2023-2024学年湖北省武汉高三下学期高考冲刺数学质量检测模拟试题(5月)含答案

．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 3，且数列 Sn 是 3 为公比的等比数列． （1）求数列an 的通项公式；
（2）令 bn 1n an ，求和 b1 b3 b5 b2n1 ．
240 人的周数，求 X 的分布列和数学期望；
（2）由于统计工作人员的疏忽，第 5 周的数据统计有误，如果去掉第 5 周的数据，试用
剩下的数据求出每周普及的人数 y 关于周数 x 的线性回归方程．
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：线性回归方程 y bˆx aˆ 中， bˆ i1 n
（2）若 B π ，在 △ABC 边 AC 的外侧取一点 D （点 D 在 △ABC 外部），使得 DC 1， 3
DA 2 ，且四边形 ABCD 的面积为 5 3 2 ，求 ADC 的大小．
4
20．（12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 4 的等边三角形，
12
3
4
5
6
7
8
9
每周普及的人数 y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
并计算得： y
1 9
9 i 1
yi
190
，
9 i 1
( xi
x )2
60 ，
9 i 1
( yi
y )2
55482
，
9 i 1
( xi
x )( yi
y)
1800 ．
（1）从这 9 周的数据中任选 4 个周的数据，以 X 表示 4 周中每周普及宣传人数不少于
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 1 ax2 1 x 6 的展开式中 x4 的系数为 45 ，则实数 a 的值为__________．
14．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 上横坐标为 4 的点到抛物线焦点 F 的距离为 9 ， B 是抛 物线 C 上的点， O 为坐标原点， OFB 的平分线交抛物线 C 于点 A ，且 OFB 120 ， A, B 都在 x 轴的上方，则直线 AB 的斜率为__________．
三、填空题
13． 4
14． 3 2
15． 3 3 2 2
16．5
1．B
由题意可得 A {y | y 2} ， B {x | 1 x 5}，所以 A B (1, 2) ，故选 B．
2．C
由复数的几何意义知 z1
1 2i
， z2
1 i ，则
z1 z2 i z2
2i i 1
3 2
1 i ，故选 2
A． (0, 2)
B． (1, 2)
C． (1,2)
2．如图，在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ， OB ，
则
z1 z2 i z2
D． (1,5)
A． 3 1 i 22
B． 3 1 i 22
C． 3 1 i 22
D． 3 1 i 22
3．如图，已知 AOB 是半径为 2 ，圆心角为 π 的扇形，点 E ， F 分别在 OA ， OB 上，且 2
a
a
（1）若 a 0 ， f (x) 的极大值为 3，求实数 a 的值；
（2）若 x (0,) ， f (x) axex (a 2 1)x x2 ，求实数 a 的取值范围． a
一、单项选择题，二、多项选择题：
答案解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10 11 12
答案 B C A D A C C D BC ABC BCD ABD
i1 n
， aˆ y bˆx ．
(xi x)2
xi2 nx 2
i 1
i 1
19．（12 分）在 △ABC 中，内角 A， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c ，
2b csin A C cos π B a sin A c sin C ．
2
2
（1）若 a 2 ，求 △ABC 面积的最大值；
事件 Ai 为“第 i 次能打开门”，则下列结论中正确的是
A．事件 A1 与 A2 互斥
C．
P(
A1
A2
)
8 9
B．
P( A2
)
2 3
D．
P(
A3
|
A2
)
3 5
12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平
下邪．如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的
等比数列，则下列结论正确的是
A． an 2n 1 C． Sn n2
B． (1)1a1 (1)2 a2 (1)100 a100 100
D．设数列 2n an1 的前 n 项和为 Tn ，则 Tn n 2n1 2
10．已知函数 f x 对 x R 都有 f x f x 4 f 2 ，若函数 y f x 3 的图象关于
因为 x sin x(x 0) ，可得1 0.02 1 sin 0.02 ，所以 c b ，所以 a c b ，故选 C．
7．C
过 F2 作 F2C AB 交 AB 于 C ， 因 为 F2 AB F2BA ， 可 得 | F2 A || F2B | ，
所以 C 为 AB 中点，设 | F2 A || F2B | t ，由双曲线定义可得 | F1A | t 4 ， | F1B | t 4 ，
1的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线分别交双曲线
的左
右两支于 A ， B 两点，且 F2 AB F2BA ，则 | BF2 |
A． 5 4
B． 2 5 4
C． 2 5
D． 5
8．若存在 a R ， 使对于任意 x [1 , e] ，不等式 ln x ax2 bx (e2 2e) ln x e 恒成立， e
OA 3O E ， OB 3OF ，点 P 是圆弧 上的动点（包括端点），则 PE PF 的最小值为
A． 4 4 2 3
B． 4 4 2 3
C． 8 3
D． 16 3
4．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下
底面平行，且均为扇环形 ( 扇环是指圆环被扇形截得的部分 ) ，现有
C．
3．A
以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系， P(2 cos , 2 sin )( [0, π ]) ，设
