湖南省汨罗市一中、岳阳县一中2017-2018学年第一学期期中考试 数学试卷

汨罗市一中 岳阳县一中高一年级第二次联考
数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一、本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}1,0,1-=M ，{}
x x x N ==2，则M N ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.
{}1,0 C. {}1 D. {}0
2.下列函数与函数y x =相等的是（ ）
A ． y =
B ．log (0,1)x
a y a a a =>≠ C ．2
x y x
= D ．2y =
3.下列函数中，在其定义域R 内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. y x = B. 1
y x
=
C. 3 y x =-
D. 1() 2x y =
4.已知在R 上的奇函数()y f x =, 当0x >时, ()12,x f x =+则(2)f -的值为（ ） A. 5 B. 5- C. 1
5- D.
15
5.若函数()f x 是(01)x
y a a a =>≠且的反函数，且(4)2f =-，则()f x 等于（ ）
A ．2log x
B ．
12x C ．12
log x D ．2
2x - 6.若01x y <<<, 则下列不等关系正确的是 ( )
A ．0.20.2x y <
B ．log 3log 3x y <
C ．33y x <
D ．44log log x y <
7.已知函数()223log ,0
,01x x f x x x x +⎧>=⎨≤--⎩
，则不等式5)(≤x f 的解集为（ ）
A. []1,1-
B.(]()4,02, -∞-
C. []4,2-
D.(][]4,02, -∞- 8.函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在区间是（ ） A ．)1,2
1( B ．)1,1(-e C ．)2,1(-e
D ．),2(e
9.函数x
x y lg =
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
11.设函数2
()f x x =，
()(01)x g x a a a =>≠且，()log (01)a h x x a a =>≠且，则对在其定义域内的任意实数12,x x ， 下列不等式总成立的是（ ）
① 1212()()(
)22x x f x f x f ++≤ ②1212()()
()22x x f x f x f ++≥ ③ 1212()()()22x x g x g x g ++≤ ④ 1212()()
()22
x x h x h x h ++≥ A. ① ③ B. ② ③ C. ① ④ D. ② ④
12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=2
)
2(22)(2
x x x x
x f ，函数)2()(x f b x g --=，其中R b ∈，
若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）
A. ⎪⎭⎫
⎝⎛2,47 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-47, C.
⎪⎭⎫ ⎝⎛47,0 D.⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+,47
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上. 13.若幂函数()f x 的图象经过点(8,2),则(27)f = ．
14.函数2
()lg(21)1f x x x
+--的定义域是 ． 15.计算22310.25lg162lg5log 3log 82
---+⋅= ． 16.()f x 是定义在区间[]c c ,-上的奇函数,其图象如图所示: 令()()g x af x b =+,则下列关于函数()g x 的结论: ①若0<a ,则函数()g x 的图象关于原点对称;
②若02,1<<--=b a ,则方程()g x =0有大于2的实根; ③若0≠a ,2b =,则方程()g x =0有两个实根; ④若1,2a b ≥<,则方程()0g x =有三个实根． 其中,正确的结论有___________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17．（本小题满分10分） 已
知
集
合
2{|320}
A x x x =-+=，
{|lg()}
B x y x a ==-，
2{|20},C x x bx =-+=
(1) 若B A ⊆,求实数a 的取值范围; (2) 若,A
C A =求实数b 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知定义域为D 的函数)(x f y =，
[])(,n m D n m <⊆,①)(x f 在[]n m ,内是单调函数；②当定义域是[]n m ,时，)(x f 的值域也是[]n m ,.
（1）判断函数x x x g 2)(2
-=,[]1,0∈x 是否满足条件①和②,并说明理由;
（2）若函数)0(1
12)(2>-+
=x x
a a x f 满足条件①和②，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分） 已知函数12
4)(1
+⋅-=+x x
a x f
(1)若1=a , 求函数)(x f 的值域;
(2)若函数)(x f 有零点, 求实数a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得
最大收益，其最大收益是多少万元？ 21．（本小题满分12分） 已知函数)()(3
22
Z m x x f m m
∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若)1)((log )(--⋅=x x f a x g a (01)a a >≠且在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21上为增函数，
求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分） 已知函数)124lg()(-+⋅=x
x
a x f .
（1）如果)2,1(∈x 时，函数)(x f 有意义，确定实数a 的取值范围； （2）当0≤a 时，)(x f 值域为R ，求实数a 的值；
（3）在（2）条件下，)(x g 为定义域为R 的奇函数，且0>x 时，110
)()
(+=x f x g ，
对任意的[]1,1-∈t ，)
()
()(32
x g x g tx x g ≥+恒成立，求实数x 的取值范围．
答案
1. B
2. B
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.C
9.D 10.C 11.A 12. A 13.3. 14.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<121x x
. 15. 17. 16. ②. 12.【分析】求出函数y=f （x ）﹣g （x ）的表达式，构造函数h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），作出函数h （x ）集的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ）， ∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b+f （2﹣x ），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，
当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，
故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：A．
17. (1)
{}
{}23201,2,A x x x =-+==集合{}a x x B >=,
∵B A ⊆,∴1<a (2)解：
{}
{}23201,2A x x x =-+==，
,A C A C A =∴⊆，则C 中的元素有以下三种情况：
①若C =∅时，即方程2
20x bx -+=无实根，280,2222b b ∴∆=-<-<<
②若{}1C =或{}2C =，即方程2
20x bx -+=有两个相等的实根，
280,22b b ∴∆=-==±，此时{}2C =
或{}2C =-，不符合题意，舍去。

