淮南职业技术学院教-淮南职业技术学院基础部

淮南职业技术学院教案

课程名称： 章节名称 2-5 微分及其在近似计算中的应用

教学时数 授课类型 □ 理论课 □实践课 教学目的与教学要求：

学习微分的概念，了解微分在近似计算的方法和思想。 教学重点：

微分的概念，掌握微分与导数的关系。

教学难点：

微分的概念以及近似计算。

教学方法：

注：以下内容按实际情况取舍

教学分组：

安全事项：

教学条件：

参考资料：

其他：

教学内容与教学过程（教学过程设计） 2-5 微分及其在近似计算中的应用

一、微分的概念

定义2.5.1 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域) ,(0δx U 内有定义，任给0x 一个增量x ∆（) ,(00δ∆x U x x ∈+）如果存在常数A ，使得到相应函数值的增量

)()()(00x o x A x f x x f x ∆∆∆∆+⋅=-+=，

（)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小量）。则称函数()y f x =在点0x 处是可微的，称A x ⋅∆为()y f x =在点0x 处的微分。

记作：x A dy x x ∆==0 或x A x df x x ∆==0

)(。 通常称x A ∆⋅为y ∆的线性主要部分。

定理7 函数)(x f 在点0x 处可微的充要条件是：函数)(x f 在点0x 处可导，并且

x x f dy ∆⋅'=)(0。

若x y =，则x x y dx dy ∆∆=⋅'==)(。 所以微分常记为

dx x f dy )('=。

二、微分的几何意义

当自变量x 改变了x ∆时，曲线过

点P 的切线纵坐标的改变量，为函数在P 点的微分。

三、微分的运算法则

由导数的基本公式和运算法则，可得微分基本公式和

运算法则。

例4 求函数x y cos =的微分。

例5 求函数x e y sin =的微分。

例6求由方程2222a y xy x =-+确定的隐函数的微分。

例7 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t

a y t a x 33sin cos π20≤≤t 确定的隐函数的微分。 例8 设x e x x y x sin ln 3+=，求dy 四、微分的运算法则微分在近似计算中的应用

若函数y = f ( x ) 在x 0点处可微，则

dx x f dy x f x x f )()()(000'=≈-+∆ 或 dx x f x f x x f )()()(000'+≈+∆。 特别地 当00=x ，1<<=x x ∆ 时。

x f f x f )0)0()('+≈.

所以

1）x n

x n 111+

≈+ 2）x e x +≈1 3）x x ≈+)1ln( 4）x x ≈sin 5）x x ≈tan 例9 计算05.1arctan 的近似值。 例10某球体的体积从972cm 3增加到973cm 3，试求半径改变量的近似值。 例11计算365的近似值。

课后小结：

y ∆dy x x x ∆+αQ P T M N x

y 图2-8