置信度(置信区间计算方法)

0.1
2
0.075
得 2 的置信区间为
0.05 0.025
(n1)S2,
(n1)S2
-2
2
• • 2
4
6
8 10
2
1
2
2 2
(4)
ch73
2(n1)
2
122(na1)
83
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从
正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机
抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
X ~ N,
1 5
X ~ N0, 1
1 5
取 0.05
查表得 z/21.96
ch73
a
69
这说明
P
X
1.96 0.05
1 5
即 P X 1.96 15X 1.96 15 0.95
称随机区间 X1.9615, X1.9615
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
ch73
S12 S22 nm
X , Y 相互独立, 因此 1 2的置信区间为
(XY)z2 ch73
S12 n
a
S22 m
(7)
91
(4) 12,22 未知, 但 n = m , 1 2的置信区间
令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2,…, n, 可以将它们看成来
自正态总体
Z
~
N
(
1
2
,
2 1
(XY)(12)
11 (n1)S12(m1)S22 n m nm2
t1
2
1 2 的置信区间为
(XY)t 2
11 (n1)S1 2(m 1)S2 2 n m nm 2
ch73
a (6)90
(3) 12,22 未知, n, m > 50, 1 2的置信区间
12 22 S12 S22
n mnm
(XY)(12) ~N(0,1)
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据
所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch73
a
68
如引例中，要找一个区间,使其包含 的
真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
再
求参数 保 证 提 高 置信区间 可靠性 精 度
ch73
a
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
g(Xx,X2,,Xn,)— 称为枢轴量
它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参
数 (常由 的点估计出发考虑 ).
例如
X～ N(,1/5)
X~N(1,n12),Y~N(2,m 22) X , Y 相互独立,
(XY)(12)~N(0,1)
2 1
22
nm
1 2 的置信区间为
(XY)z 2
2 2
12, nm
(XY)z
2
n 1 2 m 2 2
ch73
a (5)88
(2) 12,22未知( 但12222) 1 2的置信区间
X
+
22)
的样本
Z XY,
SZ 2n1 1i n1(XiYi)(XY)2
仿单个正态总体公式(2) 1 2 的置信区间为
(XY)t(n1)SZ (8)
ch73
2
a n
92
(5)
方差比
2 1 2 2
的置信区间 ( 1 ,
2
未知)
S12
取枢轴量
FSS1222
/12 /22
12 S22
~F(n1,m1)
ch73
0 2.02(55)
0 2.97(55)a
86
(二) 两个正态总体的情形
(X1,X2,,Xn)为取自总体
N
(
1
2 1
)
的样本,
(Y1,Y2,,Ym) 为取自总体
N ( 2
2 2
)
的样本,
X,S12; Y,S22 分别表示两样本的均值与方差
置信度为 1
ch73
a
87
(1) 12,22 已知, 1 2 的置信区间
22
因此, 方差比
2 1 2 2
的置信区间为
SS1222
1, F(n1,m1)
2
S12 S22
1
F12(n1,m1)
ch73
a (9)93
(6)
方差比
2 1 2 2
的置信区间 ( 1 ,
2
已知)
取枢轴量
n
F
1 n
1
n
(Xi 1)2
i1
12
m
(Yj 2)2
j1
m n
(Xi 1)2
置信上a 限
74
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠.
越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73 常选最小的一个. a
选取枢轴量
n
g(X1,X2,,Xn,)X ~N(0,1)
ch73
a
n
79
由
X
P
n
z
2
确定 z 2
解 X
z
2
n
得 的置信度为 1的置信区间为
(Xz 0, Xz 0 )
2n
2n
ch73
a
80
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
X t(n 1 )S,X t(n 1 )S (2 )
随机抽取 5 只作寿命试验, 测得寿命为
1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小时)
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命
方差的单侧置信上限.
取0.05.
解 X~N (,2),,2未知 n5,x116, 0
ch73
s2
1( 5 4 i1
xi2
5x)995.0
a
101
(1) 选取枢轴量
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间
置信度
(3) 求方差 2的置信区间.
均为0.95
解 (1) X~N(,0.06 /6)即N(,0.0)1
ch73
X
0.1
~
N(0,1)
a
z
2
z0.0251.96
84
由给定数据算得
x
1 6
6 i1
xi
14.95
由公式 (1) 得 的置信区间为
(x
s 6t0.02(55),
x
s 6t0.02(55))
(14.71, 15.18)7
(3)
选取枢轴量
K
5S2
2
~2(5)
s2 0.051.
查表得
2 0 .0
( 2 5 )5 1.8 2,33 0 29 (5 7 ) 50 .83
由公式 (4) 得 2 的置信区间为
5s2
5s2
(
,
)(0.01,90.9 30)69
2
22(n)1
得 2 的置信度为1置信区间为
n (Xi )2 n (Xi )2
i1
, i1
(3)
ch73
2(n)
2
1a22(n)
82
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
选取 K(n 12)S2 ~2(n1) 则由
P (1 2 2(n1 2 )S2 2 2)1
0.15 0.125
ch73
a
96
(1) 若它们的方差相同, 12222,求均值
差 1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
(2) 若不知它们的方差是否相同, 求它们的 方差比的置信度为 0.95 的置信区间
ch73
a
97
解 (1) 取枢轴量
(XY)(12) ~t(nm2)
11 (n1)S12(m1)S22 n m nm2
a
70
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得一
个区间,此区间不一定包含未知参数
的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877)
它可能包含也可能不包含 的真值, 反复
抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
m)
a
(10)
95
例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番
茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量 分别为13与17的两个相互独立的样本
X1,X2,,X13与 Y1,Y2,,Y17
已知 x10.6g, y9.5g,
s12 2.4g2, s22 4.7g2
假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量
都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2
ch73
a
71
为何要取 z/2 ?
