高考数学选修4-5 不等式选讲

选修4-5 不等式选讲

1．已知f (x )＝|1－x |－|x －5|， (1)解不等式f (x )<2；

(2)若f (x )＋2m －1<0存在实数解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|1－x |－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

4，x >5，2x －6，1≤x ≤5，

－4，x <1，

∵f (x )<2，∴x <1或⎩

⎪⎨⎪⎧

2x －6<2，

1≤x ≤5，∴x <1或1≤x <4，∴不等式的解集为(－∞，4)．

(2)由(1)知f (x )min ＝－4， ∵f (x )＋2m －1<0存在实数解， ∴f (x )min ＋2m －1<0， 即－4＋2m －1<0，∴m <5

2，

∴m 的取值范围为⎝

⎛⎭⎫－∞，52. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立． (1)求实数m 的值；

(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1

β≥3.

解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |， 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1， 所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，

所以4α＋1β＝13⎝⎛⎭⎫

4α＋1β(α＋β) ＝1

3⎝

⎛⎭⎫5＋4βα＋αβ

≥

1

3⎝

⎛

⎭

⎫

5＋2

4β

α·

α

β

＝3.

当且仅当4β

α

＝α

β

，即α＝2，β＝1时等号成立，

故4

α

＋1

β≥3.

3．设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

解：(1)f(x)＝

⎩

⎨

⎧－3x，x<－12，

x＋2，－

1

2≤x<1，

3x，x≥1.

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.

4．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－kx－1.

(1)若k＝2，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若方程f(x)＝0有实数根，求k的取值范围．

解：(1)因为k＝2，所以f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧－4x＋4，x≤1，

－2x＋2，1<x<4，

－6，x≥4，

由f (x )>0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，－4x ＋4>0，得x <1，或⎩

⎪⎨⎪⎧

1<x <4，

－2x ＋2>0，

得x ∈∅，

故不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)． (2)由f (x )＝0，得|x －4|＋|x －1|－1＝kx ，

令g (x )＝|x －4|＋|x －1|－1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

4－2x ，x ≤1，

2，1<x <4，

2x －6，x ≥4，

作出g (x )的图象如图所示．

直线y ＝kx 过原点，当此直线经过点B (4,2)时，k ＝1

2；

当此直线与直线AC 平行时，k ＝－2.

由图可知，当k <－2或k ≥1

2时，g (x )的图象与直线y ＝kx 有公共点．从而f (x )＝0有实

数根，

所以k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；

(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3

t ＋3t .

解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎨⎧

－3x ，x ≤－1，

2－x ，－1<x <12

，3x ，x ≥1

2

，

于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥12

，3x ≤3，

解得－1≤x ≤1.

故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．

(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．

t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3

t ≥0， t 2－3t ＋1－3

t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t .

∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)

t ≥0， ∴t 2＋1≥3

t ＋3t .

6．已知正实数x, y 满足x ＋y ＝1.

(1)解关于x 的不等式|x ＋2y |＋|x －y |≤5

2；

(2)证明：⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9. 解：(1)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，

∴|x ＋2y |＋|x －y |≤5

2

⇔⎩⎪⎨⎪⎧

0<x <1，|2－x |＋|2x －1|≤52

⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，

|2x －1|≤12＋x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧

0<x <1，－⎝⎛⎭⎫12＋x ≤2x －1≤12＋x ，

解得1

6

≤x <1，

∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫

16，1.

(2)证明：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，