根轨迹法

根轨迹法
一、定义：
〈①〉()()
()
0111
1
*
0=+++
=+∏∏==n
j i
m
i i
p s z s K
s G 。

其中*
K 为根轨迹增益。

开环放大倍数∏∏===
n
j j
m
i i
p
z
K
K 1
1
*
闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。

其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统
或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G
〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹
〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），
起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）
③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：m
n --=
∑∑零点极点1σ
与实轴夹角：()m
n k -+±
=π
ϕ121。

④分离点与会合点：使0*
=ds
dK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：
∑∑-+︒=量辐角
其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ
对非最小相位系统
∑∑-='量辐角
其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：
∑∑+-︒=角
极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ
对非最小相位系统
∑∑+-='角
极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ
⑥与虚轴交点：
（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得
（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得
例1：()()()
210++=
s s s K
s G
解：渐进线（3条）：()()10
321-=--+-=
σ，()ππ
π
ϕ,3
3
12=
+±=k
由()()
0211=+++
s s s K
，则()()21++-=s s s K ，
(
)(
)
026323223*=++-=++-=s s ds
s
s s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385
.0,577.1385
.0,423.0*
22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一
02323=+++K s s s ，劳斯阵：
K
s K s
K
s s 0
1
23323021-
要与虚轴有交点，则有一行全零，即603
2=⇒=-
K K
辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二
将ωj s =代入特征方程：()()()0232
3=+++K j j j ωωω
2,60
32033
2==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，
则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图
例2：()()3
2220+++=
s s s K s G 解：渐进线一条。

出射角︒=-+︒=--1400
2
2tan 2tan 1801
11p θ 分离点与会合点：2
3
22*
+++-=s s s K ，
故：
()()()
()
023222222*=+++-++-=s s s s s ds dK ，则0142=++s s ，得⎩⎨
⎧=-=-=464
.5,752.3265
.0221K s s
证明：取圆弧上一点σs +=()()()()
︒=++-+-+=++++∠-++∠=∠--1803
222tan 2tan 3
222
21
12
σωσσωωσωωσωσωσj j j s G （应用辐角条件） 两边取正切：
()()()2222
2223
2222132222
=+⇒++-+=+⇒++-+=
+σωσσ
σσωσσωωσω
可见是圆。

例3：
解：结构图化简,有:
闭环特征方程为00111212
1
=++⇒=++
K s K K s s
K K s K h h ()h h K K K K s s
K K 11
21*,01==++⇒
,由此画h K 根轨迹图。

也可以由()
0112
1=++
⇒s
s K K h ，画1K 根轨迹。

例4：()()()
0,1*0>++=ααs s s K s G 解：()12*
++-=s s s K α，()[]
()
012322
2*=++++-=s s s s ds dK α
α， 则：()()04
16332=-+±+-=
s s 或α
αα
① α=1，α=9时，有一个分离点
②()19,01632
<>>-+αααα或解得
当α<1时，显然不稳定。

当α>9时，如取α=10，则()5.41
31101-=----=
σ， 4,4
104160131322
,1--=-±-=s ，根轨迹如上图。