E
(
2
,
0)
，
F
(0,
2
)
，PE(2 Nhomakorabea2
cos
,
2
sin
)
，
PF
(2
cos
,
2
2 2 sin
)
，
3
3
3
3
所以
PE
PF
4
cos
4 cos2
4 sin
4sin2
4
2 sin( π ) 4 ，
A． 3 2
B． 6
C． 3 2
D． 6
6．设 a e0.02 ， b (sin 1 cos 1 ) 2 ， c 51 ，则 a ， b ， c 的大小关系正确的是
100 100
50
A． a b c
B． a c b
C． b<c<a
D． b a c
7．已知双曲线
：
x2 4
y2 2
15．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．
让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后
在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动
时离开平衡位置的位移 f (t) （单位： cm ）与
时间 t（单位：s ）满足函数关系 f (t) 3sin(t )
( 0,0 | | π) ，若函数 f (t) 在区间[a, a 1] 上
2023-2024 学年湖北省武汉高三下学期高考冲刺数学模拟试题
（5 月）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {y | y lg x, 0 x 100} ， B {x | x2 4x 5 0}，则 A B
18．（12 分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，
推进生态文明建设，由国务院第 149 次常务会议通过的《地下水管理条例》自 2021 年 12
月 1 日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前
9 周每周普及的人数，得到下表：
时间 x / 周
一个如图所示的曲池，它的高为 2， AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1 均与曲
池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 1 和 2，对应的
圆心角为180 ，则该几何体的表面积为
A． 15π 2 2
B． 15π 4 2
C． 7π 2
D． 9π 4
3 1 cos36 5． (4sin2 18 cos 72 2cos2 36 1) sin144
直线 x 3对称，且对 x1， x2 0, 2 ，当 x1 x2 时，都有 x2 x1 f x2 f x1 0 ，
则下列结论正确的是
A． f 2 0 C． f x 是周期为 4 的周期函数
B． f x 是偶函数
D． f (2023) f (100)
11．某人有 6 把钥匙，其中 4 把能打开门．如果不放回地依次随机抽取 3 把钥匙试着开门，设
3
3
3
4
所以
PE
PF
的最小值为
4
4
2 ，故选 A．
3
4．D
此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，
S表
π
1
2
π
2
2
1 2
(π
22
π 12
)
2
1
2
2
9π
4
，故选
D．
5．A
原式
3 2 cos2 18
3 2 cos18
(4sin2 18 2sin2 36 2cos2 36) sin 36 (4sin2 18 2) sin 36
3 2 cos18 2cos36 sin 36
3
2 cos18 sin 72
3
2 ，故选 A．
6．C
因为 b 1 sin 1 1 sin 0.02 ， c 1.02 1 0.02 ，令 f (x) ex (1 sin x)(x 0) ， 50
则 f (x) ex cos x 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 上递增，所以 f (x) f (0) ，所以 ex 1 sin x ， 所以 e0.02 1 sin 0.02 ，即 a b ，因为 ex x 1(x 0) ，可得 e0.02 0.02 1，所以 a c ，
的最大值为 M ，最小值为 N ，则 M N 的最小
值为__________．
16．已知圆 O ： x2 y2 r2 与直线 3x 4 y 10 0 相切，函数 f (x) loga (2x 1) 2 过定点
P ，过点 P 作圆 O 的两条互相垂直的弦 AC ， BD ，则四边形 ABCD 面积的最大值为
AA1
3 2
AB ，AA1
AC
，
BAA1
60
，D
在 CC1 上
且满足 CD 2DC1 ．
（1）求证：平面 ACC1A1 平面 BAD ；
（2）求平面 ABC 与平面 AB1C1 夹角的余弦值．
21．（12
分）已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左顶点为
A ，椭圆 C
的中心 O 关于直线
则实数 b 的最小值为
A． e2 e e 1
B． e3 e 1 e2 1
C． e
D． 1
二、多项选择题：本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9 ． 在 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 an 中 ， 已 知 其 前 n 项 和 为 Sn ， S9 81 ， 且 a2 ， a5 ， a14
所以 |
AB
||
F1B
|
|
2x y 5 0 的对称点落在直线 x a2 上，且椭圆 C 过点 M (1, 6 ) ． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2） P,Q 为椭圆 C 上两个动点，且直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 1 ， MD PQ ， D 为 6
垂足，求 | AD | 的最大值．
22．（12 分）已知函数 f (x) ln 2x (a 2)x x2 ．
五面体，四边形 ABCD 为正方形， EF // 平面 ABCD ， AB=2EF 4 ， AE DE BF
CF 2 3 ，则
A．该几何体的表面积为 8 2 6 11 16
B．该几何体的体积为 20 7 3
C．该几何体的外接球的表面积为 40π
D． AE 与平面 FBC 所成角的正弦值为 42 12