函数的概念及其表示(课时4 分段函数及其应用)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
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B
[解析] 当 时， ，可排除 ，C.又当 时， ，排除D.故选B.
4.函数 的定义域为___________________，值域为________________.
探究1 分段函数求值
问题1：.集合 ， ， 中的有理数都对应 中的元素0，无理数都对应 中的元素1，这一对应是函数吗？
[答案] 各段定义域的并集即分段函数的定义域，各段值域的并集即分段函数的值域.
新知生成
1.分段函数的定义若函数 ， ，对于自变量 在 中不同的___________，有着不同的___________，则称这样的函数为分段函数.
取值范围
对应关系
2.分段函数的三要点
（1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
（1）设在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，试求 与 的解析式.
（2）该企业选择哪家俱乐部比较划算，为什么？
[解析] （1）由题意知， ， ， （2）①当 时，令 ，解得 ，即当 时， ，当 时， ，当 时， .②当 时， .故当 时，选A俱乐部划算，当 时，两家俱乐部一样划算，当 ，选B俱乐部划算.
（2）一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.
（3）求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.
新知运用
例1 已知函数 设 ，则 ( ).A. B. C. D.
A
[解析] ， ，故选A.
[答案] 能.
情境设置
问题2：.画出函数 的图象.
[答案] 由问题1可知 分段画出函数 的图象，如图所示.
新知生成
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
新知运用
例2 已知函数 ， ，令 （即 和 中的较小者）.
新知运用
例3 某市有 ， 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同， 俱乐部每块场地每小时收费6元； 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.
[答案] 从12时到13时停止前进，并休息用午餐较符合实际情形.
问题5：.这是什么函数模型？
[答案] 分段函数模型.
新知生成
运用函数知识解决实际问题的一般步骤： （1）阅读材料、理解题意； （2）把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； （3）利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； （4）把数学结论（结果）运用到实际问题中，解决实际问题.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
课时4 分段函数及其应用
学习目标
1.了解分段函数的概念.（数学抽象）
2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.（数学运算、直观想象）
3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.（数学建模）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( ).
A. B. C. D.
3.函数 的图象如图所示，则其解析式为_ _______________________.
[解析] 当 时，设 ，又过点 ，故 ，所以 ；当 时， ；当 时， .综上，
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内.
设 若 ，则 ( ).A. B. C. D.
C
[解析] 当 时， ，则 ， ， ， ，解得 . .当 时， ， ， ，则 ，无解.综上， .
巩固训练
探究2 分段函数的图象
问题1：.函数 能用分段函数的形式表示吗？
方法总结 分段函数图象的画法
（1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（1）分别用图象法和解析式表示 ；
（2）求函数 的定义域、值域.
[解析] （1）在同一个坐标系中画出函数 ， 的图象如图①所示.
由图①中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图②所示.
令 ，得 或 .结合图②，得出 的解析式为 （2）由图②知， 的定义域为 ， ， 的值域为 .
如图所示，这是某市工业用水量 与用水价格 之间的函数图象：
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.从图上观察，针对用水量的不同，其价格相同吗？
[答案] 不相同.
2.当 时，用水量 与用水价格 之间的函数关系式是什么？
[答案] ， .
3.问题2中得到的函数解析式对于 是否还适用？若不适用，请写出函数在这个区间上的解析式.
1.已知函数 则函数 的图象是( ).
A. B. C. D.
方法总结 分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
， 两地相距150千米，某汽车以每小时50千米的速度从 地到 地，在 地停留2小时之后，又以每小时60千米的速度返回 地.写出该车离 地的距离 （千米）关于时间 （小时）的函数关系，并画出函数图象.
将点 代入，得 ， .故
探究3 分段函数的应用
如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
情境设置
问题1：.他最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
[答案] 他最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
方法总结 1.求分段函数的函数值的方法
（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
（1）先对字母的取值范围分类讨论；
（2）代入到不同的解析式中；
（3）通过解方程求出字母的值；
×
（3） 函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
（4） 函数 可以用分段函数表示.( )
√
2.已知 则 的值为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 由题意得 ，则 .
自学检测
3. 的图象是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 ， ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
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2.设 则 ( ).A. B. C. D.
C
[解析] 由题意得， ， ，故选C.
[答案] 是，因为符合函数的定义.
情境设置
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问题2：.分段函数是一个函数还是几个函数？
[答案] 分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上的函数解析式不同而已.
问题3：.分段函数对于自变量 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数的定义域和值域分别是什么？
A
[解析] 当 时， ，即图象过点 ，故D错误；当 时， ，即图象过点 ，故C错误；当 时， ，即图象过点 ，故B错误.故选A.
巩固训练
2.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式是_ ___________________________.
[解析] 由题图可知，图象由两条线段（其中一条不含右端点）组成，当 时，设 ，将点 ， 代入解析式，则 ∴ .当 时，设 ，
[解析] 汽车从 地到 地，速度为50千米/小时，则有 ，到达 地所需时间为 （小时）.汽车在 地停留2小时，则有 .汽车从 地返回 地，速度为60千米/小时，则有 ，从 地到 地用时 （小时）.
巩固训练
综上可得，该汽车离 地的距离 关于时间 的函数关系为 函数图象如图所示.
问题2：.他何时开始第一次休息？休息了多长时间？
[答案] 10：30开始第一次休息，休息了半小时.
问题3：.他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少？
[答案] 9:00~10:00的平均速度是10千米/小时；10:00~10:30的平均速度是14千米/小时.
问题4：.他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[答案] 不的，那么函数 是一个函数，还是几个函数？
[答案] 是一个函数.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 分段函数由几个函数构成.( )
×
（2） 分段函数有多个定义域.( )
[解析] 当 时， ，可排除 ，C.又当 时， ，排除D.故选B.
