广西壮族自治区桂林市第十八中2025届高三下第二次教学质量调研数学试题

广西壮族自治区桂林市第十八中2025届高三下第二次教学质量调研数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ） A ．
B ．[1,3]
C ．
D ．[3,2]
2．如图，抛物线M ：2
8y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于
AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）
A ．等于4
B ．大于4
C ．小于4
D ．不确定
3．若复数5
2z i
=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
4．已知函数在
上的值域为
，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A
B 等于（ ）
A ．{}012,,
B ．{2,1,0,1,2}--
C ．{}2,1,0,1,2,3--
D ．{}12
, 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．
43
D ．
56
7．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，则以下判断正确的是( )
A ．m n >
B ．||||m n <
C ．m n <
D ．m 与n 的大小关系不确定
8．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()
//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-
B ．1-
C ．12
-
D ．
12
9．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1
B ．2
C ．
22
D 2
10．设复数z ＝
213i
i
-+，则|z |＝（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
12
D ．
22
11． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252
D ．1272
12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．
14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为
45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23
和1
2
．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 15．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
16．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知()
2
:,41p x R m x x ∀∈+>；2:[2,8],log 10q x m x ∃∈+.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题，求实数m 的取值范围. 18．（12分）如图，直线与抛物线
交于
两点，直线
与轴交于点，且直线
恰好平
分
.
（1）求的值； （2）设是直线
上一点，直线
交抛物线于另一点
，直线
交直线
于点，求
的值.
19．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为
133x t y t ⎧=+⎪
⎨=⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线2C 的极坐标方程；
（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.
20．（12分）已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足：
12
222b b ++…1()2
n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 21．（12分）已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明：
（1）()()()21212127a b c +++≥；
（2）
()
()
()
2
2
2
1113
4
a b c b a c c a b +
+
≤
+++. 22．（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12
5
()a c b ac +=． （1）若a ，b ，c 成等差数列，求cos B 的值；
（2）是否存在ABC 满足B 为直角？若存在，求sin A 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得
sin 30sin b a θ
=
︒
，所以
sin 2sin sin 30a b θθ=
⨯=︒
，所以02b <≤，故选C ．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质． 2、A 【解题分析】
利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282
y x
my x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即
可
【题目详解】
据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：
当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282
y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()22
8440x m x -++=，所以124x x =，所以
()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==.
【题目点拨】
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 3、B 【解题分析】
根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【题目详解】
55(2)10522(2)(2)5
i i z i i i i ++=
===+--+, ∴2z i =-,
故选：B
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 4、A 【解题分析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【题目详解】
当时，
又，，
由
在
上的值域为
解得：
本题正确选项： 【题目点拨】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式. 5、A 【解题分析】 进行交集的运算即可． 【题目详解】
{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-， {0A
B ∴=，1，2}．
故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 6、A 【解题分析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：1211233
⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 7、C 【解题分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设3
()sin ,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，
根据条件得()()f m f n <，即可得结果． 【题目详解】 解：设3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-，
则2
()3cos
02
2
x
f x x π
π'=+
>，
即3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-为增函数，
又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，
即33sin
sin
2
2
m
n
m n ππ+<+，
所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 8、A 【解题分析】
根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【题目详解】
()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+= ()
//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-
故选：A 【题目点拨】
本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则
12210x y x y -=.
9、D 【解题分析】
设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【题目详解】
由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，
可得222
337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，
5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，
设公比为q ，则()2
237q a a 4q 8+==，
则q =
负的舍去)，
故选D ． 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题． 10、D 【解题分析】
先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【题目详解】
解：z ＝
213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710
i --＝﹣110﹣710i ,
则|z |
＝
2. 故选：D . 【题目点拨】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题. 11、D 【解题分析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =
，则7781a a q f === 故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若
1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n n a
q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*
3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.
12、B 【解题分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误． 【题目详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB
，则11AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，
∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆
中，1AD DC ==1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②
正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，
连结CF ，易知2CF =，
而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确；
以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， (
)1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (
)
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈ 【解题分析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min
2
y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，
可得出2T
π
ω=
，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.
【题目详解】
由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴=
=，max min
202
y y b +==， 从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28
T ππ
ω∴==. 又
10228
k π
ϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z π
ϕπ=
+∈，取34
πϕ=， 所以310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 208
4y x ππ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 【题目点拨】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 14、
8
15
【解题分析】
分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【题目详解】
甲被录取的概率1433545p =⨯=；乙被录取的概率2211323
p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()122132128
11533515
p p p p p =-+-=⨯+⨯=.
故答案为：8
15
.