当置信区间为(Xz
2
15,
Xz
2
15) 时
区间的长度为 2 z
2
1 5
——
达到最短
ch73
a
72
0.4 0.3 0.2 0.1
z-2 1
2
-1
0.4
0.3
0.2
0.1
z-2 -1
ch73
1
3
取 = 0.05
z 1
2
2
z
2
z12
1.96(1.96)
3.92
得置信区间(T1, T2 )
引例中
(T 1 ,T 2) (X 1 .91 6 5 , X 1 .91 6 5)
ch73
a
78
置信区间常用公式
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形
(1) 方差 2已知, 的置信区间
(Xz ,Xz ) (1 )
2n
2n
推导
由
2 X ~ N(, )
22
1
1
F0.97(512, 16)F0.02(516, 12)3.16
由公式(9)得方差比
2 1 2 2
的置信区间为
S S122 2 F0.02(5n 11,m1),S S122 2 F0.97(5n 11,m1)
ch73 (0.176, 17.613)a 6
99
(三) 单侧置信区间
定义 对于给定的 (0 < < 1) , 是待估参数
查表得 t0.02(528)2.0484
由公式(6) 1 2 的置信区间为
(XY)t2
11 nm
(n1)S12(m1)S22 nm2
ch73(0.354, 52.554a )5
98
S12
(2)
枢轴量为F
S12 S22
/12 /22
12 S22
~ F(1 2,1 6)
查表得 F0.02(512, 16)2.89
(1.9 4 5 1.9 6 0.1, 1.9 4 5 1.9 6 0.1)
(1.7 4,51.1 5)5
(2)
取T
X S
~
t(5)
查表 t0.02(55)2.570
6
由给定数据算得 x14.95
ch73 s21 5(i 61xi26x2a)0.05. 1 s0.2285 6
由公式 (2) 得 的置信区间为
X
~
N(,
2
)
n
若2已知, 则 的置信度为1 - 的置信区间
可取为
X z
2n
若2未知, 则 的置信度为1 - 的置信区间
可取为
X t S
ch73
n 2 a
103
例4 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为
2
n
2
n
推导
选取枢轴量
T
X
S
~T(n1)
由
P
X
S n
n
t
(n1)
确定t
(n 1)
2
2
故 的置信区间为Xt(n1)S, Xt(n1)S
ch73
2 a
n
2
8n1
(3) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间
取枢轴量 Qi n1Xi2 ~2(n)由，概率
n
(Xi )2
P
2 12
(n)
i1
(X1,X2,,Xn)是总体 X 的样本, 若能确定一个统计量
(X1,X2,,Xn)（ 或 (X 1,X2,,Xn))
使得 P ( ) 1 (或 P ( ) 1 )
则称 (, )(或 (,))
为置信度为1 - 的单侧置信区间.
ch73
单侧置信下限 a
单侧置信上限 100
例3 已知灯泡寿命X 服从正态分布, 从中
取枢轴量
ch73
g(X1,X2,,Xn,a)X1/5 ~N(0,1) 77
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得
P ( a g ( X 1 ,X 2 ,X n ,) b ) 1
( 引例中 a 1.9,6 b1.9)6
由 ag(X 1,X 2,X n,)b解出 T1 , T2
Y
~
N (1
2
,
Hale Waihona Puke Baidu
2
n
2)
m
(X Y ) (1 2 ) ~ N(0,1) 1 1
nm
(n1)S12 ~2(n1) 2
(m1)S22
2
~2(m1)
(n 12)S12(m 1 2)S2 2~2(nm2)
(XY)(12) ~t(nm2)
11 (n1)S12(m1)S22
n m nm2
ch73
a
89
P
i1 m
(Yj 2)2
j1
12 22
~ F(n,m)
m
ch73
22
a
94
因此,
方差比
2 1 2 2
的置信区间为
n
m n
i1 m
( X i 1)2 (Yj 2 )2
j 1
,
F (n, m)
2
ch73
n
m n
i1 m
( X i 1)2 (Yj 2 )2
j 1
F1
2
(n,
z2
3
z13
1.84(2.1)3
3.97
z1
2
2
a
73
3
置信区间的定义
设 为待估参数, 是一给定的数,
( 0<<1). 若能找到统计量 T1, T2 , 使
P ( T 1 T 2 ) 1
则称 [T1, T2]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计.
T1
置信下限
ch73
T2
X S
~
t(4)
n
tt0.052.1318
xt0.05s510.6 94
(2) 选取枢轴量
(n1)S2
2
~2(4)
02.95(4)0.711
2 4s2 55977
ch73
02.95(4) a
102
(四) 非正态总体均值的区间估计
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大,
由中心极限定理,
可近似地视