六年级上册数学竞赛试题奥数典型例题分析_通用版(无答案)

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第十四讲典型试题分析
小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛.多做好题是提高解题能力的有效途径.本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答,希望对开拓思路能起一点作用.
例1 龟兔赛跑,全程5.2公里,兔子每小时跑20公里,乌龟每小时3公里,乌龟不停地跑,但兔子却边跑边玩,它先跑1分钟后玩20分钟,又跑2分钟然后玩20分钟,再跑3分钟然后玩20分钟,…,问先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?
分析只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟.
例2 下图是两个互相啮合的齿轮,大的是主动轮,小的是从动轮,大齿轮半径为105,小齿轮半径为90.现在两个齿轮的标志线在同一直线上,问大齿轮至少转了多少整圈后,两条标志线又在同一直线上?
分析这道题可以看成下面的问题:
在A点有甲、乙二人,同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈,问甲沿左边大圈至少跑了多少圈后,乙沿右边小圈跑到了A点或B点?
例3 王师傅在某个特殊岗位上工作,他每上8天班后,就连续休息两天,如果这个星期六和星期天他休息,那么至少再过几个星期后,他才能又在星期天休息?
分析首先应该计算出至少过了多少天,王师傅又在星期天休息,由于他是连续休息2天,因此可能出现两种情况:星期六和星期天,星期天和星期一。

例4 祖父现在的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明年龄的5倍,又过几年以后,祖父年龄将是小明年龄的4倍,求祖父今年多少岁?
分析在“年龄问题”中,有一条差不变原理要注意,也就是说无论什么时候,祖、孙二人的年龄差都是一样的.
例5 下图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,
(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值
例6 从1~100这100个不等的数中,每次取出2个数,要使它们的和大于100,有多少种不同的取法?
分析在这100个不等的数中,每次取出2个其中必有一个较小的,又这二数之和要大于100,我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论.
例7 有A、B、C三人参加M项全能比赛,在每一个项目中,第一名、第二名和第三名分别得分P1、P2和P3,它们都是自然数,并且P1>P2>P3,最后计算总分时,A得22分,B与C均得9分,B跑百米第一,问:
①M等于多少?
②在跳高比赛中,谁得第二名?
分析我们来分析如何求M,由于题中已知有百米和跳高两项比赛,所以M至少是2,又由已知条件知有:
M(P1+P2+P3)=22+9×2=40
所以M是40的约数,M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次枚举试验,淘汰非解.
例8 1978年,有个人在介绍自己的家庭时说:我有一儿一女,他们不是双胞胎,儿子年龄的立方,加上女儿年龄的平方,正好是我的出生年,
我是在1900年以后出生的,我的儿女都不满21岁,我比我妻子大8岁,请求出全家每个人的年龄.
分析本题的关键在于先确定儿子的年龄,其次是求出女儿的年龄,这可用前面介绍的“筛”法来做到.
例9 问5条直线最多将平面分为多少份?
分析直接想五条直线的情况不好想,先研究一些简单的情况,不难知道:
一条直线最多将平面分为2部分;
二条直线最多将平面分为4部分;
三条直线最多将平面分为7部分;
四条直线最多将平面分为11部分;
五条直线的图不易画出,所以很难下结论,分析一下上面特殊情形的结论,看看能不能发现一些规律.
二条直线分平面的4部分恰好是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分;三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4
部分的基础上增添了3部分,类似地,四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添4部分,怎样解释这个规律呢?我们以四条直线的情形作为例子.
三条直线将平面分为7部分,新加上一条虚线,由于要求分平面的部分数尽可能多,所以新添虚线不能过实线的交点,这样,虚线与三条实线有三个交点,这三个交点将虚线分为四段,其中的每一段都将所在的平面部分一分为二,所以也就是使所分平面的份数增加4.
例10 在平面上画20个圆,问这20个圆最多可能将平面分为多少个部分?
分析直接画出20个圆去数当然是行不通的.先考虑一些简单的情况:
一个圆最多分平面为2部分;
二个圆最多分平面为4部分;
三个圆最多分平面为8部分;
当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时,第二个圆应与第一个圆有2个交点,这两个交点将新加的圆分为2段,其中每一段弧都将所在平面部分一分为二,所以所分平面部分数在原有2部分的基础上又增添2部分.同样道理,三个圆最多分平面的部分数是在2个圆分平面为4部分的基础上又增加4部分.
例11 有70个数排成一排,除两头两个数外,每个数的3倍都恰好等于它两边两个数之和,已知前面两个数是0和1,问最后一个数除以6的余数是多少?
分析直接求第70个数除以6的余数不容易,先求它除以2和除以3的余数.
例1243位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数互不相同,每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片,画片只有两种,3分一张和5分一张,每人都尽量多买5分一张的画片,问他们共买了多少张3分的画片?
分析本题实际上是要将8到50的所有自然数表示成若干个3与若干个5的和,其中5的个数要尽可能多.因为求的是3的个数,所以只要求出8至12的表示中有多少个3即可.
思考:
①本题中如果要求5分画片共买多少张应怎样做?
②如果本题改为让3分画片尽可能多,求5分画片共有多少张,应怎样做?
例13有十个人各拿一只提桶同时到水龙头前排队打水.设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟,注满第二个人的桶需要2分钟,…,如此下去.问:
①当只有一个水龙头时,应如何安排这十个人的次序,使他们总的费时为最少?这时间等于多少分钟?
②当只有两个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使他们总的花费时间为最少?这时间等于多少分钟?
习题十四
1.计算
⑤ 3.9×10.5÷(1.4×0.9×52)
2.某项工程,甲队独做12天完成,乙队独做24天完成,若按整日安排两队工作,且两队合作的天数尽可能少,怎样安排才能使这项工作恰好10天完成,这样两队合做了几天?
3.有一辆汽车,以某一固定的速度从甲地行驶至乙地,如果每小时比原定的行驶速度快6公里,就可以早到5分钟;如果每小时比原定的行驶速度慢5公里,就要迟到6分钟,求甲、乙两地的距离?
4.一项工程甲独做50天可以完成,乙独做75天完成,现在二人合做,但中途乙因事离开了几天,从开工后40天把这个工程做完,问乙中途离开几天?
5.从1到1988的自然数中,每次取两个不同的数,要使它们的和大于1988共有多少种取法?
6.A,B二人的对话如下:
A问:你有几个孩子?
B答:3个.
A问:他们的年龄各是多少?
B答:他们的年龄的积是36,和恰好等于你家门牌号.
A说:你的条件还不够.
B说:老大现在上小学,其余两个还没上学.
请根据对话判断:三个孩子的年龄分别为多少岁?
7.有一串数,第一个数是1989,第二个数是1988,以后每个数是它前边两个数的差(以大减小),问这串数的第1989个数是多少?
8.有一天,三个小朋友在图书馆相会,其中一个说:“现在我每隔一天来一次.”第二个说:“我每隔两天来一次.”第三个说他每隔三天来一次,管理员告诉他们说,每逢星期三闭馆,小朋友说,如果预定来的日子正好是闭馆日,那就次日来,从今天开始,他们按这个规律去图书馆,下一次在星期一他们三人又在图书馆相聚,问上次谈话是星期几?。

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