【题目点拨】
本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题. 15、
116
【解题分析】
初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；
运行第一次：1
013
11,2,322
T xdx n n =+=+
==<⎰
成立； 运行第二次：1
2
033111,3,32236
T x dx n n =+=+==<⎰不成立；
输出T 的值：
11
.6
结束
所以答案应填：
11.6
考点：1、程序框图；2、定积分. 16、750
【解题分析】因为，得
，
所以。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
（2）-1m ＜或14m >
【解题分析】
（1）根据p 为真命题列出不等式，进而求得实数m 的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 【题目详解】 （1）
()
241x m x x ∀∈⋅+>R ，
0m ∴>且21160-<m ，
解得1
4
m >
所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4⎛
⎫+∞
⎪⎝⎭
. （2）由2[2,8],log 10x m x ∃∈+≥，可得21
[2,8],log x m x
∃∈≥-
， 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡
⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
x ， 1m ∴≥-.
∵当p q ⌝∨为真命题，且p q ⌝∧为假命题时， ∴p 与q 的真假性相同，
当p 假q 假时，有141
m m ⎧≤⎪
⎨⎪<-⎩，解得1m <-；
当p 真q 真时，有141m m ⎧>⎪
⎨⎪≥-⎩
，解得14m >；
故当p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题时，可得1m <-或1
4
m >. 【题目点拨】
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18、（1）
；（2）
.
【解题分析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分
，所
以
，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得
；（2）设，
，
，由三点共线得
，再次代入点的坐标并化简得，同理由
三点共线，
可得，化简得
，故
.
试题解析： （1）由
，整理得
，
设，，则，
因为直线平分
，∴
，
所以，即
，
所以
，得
，满足，所以
.
（2）由（1）知抛物线方程为，且
，
，，
设，
，，由
三点共线得
，
所以
，即
，
整理得：，①
由
三点共线，可得
，② ②式两边同乘得：
，
即：，③ 由①得：，代入③得：，
即：，所以
.
所以
.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立
，相当于得到
的坐标，但是设而不求.根据直线
平分
，有
，这样我们根据斜率的计算公式
，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线
来求解. 19、（1）6
π
θ=
（ρ∈R ）；（2）2a .
【解题分析】
（1）化简得到直线方程为3
3
y x =
，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，37,26
a B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，计算得到答案 . 【题目详解】
（1）由133
x t
y t ⎧=+⎪⎨=
+⎪⎩消t 得，30x y -=即3
3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6
π
的直线，∴2C 的极坐标方程为6
π
θ=
（ρ∈R ）.
（2）由6
(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，2
6a ρπθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由76
(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得32
76a ρπθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴37,26a B π⎛⎫
⎪
⎝⎭
，∴3||222a a AB a =+=. 【题目点拨】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20、（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +-
【解题分析】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．
由,可得2n c =． 由，得
，可得
．
所以．
可得． （Ⅱ）设，则
.
即
，
可得2n c =，且． 所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n 项和
．
考点：等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式． 21、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解题分析】
（1）利用均值不等式33a b c abc ++≥即可求证； （2）利用
()
2
1
4
ab
a b ≤
+，结合1abc =，即可证明. 【题目详解】
（1）∵322113a a a a +=++≥32213b b +≥32213c c +≥ ∴()()()32222121212727a b c a b c +++≥=. （2）∵()2
2
2
24a b a ab b ab +=++≥，∴
()
2
14
ab
a b ≤
+.
同理有
()
2
14ac
a c ≤
+，
()21
4bc b c ≤+. ∴
()()()2
2
2
1
1
1a b c b a c c a b +
+
+++
()()()
2
2
2abc abc abc a b c b a c c a b =
+
+
+++
()
()
()
2
2
2
bc
ac
ab
b c a c a b =+
+
+++
11134444
≤
++=. 【题目点拨】
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题. 22、见解析 【解题分析】
（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，
由余弦定理可得2222
()2323cos 1222a c ac b b ac b B ac ac ac
+---=
==-， 因为125()a c b ac +=，所以2
1225b ac =，即265b ac =，
所以23364cos 112255
b B a
c =-=⨯-=． （2）若B 为直角，则sin 1B =，sin cos C A =， 由125()a c b ac +=
及正弦定理可得12
sin sin sin sin 5
A C A C +=， 所以12sin cos sin cos 5A A A A +=
，即6
sin cos sin 25
A A A +=， 上式两边同时平方，可得2
361sin 2sin 225
A A +=
，所以(9sin 25)(4sin 25)0A A +-=（*）． 又0sin 21A <≤，所以9sin250A +>，4sin250A -<， 所以(9sin 25)(4sin 25)0A A +-<，与（*）矛盾， 所以不存在ABC 满足B 为直角．。