(完整版)各类微分方程的解法

南京林业大学
各种微分方程的解法
1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx 直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx
设 g(y)及 f(x) 的原函数挨次为 G(y)及 F(x),则 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法
一般形式 :dy/dx= φ(y/x)
令 u=y/x 则 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 因此 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两头积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 取代 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法
一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)
－
∫
P(x)dx
－
∫
P(x)dx
先令 Q(x)=0 则 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce
, 再令 y=ue
代入原方程 解得 u=∫Q(x) e
∫
P(x)dx
－
∫
P(x)dx
∫
P(x)dx
dx+C ］
dx+C,因此 y=e
［∫Q(x)e
－∫
P(x)dx
－ ∫
P(x)dx
∫
P(x)dx
dx 为一阶线性微分方程的通解
即 y=Ce +e
∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法
(n) ① y =f(x) 型的微分方程
(n)
y =f(x)
y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1
y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2
(n)
=f(x) 的含有 n 个随意常数的通解
挨次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y ” =f(x,y ’ ) 型的微分方程
令 y ’=p 则 y ”=p ’ , 因此 p ’=f(x,p), 再求解得 p=φ (x,C 1)
即 dy/dx= φ(x,C 1), 因此 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y ” =f(y,y ’ ) 型的微分方程
令 y ’=p 则 y ”=pdp/dy, 因此 pdp/dy=f(y,p),
再求解得 p=φ (y,C 1)
即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 因此 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式 :y ”+py ’+qy=0,特点方程 r 2
+pr+q=0
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特点方程 r 2
+pr+q=0 的两根为 r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解r r1x r2x
2 1 2
两个不相等的实根 r1,
y=C e +C e
两个相等的实根 r1=r2 y=(C1+C2x)e r
1
x
一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβ
αx
cosβx+C2sin β x) y=e (C1
6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式 : y ”+py’+qy=f(x)
先求 y”+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y”+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y”+py’+qy=f(x) 的通解求y”+py’+qy=f(x) 特解的方法 :
①f(x)=P m(x)e x
型λ
令 y*=x k Q m(x)eλx
［k 按λ不是特点方程的根 , 是特点方程的单根或特点方程的重
根挨次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确立 Q m(x) 的 m+1个系数λx
②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型
k λ
x
［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特点
令 y*=x e
方程的根或是特点方程的单根挨次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确立 Q (x) 和
m
R m(x) 的 m+1个系数
附
微分方程在物理学中的应用:
⑴找准适合的研究对象
⑵确立正确的数学模型
⑶联列合理的微分方程
⑷解出最正确的方程结果
执笔：缪张华。