现代电力系统分析6

I tr1 i (0 ) i (0 )
故障瞬间前的电流
d 0 X d id 0 X af i f 0 0 f 0 X af id 0 X f i f 0 X i 0 q q0 q0
Eq 0 id 0 Xd iq 0 0 Xd Eq 0 i f 0 X d X af

合闸后瞬间稳态电流（例如电源为直流=1，电阻R1 为1）
i 0 1
需要注意的是 如果L1还耦合其他绕组，尽管L1的磁链在零状
态的假设下为零，如果其他耦合的绕组磁链不 为零的话，那么其开关合上前瞬间的电流就不 是零。 而是满足下面的方程
0 L1i0 Mi30 0 30 Mi0 L3i30
Eq 0 id Xd iq 0
励磁绕组的故障后前后的稳态电流
i f i f 0
X d f 0 X af d 0
2 X d X f X af
X d Eq 0 ( X d X d )Vq 0 X af X d
零状态响应
现代电力系统分析 第六章 故障分析
山东理工大学 哈恒旭
引言

电力系统短路故障的危害
短路故障引起的大电流，导致电力元件急遽发
热，烧毁电力元件。 短路故障暂态过程引起的大的短路电流峰值， 通常会导致较大的电动力，破坏电力元件的电 路结构。 因此必须快速切除短路故障

短路故障分析与计算的意义
d 0 X d id X af i f VG 0 cos(0t 0 ) f 0 X af id X f i f 0 X i V sin( t ) q q G0 0 0 q0
零输入响应解
VG 0 cos(0t 0 ) I dtr 2 Xd X af VG 0 cos(0t 0 ) I ftr 2 Xf Xd VG 0 sin(0t 0 ) I qtr 2 Xq
初始条件（设在t=0时刻短路）可以用相量法求
解，在短路前，其稳态解为：
IA Em I m 0 ( 0 ) ( R0 R1 ) j0 ( L0 L1 )
i A (t ) I m0 cos(0t 0 )
i A (0 ) I m 0 cos( 0 )

暂态部分是两个状态在故障时刻的差值

分析：在什么情况下三相短路的短路电流 瞬时值最大？
Im0-Im的长度最大；故障前空载Im0=0
在Im0-Im的相量与横轴平行的时刻故障暂态量
最大。或18度时刻故障，暂态分量最大
Im0=0，度时
i A (t ) I m cos 0 t I m e
零状态分量值
Eq 0 Eq 0 I dtr1 Xd Xd I qtr1 0 ( X d X d )Vq 0 I ftr 1 X af X d
零输入响应
d 0 VG 0 cos(0t 0 ) q 0 VG 0 sin(0t 0 )
1 t T / 2 2 1 t T / 2 It i (t )dt ( 2 I av cos(0t ) I np ) 2 T t T / 2 T t T / 2
2 2 2 I av I np I av ( 2 K m I av 2 I av ) 2 1 2( K m 1) 2 I av
t / T0
Im0=0，=180度
i A (t ) I m cos 0t I m e
t / T0
可见短路电流瞬时值最大出现在0.01s
iM I m I m e 0.01/ Ta k M I av
Km为冲击系数，工程中取1.8，发电机出口取
1.9. t时刻有效值（假定在T内，暂态量为常数，工 程中近似计算，取最大值）
短路危害大，需要保护装置切除，继电保护的
原理和定值需要短路分析与计算。 从短路故障发生到故障切除，需要一段时间， 在这段时间内，电力元件必须能够承受最大短 路故障引起的发热和冲击电动力。 断路器的触点也会因为短路的大电流，产生拉 弧，导致触点粘连，无法分断，断路器必须能 够开断最大短路电流。 电力系统短路分析和计算是电力系统设计和电 力系统继电保护的必备技术和知识。

考虑阻尼绕组时
故障前，次暂态，暂态，稳态
故障后的全响应
i(t ) i (t ) I tr1e
故障后的稳态解
t / T1
I tr 2e
t / T2
I tr 3e
t / T3
Eq 0 id Xd iq 0
零状态响应的次暂态部分
avmaxav先考虑简单一阶动态电路62发电机端三相短路暂态过程分析需要注意的是如果l1还耦合其他绕组尽管l1的磁链在零状态的假设下为零如果其他耦合的绕组磁链不为零的话那么其开关合上前瞬间的电流就不3030mimi零输入响应是不考虑输入电源只考虑l1在开关合上瞬间所包含磁链的衰减假设r21需要注意的问题与零状态同很容易看出全响应在解决一阶动态问题时无需求解微分方程可以将电流的全响应用叠加原理划分为3个部分
i A ( ) K I m cos( ) i A (0 ) I m0 cos( 0 )
K I m0 cos( 0 ) I m cos( )
全响应（非其次微分方程的特解）
R0 t L0
i A (t ) ( I m 0 cos( 0 ) I m cos( ))e I m cos(0t )
计算需要计算电力系统的电磁暂态过程，非常 复杂。 因此，我首先研究典型无穷大电源系统以及同 步发电机端三相短路后，电流的暂态过程，分 析这些典型系统的暂态电流最大有效值和冲击 峰值与稳态量的关系。利用这个关系，工程中 就可以只计算短路后的稳态值。 然而由于同步发电机自身励磁绕组和阻尼绕组 的作用，使得在电力系统发生三相短路时，即 使对于工频周期分量也不是恒定的。 这就要求掌握考虑同步发电机的三相短路稳态 周期分量的特点。
i(t ) I tr1et / T1 I tr 2et / T1 i (t )
零状态响应（不考虑合闸瞬间包含的磁链）
I tr1 i(t0 ) i(t0 ) i0 i 0