③若{}1,2C =时，则123b =+=，而两根之积恰好等于2，∴3=b 综上所述，2222b -<<或3b =. 18.解：（1）g （x ）=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1， x ∈[0，1]时，)(x g 单调递减,满足条件①; x ∈[0，1]时，g （x ）∈[﹣1，0]，不满足条件②.
（2））显然)(x f 在()∞+,0为增函数,由f （x ）的定义域和值域都是[m ，n] 得f （m ）=m ，f （n ）=n ，因此m ，n 是方程x x
a a =-+21
12的两个不相等的正实数根，
等价于方程a 2x 2﹣（2a 2+a ）x+1=0有两个不等的正实数根，
即⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧>=⋅>+=+>-+=∆010204)2(2212
2212
22a x x a a a x x a a a 解得a ＞或a ＜﹣．
19.
解；（1）当1=a 时，
0)12(122)2(124)(221≥-=+⋅-=+-=+x x x x x x f
所以函数)(x f 的值域为[)∞+,0。

（2）函数)(x f 有零点，即012
4)(1
=+⋅-=+x x
a x f ，x x a 2
1
42+=
设x
t 2=，则0>t ，21
122≥+=+=t
t t t a ， 1≥a 另解：设x t 2=，则0>t ，函数)(x f 有零点⇔0122
=+⋅-t a t 至少有一个正实根，
① 两个正根，⎪⎩⎪
⎨⎧>=⋅>=+≥-=∆01020
442
1212x x a x x a ⇔1≥a
② 一正根一负根 因为 0121>=⋅x x ，所以，这种情况不存在； ③ 一正根一零根 因为 0121>=⋅x x ，所以，这种情况不存在； 综上，1≥a
20.解（1）设()x k x f 1=，()x k x g 2=
所以 ， 即 （2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为(
)万元
依题意得： 令， 则
所以当2=t ，即16=x 万元时，收益最大，万元
3m ax =y ()328
1218202
2+--=+-=t t t y ()
52020≤≤-=t x t ()()()200202
1820≤≤-+=
-+=x x x x g x f y x -20x
()()02
1
≥=
x x x g ()()081≥=x x x f ()221
1k g ==()1811k f ==
21解：（1）∵f （x ）为偶函数，∴﹣2m 2+m+3为偶数， 又f （3）＜f （5），∴
＜
，即有：
＜1，
∴﹣2m 2+m+3＞0，∴﹣1＜m ＜，又m ∈Z ，∴m=0或m=1． 当m=0时，﹣2m 2+m+3=3为奇数（舍去）， 当m=1时，﹣2m 2+m+3=2为偶数，符合题意．
∴m=1，f （x ）=x 2
（2）由（1）知：g （x ）=log a [af （x ）﹣x-1]=log a （ax 2﹣x-1） （a ＞0且a ≠1）在区
间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,2
1上为增函数．
令u （x ）=ax 2﹣x-1，y=log a u ；
①当a ＞1时，y=log a u 为增函数，只需u （x ）=ax 2﹣x-1在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,21上为增函
数．
即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=≤01214)2
1(2
1
21a u a ⇒a ＞6
②当0＜a ＜1时，y=log a u 为减函数，只需u （x ）=ax 2﹣x-1在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21上为减
函数．
即：⎪⎩⎪⎨⎧>--=≥≥0
124)2(221a u a ⇒a ∈∅，
综上可知：a 的取值范围为：()∞+,6
22.【解答】解：（1）∵f（x）=lg（a•4x+2x﹣1），
∴当x∈（1，2）时，2x∈（2，4）；
设t=2x，t∈（2，4），∴a•t2+t﹣1＞0，∴a＞﹣；
设g（s）=s2﹣s，s∈（，），
∴g（s）在s∈（，）上是单调减函数，且g（）=﹣，
∴a≥﹣，即a的取值范围是[﹣，+∞）；
（2）令h（x）=a•4x+2x﹣1，由题意，h（x）的值域包含（0，+∞）；
①a=0时，h（x）=2x﹣1，其值域为（﹣1，+∞），满足条件；
②a＜0时，h（x）=a•4x+2x﹣1=a•（2x）2+2x﹣1，
令t=2x，则h（x）的值域是（﹣∞，﹣1﹣），不满足条件；
综上，a=0；
（3）∵f（x）=lg（2x﹣1），且g（x）为定义域为R的奇函数，
当x＞0时，g（x）=10f（x）+1=2x，
∴x＜0时，﹣x＞0，g（﹣x）=2﹣x，∴g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2x；
∴g（x）=，
∴=g（2x），且x≠0；
∴不等式g（x2+tx）≥可化为g（x2+tx）≥g（2x）；
又g（x）是定义域上的单调增函数，∴x2+tx≥2x在t∈[﹣1，1]时恒成立，
学科王
即，解得x＜0或x≥3；
∴x的取值范围是（﹣∞，0）∪[3，+∞）．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想的应用问题，是综合性题目．
.11。