重庆市南开中学2016届高三3月月考数学(文)试卷

重庆南开中学高2016级高三（下）3月月考
数学试题（文科）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知{}(){}21,0,1,2,3,log 11A B x x =-=-≤，则A B 的元素个数为（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5
2、如果复数21m i mi
++是实数，则实数m =（ ）
A 、
B 、1-
C 、1 D
3、已知数列{}n a 满足()11n n a a n N ++=-∈，且24618a a a ++=，则5a 的值为（ ）
A 、8
B 、7
C 、6
D 、5
4、已知抛物线()2:20C y px p =>0x -=的距离为2，则抛物线C 的方程为（ ）
A 、2y =
B 、2y x =
C 、216y x =
D 、28y x =
5、已知命题:2p x y +≠-，命题:,1q x y -不都是，则p q 是的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
6、如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2
a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A 、1
4π-
B 、4π
C 、18π
- D 、与a 的取值有关
7、函数2sin 12x
y π=+的部分图象如下图所示，则
()2OA OB AB +⋅=（ ）
A 、10-
B 、5-
C 、5
D 、10
8、利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点
落在坐标轴上的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
9、过点()3,2A 作圆2224200x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A 、6条
B 、7条
C 、8条
D 、9条
10、如图点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111A D CC 的中
点，过点,,D M N 做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部
分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（ ）
A 、①④⑤
B 、②③⑥
C 、①③⑤
D 、②④⑥
11、已知点A 为双曲线22
221x y a b
-=右支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，1AF 交双曲线左支于点B ，若2AB BF =，则2
1
AF BF =（ ） A
B 、32 C
D 、2
12、已知函数()1g x x =-，函数()f x 满足()()121f x f x +=--，当(]0,1x ∈时，
()2f x x x =-，对于(]11,2x ∀∈，2x R ∀∈，则()()()()2
21212x x f x g x -+-的最小值为（ ） A 、12 B 、49128 C 、81128 D 、125128
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生概括要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、
乙两人比赛得分的中位数之和为
14、已知,x y 满足的条件011x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
，则2z y x =-的最大值为
15、已知函数()22f x x bx =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线30x y -+=平行，若
数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2016S = 16、已知三棱锥A BCO -，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为4，长为2
的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含
边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（12分）已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
且
cos sin C c B =；
（1）求角C ；
（2
）若c =，求
ABC
周长的取值范围。

18、（12
百货童装部
（1）确定,,x y
（2对这100女顾客有35客中男顾客有
①②参考数据：
()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19、（12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -，面11AA B B ABC ⊥面，
且160A AB ∠=，12AA =，ABC ∆为边长为2的等边三角形，
G 为ABC ∆的重心，
取BC 中点F ，连接1B F 与1BC 交于E 点： （1）求证：11//GE AA B B 面； （2）求三棱锥1B B EA -的体
积。

20、（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，点P 在椭圆上运动，当1260F PF ∠=，12F PF S ∆= （1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点直线l 与椭圆交于,A B ，斜率为1k ，直线OP 斜率为2k ，1212
k k ⋅=-，判断APB ∆
的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由。

21、（12分）已知函数()x f x x ae =-；
（1）若函数()()()'g x f x f x =+在点()()0,0g 处的切线方程为10x y ++=，求实数a 的值；
（2）当0a >时，函数()f x 存在两个零点12,x x ，且12x x <，求证：12ln ln ln 1x x a -<+。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号
22、（10分）如图所示，已知1O 和2O 相交于,A B 两点，过点A
作1O 的切线交2O 相交于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交
1O 、2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P 。

（1）证明：//AD CE ；
（2）若AD 是2O 的切线，且6PA =，2PC =，9BD =，求AD 的长。

23、（10分）在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线1C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩
（ϕ为参数且0ϕπ≤≤）。

（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；
（2）当曲线1C 和曲线2C 有两个公共点时，求实数a 的取值范围。

24、（10分）已知函数()()[]22sin ,2cos ,0,2f x x g x x θθθπ=+=-∈，且关于x 的不等式()()2f x a g x ≥-对x R ∀∈恒成立。

（1）求实数a 的最大值m ；
（2）若正实数,,a b c 满足232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值。