C PAB P ABC V V --=可得结果.(2)设点C 到平面PAB 的距离为h平面PAD ⊥平面ABCD , PO AD ⊥ PO ∴⊥平面ABCDC PAB P ABC V V --=, ABC PAB PO S S ∆∆=== ABC PABS PO h S ∆∆⋅∴=.20．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ，求出a 、b 、c ， 即可得结果；（2）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知， 即可求得λ 的值.学科&网 试题解析：(1)抛物线24x y =在点()2,1P 处的切线方程为1y x =-，它过x 轴上()1,0点， ∴椭圆C的一个焦点为()1,0即1c =又c e a ==1a b ∴== ∴椭圆C 的方程为2212x y +=(2)设()()1122,,,A x y B x y , l 的方程为()4y k x =+, 联立()()2222224{1216322022y k x k x k x k x y =+⇒+++-=+=2122212216{1232212k x x k k x x k ∆>∴+=-+-=+ ()12112121,0,,11y yF k k x x -==++, 1212121212111111144x x x x k k y y k x x ⎛⎫++++∴+=+=+ ⎪++⎝⎭()()121212121225824167x x x x k k k k x x x x +++∴+==+++ ， 121227k k k k k k ∴+=∴存在常数27λ=. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意： ①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条 件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 21．【解析】(2)()2ln 1(0)2x h x ax aex x x =-+>, ()()21ln xh x a x e x '-∴=--,当x e >时,21ln 0,0xx e x --,()00a a x e ≥∴--≤,()0h x ∴'<当0x e <<时,21ln 0,0,0xx e a x->-<≥,()0h x ∴'> ()h x ∴在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减.()()2max 112h x h e ae e ∴==+. (3)0,n m m n m n >>=, ln ln n m m n ∴= ln ln m nm n∴=即()()f m f n =. 由(1)知 ()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,且()10f =, 则1n e m <<<要证2mn e >,即证2e m e n >>,即证()2ef m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 即证()22ln ln n n n n e-<,由于1,0ln 1n e n <<<<,即证222ln 2ln e n n n n <-.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）. 22．【解析】试题分析：（1）利用代入法消去参数得出普通方程，对极坐标方程两边乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线普通方程，利用参数得几何意义及韦达定理即可得出.1212121260,(,55t t t t t t ∆>∴+=-=同号) 11PA PB ∴+===23．【解析】试题分析：(1) 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2)先求出()2f x x ≥-的解集，利用子集关系列不等式组，从而可得结果.试题解析:（1）当1a =-时， ()()21(2)12{32121(1)x x f x x x x x x --<-=-++=-≤≤+>则原不等式可化为2{215x x <---≥或21{35x -≤≤≥或1{215x x >+≥解得3x ≤-或2x ≥所以原不等式的解集为][(),32,-∞-⋃+∞ （2）因为()2f x x ≥-的解集包含[]4,2-- 则22x a x x +++≥-在[]4,2x ∈--上恒成立 即4x a +≥在[]4,2x ∈--上恒成立即4x a +≤-或4x a +≥在[]4,2x ∈--上恒成立 即()min 42a x ≤--=-或()max 48a x ≥-=，所以a 的取值范围是][(),28,-∞-⋃+∞.。
【试题】江西省2017届高三10月月考数学文试题Word版含答案
【关键字】试题江西师大附中高三数学（文）月考试卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则集合B不可能是( )A．B．C．D．2．若等差数列的前7项和，且，则( )A.5 B C.7 D.83．已知则等于( )A.7B.C.D.4．已知如图所示的向量中，，用表示，则等于( )A． B．C． D．5．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为( )A. B. C. D.6．已知向量满足，且，则向量的夹角为( )A. B. C. D.7．在中，内角的对边分别是，若，则等于( )A．B．C．D．8．已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是( )A．16 B．C．32 D．649．已知函数是奇函数，其中，则函数的图象( )A．关于点对称B．可由函数的图象向右平移个单位得到C．可由函数的图象向左平移个单位得到D．可由函数的图象向左平移个单位得到10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前10项和为( )A. B. C. D.11．已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为( )A. B. C. D.12．已知函数,若,且对任意的恒成立,则 的最大值为( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．__________14．设函数，则不等式的解集为__________15．已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=__________ 16．等腰的顶角，，以为圆心，为半径作圆，为该圆的一条直径，则的最大值为__________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题10分） 在中，分别是角的对边， (1)若且角为锐角，求角的大小； (2)在(1)的条件下，若，求的值.18. （本小题12分）如图，已知海岛到海岸公路的距离，间的距离为，从到必须先坐船到上的某一点，航速为，再乘汽车到，车速为，记 （1）试将由到所用的时间表示为的函数； （2）求由到所用的时间的最小值.19. （本小题12分）如图，在直三棱柱中，，且． （1)求证：平面⊥平面；（2)点在边上且，证明在线段上存在点，使//平面，并求此时的值. 20. （本小题12分）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程；(2)若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围. 21. （本小题12分）已知等差数列的前项和为，，，. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2sin 22πn a b n a n n⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．（本小题12分）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ． （1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.江西师大附中高三年级数学（文）月考答案1．已知集合{|1},A x y x AB ==-=∅， 则集合B 不可能．．．是( ) A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y x C ．