4.函数 的定义域为___________________，值域为________________.
探究1 分段函数求值
问题1：.集合 ， ， 中的有理数都对应 中的元素0，无理数都对应 中的元素1，这一对应是函数吗？
[答案] 各段定义域的并集即分段函数的定义域，各段值域的并集即分段函数的值域.
新知生成
1.分段函数的定义若函数 ， ，对于自变量 在 中不同的___________，有着不同的___________，则称这样的函数为分段函数.
取值范围
对应关系
2.分段函数的三要点
（1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
（1）设在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，试求 与 的解析式.
（2）该企业选择哪家俱乐部比较划算，为什么？
[解析] （1）由题意知， ， ， （2）①当 时，令 ，解得 ，即当 时， ，当 时， ，当 时， .②当 时， .故当 时，选A俱乐部划算，当 时，两家俱乐部一样划算，当 ，选B俱乐部划算.
（2）一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.
（3）求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.
新知运用
例1 已知函数 设 ，则 ( ).A. B. C. D.
A
[解析] ， ，故选A.
[答案] 能.
情境设置
问题2：.画出函数 的图象.
[答案] 由问题1可知 分段画出函数 的图象，如图所示.
新知生成
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
新知运用
例2 已知函数 ， ，令 （即 和 中的较小者）.
新知运用
例3 某市有 ， 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同， 俱乐部每块场地每小时收费6元； 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.
[答案] 从12时到13时停止前进，并休息用午餐较符合实际情形.
问题5：.这是什么函数模型？
[答案] 分段函数模型.
新知生成
运用函数知识解决实际问题的一般步骤： （1）阅读材料、理解题意； （2）把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； （3）利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； （4）把数学结论（结果）运用到实际问题中，解决实际问题.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
课时4 分段函数及其应用
学习目标
1.了解分段函数的概念.（数学抽象）
2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.（数学运算、直观想象）
3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.（数学建模）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( ).
A. B. C. D.
3.函数 的图象如图所示，则其解析式为_ _______________________.
[解析] 当 时，设 ，又过点 ，故 ，所以 ；当 时， ；当 时， .综上，
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内.
设 若 ，则 ( ).A. B. C. D.
C
[解析] 当 时， ，则 ， ， ， ，解得 . .当 时， ， ， ，则 ，无解.综上， .
巩固训练
探究2 分段函数的图象
问题1：.函数 能用分段函数的形式表示吗？
方法总结 分段函数图象的画法
（1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（1）分别用图象法和解析式表示 ；
（2）求函数 的定义域、值域.
[解析] （1）在同一个坐标系中画出函数 ， 的图象如图①所示.
由图①中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图②所示.
令 ，得 或 .结合图②，得出 的解析式为 （2）由图②知， 的定义域为 ， ， 的值域为 .
如图所示，这是某市工业用水量 与用水价格 之间的函数图象：
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.从图上观察，针对用水量的不同，其价格相同吗？
[答案] 不相同.
2.当 时，用水量 与用水价格 之间的函数关系式是什么？
[答案] ， .
3.问题2中得到的函数解析式对于 是否还适用？若不适用，请写出函数在这个区间上的解析式.
1.已知函数 则函数 的图象是( ).
A. B. C. D.
方法总结 分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
， 两地相距150千米，某汽车以每小时50千米的速度从 地到 地，在 地停留2小时之后，又以每小时60千米的速度返回 地.写出该车离 地的距离 （千米）关于时间 （小时）的函数关系，并画出函数图象.
将点 代入，得 ， .故
探究3 分段函数的应用
如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
情境设置
问题1：.他最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
[答案] 他最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
方法总结 1.求分段函数的函数值的方法
（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
（1）先对字母的取值范围分类讨论；
（2）代入到不同的解析式中；
（3）通过解方程求出字母的值；
×
（3） 函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
（4） 函数 可以用分段函数表示.( )
√
2.已知 则 的值为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 由题意得 ，则 .
自学检测
3. 的图象是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 ， ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.设 则 ( ).A. B. C. D.
C
[解析] 由题意得， ， ，故选C.
[答案] 是，因为符合函数的定义.
情境设置
合作探究·提素养
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问题2：.分段函数是一个函数还是几个函数？
[答案] 分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上的函数解析式不同而已.
问题3：.分段函数对于自变量 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数的定义域和值域分别是什么？
A
[解析] 当 时， ，即图象过点 ，故D错误；当 时， ，即图象过点 ，故C错误；当 时， ，即图象过点 ，故B错误.故选A.
巩固训练
2.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式是_ ___________________________.
[解析] 由题图可知，图象由两条线段（其中一条不含右端点）组成，当 时，设 ，将点 ， 代入解析式，则 ∴ .当 时，设 ，
[解析] 汽车从 地到 地，速度为50千米/小时，则有 ，到达 地所需时间为 （小时）.汽车在 地停留2小时，则有 .汽车从 地返回 地，速度为60千米/小时，则有 ，从 地到 地用时 （小时）.
巩固训练
综上可得，该汽车离 地的距离 关于时间 的函数关系为 函数图象如图所示.
问题2：.他何时开始第一次休息？休息了多长时间？
[答案] 10：30开始第一次休息，休息了半小时.
问题3：.他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少？
[答案] 9:00~10:00的平均速度是10千米/小时；10:00~10:30的平均速度是14千米/小时.
问题4：.他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[答案] 不的，那么函数 是一个函数，还是几个函数？
[答案] 是一个函数.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 分段函数由几个函数构成.( )
×
（2） 分段函数有多个定义域.( )