2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十一圆的方程理

课时达标检测（四十一） 圆的方程
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 圆的方程
1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )
A ．(x ＋1)2
＋y 2
＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2
＝8 C ．(x －1)2
＋y 2
＝2
D ．(x －1)2
＋y 2
＝8
解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12
＝2，
则圆的方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝2.故选A.
2．(2018·河北唐山模拟)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝25
16
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝25
16
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342＋y 2＝25
4
解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，即圆的标准方程为(x －a )2
＋y 2
＝r 2
，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋12
＝r 2
， 2－a 2＝r 2
，
－a 2＋ －1 2＝r 2，
解得a ＝34，r 2＝25
16
，
则圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342＋y 2＝25
16.故选C.
3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝5 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝5 C ．(x －1)2
＋y 2
＝5
D ．x 2＋(y －1)2
＝5
解析：选A 因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|
5＝2 5.
故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为5＝|2a ＋3|
5
，即
a ＝1或a ＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x －y －6＝0的距离也为r ＝5，所以a ＝1.因此
所求圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝5.故选A.
4．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2
＋y 2
＋6x －2y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
解析：选D 因为曲线x 2
＋y 2
＋6x －2y ＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x ＋3)2
＋(y －1)2
＝9，若圆(x ＋3)2
＋(y －1)2
＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m ＝－1.
5．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．
解析：依题意，直线AC 的方程为y ＋13＋1＝x －6
－2－6
，化为一般式方程为x ＋2y －4＝0.点O
到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1.又因为|OA |＝ －2 2＋32
＝13，|OB |＝
－2 2
＋ －1 2
＝5，|OC |＝62
＋ －1 2
＝37，所以原点为圆心的圆若与△ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，故圆的半径为1或37，则圆的方程为
x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.
答案：x 2
＋y 2
＝1或x 2
＋y 2
＝37
6．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为
45
5
，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －
y ＝0的距离d ＝
2a
5
＝455，解得a ＝2，
所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝9. 答案：(x －2)2
＋y 2
＝9
对点练(二) 与圆的方程有关的综合问题
1．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大
值是( )
A ．1＋ 2
B ．2
C ．1＋
22
D ．2＋2 2
解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|
2
＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为
d ＋1＝2＋1.
2．(2018·广东七校联考)圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3
b
的最小值是( )
A ．2 3 B.203 C ．4
D.
163
解析：选D 由圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9，∵圆x
2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥
1
3
⎝ ⎛
⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝16
3
，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b ＝34时取等号，故选D.
3．(2018·安徽安庆模拟)自圆C ：(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A ．8x －6y －21＝0
B ．8x ＋6y －21＝0
C ．6x ＋8y －21＝0
D ．6x －8y －21＝0
解析：选 D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2
＋r 2
＝|PC |2
，所以x
2
＋y 2
＋4＝(x －3)2
＋(y ＋4)2
，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方
程为6x －8y －21＝0，故选D.
4．已知A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，332，
P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意
一点，则△ABP 面积的最大值为( )
A.33＋3
2
B. 3 C ．2
D.23＋2
3
解析：选A 化圆为标准方程得(x －1)2＋y 2
＝1，因为A (0，33)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，332，
所以|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33
2－332＝3，直线AB 的方程为3x ＋y ＝33，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|3－33|4＝ 3.又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋
1，故△ABP 面积的最大值为S max ＝12×(3＋1)×3＝33＋3
2
.
5．已知A ，B 是圆O ：x 2
＋y 2
＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．
解析：设圆心M 坐标为(x ，y )，则(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫|AB |22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝
9.
答案：(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝9
6．(2018·北京东城区调研)当方程x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2
≤1，当半径r 取最大值时，
圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π
4
.
答案：3π4
7．已知平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0
恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
及
其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ 为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |
2＝5，
因此圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5. 答案：(x －2)2
＋(y －1)2＝5
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于
点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝6
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2
＋(y －6)2
＝40或(x －5)2
＋(y ＋2)2
＝40.
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .
(1)求圆C 的方程；
(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，
于是有⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2
＝8，b
a
＝－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝2.
由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4 2
＋y 2
＝16，
x ＋2 2＋ y －2 2
＝8，解得x ＝4
5
或x ＝0(舍去)．
所以存在点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长． 3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝r 2
(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→
的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2
，将点P 的
坐标代入得r 2
＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2
＝2.
(2)设Q (x ，y )，则x 2
＋y 2
＝2，
PQ ―→·MQ ―→
＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2
＋y 2
＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，
所以PQ ―→·MQ ―→
＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→
的最小值为－4.。