{|sin ,}36y y x x ππ=-≤≤ D ．{})12(log 22++-=x x y y答案：D 知识点：集合间的关系 难度：1 解析：{}{}11≥=-==x x x y x A ，{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ，故选D2．若等差数列{}n a 的前7项和721S =，且21a =-，则6a =( ) A.5B.6C.7D.8答案：C 知识点：等差数列性质 难度：1 解析：()2127717=+=a a S 解得67162=+=+a a a a ，76=∴a 3．已知,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于( ) （A ）7 （B ）71 （C ）71-（D ）7-答案：B 知识点：同角三角函数的关系 难度：1 解析：43tan =α，则=+-=-αααπtan 1tan 1)4tan(71 4．已知如图所示的向量中，AB AP 34=，用OB OA 、表示OP ，则OP 等于( ) A.OB OA 3431- B.OB OA 3431+ C ．OB OA 3431+-D ．OB OA 3431--答案：C 知识点：向量的线性运算与表示 难度：1解析：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →。
【江西师大附中】2017届高三上学期11月月考数学(文科)试卷 -答案
）()min f x =(1)1()2a a -=--=+．解：）m n ⊥，(tan m A =，(,2)n b c =，0m n ∴=(tan tan )2b A B +-sin sin cos cos B c A B 又A ）S又a 2(a a +-+54+++AEOB O =，．AE 的平行线交CFG 为过点DOE △∽△CFOB H 于，连结BH PO OB =，解得3311ABCE BCF PO S S GH -梯△形 2．125(1)([PA PB x x m x ==+-4江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且属于A的元素构成，所以用集合表示为A∩B．A={x∈N|y=}={x∈N|7x﹣x2﹣6≥0}={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，其真子集的个数为23﹣1=72．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．5．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得到f（x）=sin（2x﹣）﹣，再根据对称轴的定义即可求出．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，则其对称轴为2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，当k=0时，x=，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=，6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱截去一个三棱锥，剩余一个四棱锥的几何体，可得几何体的体积为：=2．7．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义，即可得出结果．【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为1，点G是边AF的中点，∴=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=1×1×cos120°+1×1×cos60°+×1×1×cos60°+×1×1×cos0°=．9．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．10．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100，利用|PA|+|PB|≤即可得出|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．∵|AB|==10．∴当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100∴|PA|+|PB|≤=10当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号．∴|PA|+|PB|的最大值为5．11．【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜4912．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e，故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2=25，∴圆心坐标为（2，﹣2），半径r=5，∴圆心到直线3x+4y+17=0的距离d==3则|AB|=2=8．14．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V水+V球=V容，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．器【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，V PC==3πr3又设HP=h，则EH=h∴V水==∵V水+V球=V PC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的体积与小球的体积之比为：=5：4．15．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且，可得b1…•b14=•…•=a15=，代入即可得出答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列且，∴b1b2…b14=•…•=a15==27=128．16．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题，共70分．17．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）利用f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，求解即可．【解答】解：（1）当a=3时，x＜﹣1，不等式可化为﹣3x+1≥6，∴x≤﹣；﹣1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；当x＞3时，3x﹣1≥6，∴x≥，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥1}；（2）∵f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，∴，∴a≤﹣5或a≥3．18．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知可=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=，结合A的范围，进而得到∠A的大小；（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b2+c2=25，联立即可解得b，c的值．【解答】解：（1）∵，=（tanA+tanB，﹣tanB），=（b，2c），∴=0，可得：b（tanA+tanB）﹣2ctanB=0，∴=，可得：cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵S△ABC=bcsinA==3，∴bc=12，①又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣12=13，可得：b2+c2=25，②∴联立①②解得：，或．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．（2）由b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+4==（n+1）2．（2）证明：b n===，∴T n=+++…++=＜=．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．