对于上述简单问题i0通过下式求解，显然是零
L1i0 (t0 ) 0

不对称短路故障的分析意义
分析不对称故障后，系统测量点电气量的故障
特征，构造保护原理和算法。 分析和算法。 电力系统的大多数故障属于不对称故障。

目录和内容提要
无穷大电源系统三相短路后的暂态过程分析
发电机端三相短路后的暂态过程分析 三相短路实用计算：短路曲线和起始次暂态电

解
齐次解即暂态解
i Atr (t ) Ke

R0 t L0
故障后稳态解可以用相量法
IA
Em I m ( ) R0 j0 L0
R0 t L0
非其次通解
iA (t ) Ke

I m cos(0t )
K的确定：利用故障前后L0的磁链不突变
VG 0 t / Ta iq (t ) sin(0t 0 )e Xq
X d Eq 0 ( X d X d )VG 0 cos 0 ( X d X d )VG 0 cos 0 t / Td ( X d X d )VG 0 i f (t ) e cos(0t 0 )e t / Ta X af X d X af X d X af X d
流 大系统三相短路后短路电流的稳态计算方法 不对称故障分析原理---对称分量法 不对称故障后电气量的相量特征 圆的反演 故障电磁暂态过程计算与分析模型和原理
6.1 无穷大电源系统的三相短路暂态 过程分析

问题：已知三相对称电源和系统参数，求 三相短路电流

方程
diA (t ) L0 R0i A (t ) Em cos(0t ) dt
d 0 X d id 0 X af i f 0 X aDiD 0 0 f 0 X af id 0 X f i f 0 X fDiD 0 X i X i X i aD d 0 fD f 0 D D0 D0
零输入响应是不考虑输入电源，只考虑L1在开
关合上瞬间所包含磁链的衰减
I tr 2
(t0 ) L1
假设R2=1（需要注意的问题与零状态同）
I tr 2
(t0 ) L1 0.5 0.5 L1 L1
很容易看出全响应
i(t ) 1 (0 1)e
( t t 0 ) / T
零状态响应的衰减时间常数
Xd Td Td 0 Rf Xd
X f
零输入响应的衰减时间常数
2Xd Xq Ta Ra ( X d X q )
无阻尼绕组时的全响应
Eq 0 Eq 0 t / Td VG 0 cos0 id (t ) ( )e cos(0t 0 )e t / Ta Xd Xd Xd Xd Eq 0
0.5e
( t t 0 ) / T
结论
在解决一阶动态问题时无需求解微分方程，可以将电 流的全响应用叠加原理划分为3个部分：稳态响应、 零状态响应和零输入响应。 稳态响应是开关合上后的稳态表达式。 零状态响应则不考虑开关合上瞬间电感中包含的磁链， 仅考虑由于输入激励引起的暂态，零状态响应的幅值 为两个稳态在开关合上时刻的差值。显然对于没有其 他绕组耦合的情况下为零，而如果耦合其他绕组，则 需要联立方程求解。 零输入响应则是不考虑输入电源，仅考虑在开关合上 瞬间电感中包含磁链引起的暂态。当然有其他绕组耦 合的情况下，需要与其他绕组联立方程求解。

小结
我们分析无穷大电源的目的是为了分析暂态量
与故障后有效值的关系。 主要探讨最大电流峰值（冲击电流，检验电动 力），最大有效值（发热）。
iM max k M I av
I M max 1 2(k M 1) I av
2
6.2 发电机端三相短路暂态过程 分析

先考虑简单一阶动态电路


同步发电机机端三相短路的电流分析
以d轴为例
id (t ) id (t ) I dtr1et / T1 I dtr 2et / T2
I dtr1 id (0 ) id (0 )
I dtr 2
d0 Xd

不考虑阻尼绕组时
故障后的稳态电流（强制分量）：

短路故障类型
三相短路：属于对称故障，是最为严重的故障
类型。 单相接地短路； 两相短路 两相短路后接地。

对称短路分析和计算的意义
电力系统设计和元件选型的基础。 对称短路计算的主要目的是探讨短路后短路电
流对电力的元件的热（最大有效值）和动（最 大冲击电流）的冲击。
而最大短路电流有效值和最大短路电流峰值的
Park反变换到abc相
ia (t ) [
Eq0 Xd
(
Eq0 Xd

Eq0 Xd
)e t / Td ] cos(0 t 0 )
VG 0 1 1 t / Ta ( )e cos( 0 0 ) 2 Xd Xq VG 0 1 1 ( ) cos(20 t 0 0 ) 2 Xd Xq
Eq0 id 0 X d Ed0 iq 0 X q