北师大版高中数学 必修五 3.4.1 二元一次不等式组与平面区域(共27张PPT)

A规格
第一种钢板
2
第二种钢板
1
B规格
1 2
C规格
1 3
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
思考1:用第一种钢板x张，第二种钢板y 张，可截得A、B、C三种规格的小钢板各 多少块？ A种:2x＋y块
B种:x＋2y块
C种:x＋3y块
A种:2x＋y块
B种:x＋2y块
C种:x＋3y块 思考2：生产中需要A、B、C三种规格的 成品分别15，18，27块，那么x、y应满 足什么不等关系？用不等式如何表示？
y x
(1)

x

2
y

4
y 2
Y
x+2y=4
2
o
4
-2
y=x
x y=-2
x 3
(2)
2

3
y x

x 2y

6
3 y x 9
3x+2y=6 Y
3
x-3y+9=0
O
23
X
x-2y=0
X=3
【背景材料】要将两种大小不同的钢板 截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时 截得三种规格的小钢板的块数如下表所 示：
2x y 15

x
+
2
y

1
8
x + 3 y 2 7
思考3：考虑到x、y的实际意义，x、y还 应满足什么不等关系？
x0, y0
思x、考y4应：满按足实不际等要式求组，，

2 x x
x + +
2 3
y y
y

15 18 27
x 0 , y 0
不等式组 x 3y 6 0 x y 2 0
表示的平面区域是（ B ）
x 3y 6 0 x y 2 0
小结：
（1）二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在 平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一 侧 所有点组成的平面区域，（虚线表示区域不 包括边界直线，实线包括边界直线）
解：画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (------直线定界)
取原点（0，0），代入x + 4y - 4，
因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
(-------特殊点定域)
所以，不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域
在直线x + 4y – 4 = 0的
y
左侧如图所示。
x x+4y―4=0
• 2．二元一次不等式表示平面区域的判断方 法
• 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直 线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一 侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具 有__相__同___的符号，当点在直线l的两侧时， 点的坐标使Ax＋By＋C的值具有_______ 的符相反号．
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示 的平面区域
y x

x

2
y

4
y 2
二元一次不等式组：由几个二元一次不
等式组成的不等式组.
想
一 想 ？
问题 在平面直角坐标系中，直线x+y-
1=0将平面分成几部分呢？
y
答：分成三部分:
（1）点在直线上
1
x （2）点在直线的右上方 01
x+y-1=0 （3）点在直线的左下方
?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢
如何画出该不等式组表示的平面区域？
y
2x＋y＝15
x＋3y＝27
2x y 15
x + 2 y 1 8

x
+
3
y

27
x 0 , y 0
O
x＋2y＝18
x
例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合 肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸 盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t， 在此基础上生产两种混合肥料.列出满足 生产条件的数学关系式，并画出相应的 平面区域.
（2）当A>0时 ,Ax+By+C>0表示直线右侧区域， 当Ax+By+C<0时表示直线左侧区域。
（3）不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
课堂练习2：
y 3、画出不等式组表示的平面区域。
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3
5
-5 o 4
x-y+5=0
x
x+y=0 x=3
课堂作业：.画出下列不等式组表示的平面区域
探索规律
直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么
直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也
等于0吗?先完成下表，再观察有何规律
呢？
y
区域内的点 代入点的坐标
x+y-1值的正负
右上方点
（1,1） （2,0）
（2,1） （2,2）
正
左下方点
（0,0） （-1,0）
（-1,1） （-1,1）
负
x+y-1＜0 1
设x，y分别为计划生产甲、乙两种 混合肥料的车皮数， y
4x y 10
则
1 8 x 1 5 y 6 6

x0
x
y 0
O 6x＋5y＝22
4x＋y＝10
相应的平面区域如图.
三、知识点小结：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 画图方法：
方法总结：
画二元一次不等式Ax+By+C>0 表示的平面区域的步骤：
1、直线定界（注意边界的虚实） 2、特殊点定域（代入特殊点验证）
一般地，当C≠0时常把原点（0,0）作为特殊点当 C=0时把（0，1）或（1,0）作为特殊点
课堂练习1:
(1)画出不等式
4x―3y≥12 表示的平面区域
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
直线定界，特殊点定域。
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
作业：习题3.3 [A组] 第 1（2）（4）、2题
0
x+y-1＞0
1
x
x+y-1=0
同侧同号，异侧异号
y
结论
1
01
x
x+y-1=0
• 不等式x+y-1＞0表示直线x+y-1=0的右上
方的平面区域
• 不等式x+y-1＜0表示直线x+y-1=0的左下 方的平面区域
• 直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界
从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在平面直角
或（0,1）作为测试点
结论二 直线定界，特殊点定域。
• 1．二元一次不等式表示平面区域
• 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被 直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
• (1)满足Ax＋By＋C__＝___0的点； • (2)满足Ax＋By＋C__>___0的点； • (3)满足Ax＋By＋C___<___0的点．
坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧 所有点组
成的平面区域，（虚线表示区域不包括边界直线，
实线包括边界直线）
y Ax + By + C = 0
结论一
二元一次不等式表示相
O
x 应直线的某一侧区域
二元一次不等式表示哪个平面区域 的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的 某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即 可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0 时，常把原点作为特殊点，当C=0时，常取（1，0）
3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域
思考1:不等式x＋y≤2500与6x+5y≥150叫 什么名称？其基本含义如何？
二元一次不等式:含有两个未知数，并且 未知数的最高次数是1的不等式.
思考2:二元一次不等式的一般形式如何？
怎样理解二元一次不等式组？
一般形式： Ax＋By＋C≤0或Ax＋By＋C≥0
y 4x―3y-12=0 x
yBiblioteka Baidu
x x=1
例2、用平面区域表示不等式组
y < -3x+12 x<2y
的解集。
y
分析：由于所求平面区域的点的坐
标需同时满足两个不等式，
因此二元一次不等式组表示
的区域是各个不等式表示的 区域的交集，即公共部分。
0 x-2y=0
x
画二元一次不等式组表
示的平面区域的步骤：
课堂练习2：