（3）所求几何体的体积为V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在图1中，AB=4，AD=2，则BD=10，又AD2=DO•BD，∴DO=2，OB=8，在图2中，PO=DO=2，PO2+OB2=22+82=68=PB2，∴PO⊥OB，又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE．解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，∴S△ADE=5，S梯形ABCE=S ABCD﹣S△ADE=35，S△BCF=S△ADE=5，设CF∩OB于H，连结GH，则，解得GH=，∴所求几何体的体积为：V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF===．21．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|2=2m2，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=•=m2，则2m2=m2λ，即可求得常数λ．【解答】解：（1）由题意可知：，整理得：x2+2（1﹣p）x+1=0，由抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x﹣y+1=0相切，∴△=0，即4（1﹣p）2﹣4=0，解得：p=2或p=0（舍去），∴抛物线方程为：y2=4x；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）可知：M（1，2），则k OM=2，设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1﹣m，2﹣m），|PM|2=2m2，则，整理得：4x2+4（m﹣1）x+m2=0，由△＞0，即16（m﹣1）2﹣16m2＞0，解得：m＜且m≠0，由韦达定理可知：x1+x2=1﹣m，x1•x2=，由丨PA丨丨PB丨=•=5[x1•x2+（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2]=m2，整理得：2m2=m2λ，解得：λ=，∴存在常数λ=，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立．22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．（2）f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根据函数零点定理验证即可．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0），由f′（x）=0，得x1=1，x2=①当0＜＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；②当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；③当＞1，即a≥2时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，）；④当≤0，即a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．（2）∵f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，当a＞2时，函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，），若x∈（0，），f（x）≤f（1）=﹣a﹣1＜0，无零点，若x∈（，+∞），则f（）＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一个零点，则当a＞2时，f（x）有唯一的零点，当0＜a＜2函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；若x∈（0，1），f（x）≤f（）=a（lna﹣﹣1﹣ln2），有lna＜ln2＜1，则lna﹣﹣1﹣ln2＜0，则f（x）＜0，即f（x）在（0，1）内无零点，若x∈（1，+∞），则＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一个零点，则当0＜a＜2时，f（x）有唯一的零点，综上所述函数f（x）在定义域内有唯一的零点。
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2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=210．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．【解答】解：由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，则=．故选：B．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：已知甲班6名同学成绩的平均数为82，即80+（﹣3﹣8+1+x+6+10）=82，即（6+x）=2，则6+x=12，x=6，乙班6名同学成绩的中位数为77，若y=0，则中位数为=76，不满足条件．若y＞0，则中位数为（70+y+82）=77，即152+y=154，则y=2，则x﹣y=6﹣2=4，故选：C．4．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，∴sinθ=﹣2cosθ，∴==．故选：C．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要【解答】解：若m=﹣2，则两直线方程为﹣6x﹣8=0，和﹣3x+1=0，即x=﹣，和x=，则直线1∥l2，若m≠﹣2，则两直线方程为y=x+和y=﹣x﹣，若直线1∥l2，则=﹣，即m﹣4=﹣2（m﹣1）=﹣2m+2，得3m=6，m=2，此时直线方程为y=﹣x和y=﹣x﹣，满足直线l1∥l2，即“m=﹣2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π【解答】解：由已知三视图得到几何体是正方体截去一个圆台，其中正方体棱长为6，圆台上底面半径为1，下底面半径为3，所以体积为：=216﹣26π；故选：B．7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步【解答】解：设海岛高度为AB，前后表分别为CD，EF，由题意可知CD=EF=5，DG=123，DF=1000，FH=127，由△ABG∽△CDG得，由△ABH∽△EFH得，∴，解得BD=30750，∴AB=1255．∴AB=4里55步．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=2【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），故有A=2，2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=2kπ+，k∈N*①．∵函数的图象相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，=2，∴ω=，φ的最小正值为，f（x）=2sin（+），故当x=2时，f（x）=，故排除A；当x=3时，f（x）=0，故排除B；在区间（2，3）上，x+∈（，π），函数f（x）单调递减，故排除C；f（2017）=2sin（+）=2sin（504π++）=2sin=2，故D正确，故选：D．10．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算并输出S的值；且S=﹣+﹣+﹣…+=﹣×（1﹣）+×2×（﹣）﹣×3×（﹣）+×4×（﹣）+…+×10×（﹣）=×[﹣1+（+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）﹣]=×（﹣）=﹣．故选：A．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE 长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D （0，2），E（2，1），P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，=（x，y），=（2，﹣1），所以=2x﹣y=z，则y=2x﹣z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以，解得z=2，所以的取值范围是[2﹣，2+]；故选：D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得右焦点F2（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由F 2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由F2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由，可得3（c﹣）=﹣c，即为﹣+4c=，由e=，可得﹣+4=，即有2e4﹣5e2+3=0，解得e2=或1（舍去），即为e=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为54．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，∴=a 3•a11，即=（a1+2）（a1+10），解得：a1=﹣1．∴S12=﹣12+=54．故答案为：54．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是16．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=7x﹣2y过点B时，z取得最大值，由，可得B（4，6）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：7×4﹣2×6=16．故答案为：16．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．【解答】解：如图，取BC中点F，连接AF，DF，∵△ABC与△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；∴BC⊥平面ADF，BC⊂平面BCD；∴平面BCD⊥平面ADF，过A作AH⊥DF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，即线段AH的长是点A到平面BCD的距离；∴当AF⊥面BCD时，四面体ABCD的体积最大，设O为四面体ABCD外接球的球心，O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．∴OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，且O1F=O2F=OO1=OO2=2×sin60°×=，，∴四面体ABCD外接球的半径R=外接球的表面积为4πR2=故答案为：16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x，∴f′（x）=3（a﹣1）x2+2bx﹣2，∴x1，x2是方程3（a﹣1）x2+2bx﹣2=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=，∵a≥2，b＞0，∴两根一正一负，∴|x1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，⇒（2﹣4x1x2=8∴∵a﹣1≥1，b＞0故b2=18（a﹣1）2﹣6（a﹣1）≥18﹣6=12，⇒b≥2故答案为：．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∵C∈（0，π），∴．（2）∵，∴ab=24，又c2=a2+b2﹣2abcosC，得a2+b2=52，解之得或．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下；计算，则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作A1，A2，A3，乙班抽取了2人，记作B1，B2，从中任意抽取3人，有A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B210种情形，其中至少有2人来自甲班的有7种情形，则至少有2人来自甲班的概率为P=．19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AO的中点O，连结OB，BD，OP，∵△PAD，△ABD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，AD⊥平面POB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB，∵M，N分别是BC，PC的中点，∴MN∥PB，∴AD⊥MN，又△BCD是等边三角形，M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴AD⊥DM，又DM∩MN=M，∴AD⊥平面MND．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵△PAD，△ABD是边长为4的等边三角形，∴OP=OB=2，PB=2，PA=AB=4，∴cos∠PAB==，∴sin∠PAB=．==2，∴S△PAB==4，V P﹣ABC=V C﹣PAB，又S△ABC设C到平面PAB的距离为h，则=，解得h=．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线方程为y=x﹣1，∴它过x轴上（1，0）点，∴椭圆C的一个焦点为（1，0）即c=1又∵，∴，∴椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为y=k（x+4），联立，∴，∵，∴，∴，∴，∴存在常数．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且，令f'（x）＞0⇒0＜x＜e，f'（x）＜0⇒x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．（2）∵，∴，当x＞e时，，∵a≥0，∴﹣a（x﹣e）≤0，∴h'（x）＜0，当0＜x＜e时，，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴．（3）∵m＞n＞0，m n=n m，∴nlnm=mlnn，∴即f（m）=f（n）．由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则1＜n＜e＜m，要证mn＞e2，即证，即证，即证，即证，由于1＜n＜e，0＜lnn＜1，即证e2lnn＜2n2﹣n2lnn．令G（x）=e2lnx﹣2x2+x2lnx（1＜x＜e），=，∵1＜x＜e，∴G'（x）＞0恒成立，∴G（x）在（1，e）递增，∴G（x）＜G（e）=0在x∈（1，e）恒成立，∴原不等式成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为为参数），∴消去t，得直线l的普通方程为：，∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴圆C的直角坐标方程为．（2）把直线l的参数方程代入中，整理，得5t2+12t+6=0设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵△＞0，∴同号）∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，则原不等式可化为或或，解得x≤﹣3或x≥2，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；（2）因为f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，则|x+a|+|x+2|≥|x﹣2|在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即|x+a|≥|x﹣2|﹣|x+2|=﹣（x﹣2）+x+2=4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即x+a≤﹣4或x+a≥4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即a≤（﹣4﹣x）min=﹣2或a≥（4﹣x）max=8，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[8，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。